Exemples connus de théories de Yang Mills ayant un ''gap mass'' quelconque.

[Anonyme007]

Bonsoir à tous,

Une théorie de Yang Mills pour un groupe de Lie simple et compact , est simplement la donnée :
- d'un espace fibré qui dépend de l'espace-temps à dimension , à fibres isomorphes à .
- d'une connexion sur définie localement par une matrice qui n'est autre qu'une généralisation de la notion de dérivation de fonctions , mais ici au lieu de dériver des fonctions, les connexions dérivent une généralisation des fonctions à valeurs dans l'espace fibré , qu'on appelle sections de .

Après ça, à partir de , on définit la courbure qui définit elle aussi l'opérateur qui s'appelle le Lagrangien de Yang Mills définit par : .
Ce dernier après un calcul simple fournit l'expression d'un système d'équations appelé système de Yang Mills qui donc, dépend des deux éléments çi - dessus formant la théorie.

Pour dire qu'on a construit effectivement cette théorie de Yang Mills qui ne dépend que de , il faut que le système d'équations de Yang Mills trouvé soit invariant par le groupe de symétrie : Le groupe de Lie .

Ensuite, on prend le Lagrangien de Yang Mills trouvé dans le message précédent, et on forme son Hamiltonien correspondant qui est la transformée de Legendre de , c'est à dire, qui est définie en bas de la page wiki suivante : https://fr.wikipedia.org/wiki/Transf...on_de_Legendre

On demande alors de trouver la valeur de l’infinimum : tel que est la partie de des valeurs propres de l'opérateur .
s'appelle : gap de masse.

Ma question est la suivante,

Je cherche quelques exemples non triviaux de théories de Yang Mills pour certains groupes de Lie à proposer, pour lequel il est possible de calculer leurs gaps mass lorsqu'ils existent ?

Merci d'avance.
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[ThM55]

Il n'y a pas d'exemple connu puisque le problème pour lequel un milliardaire a proposé un prix d'un million de dollars est justement d'en prouver l'existence. Si je pouvais vous donner cet exemple je serais déjà millionnaire en dollars . Il faut noter que le problème se pose en théorie quantique, je crois même dans le cadre de la théorie quantique des champs constructive (axiomes de Wightman). Ce que vous expliquez là concerne le cas classique.

Pourquoi est-ce un problème quantique? Parce que la notion de masse d'une excitation est elle-même quantique. Dans la théorie classique on peut trouver des solutions de toute énergie à n'importe quelle fréquence. En théorie quantique, les excitations quantiques du champ sont équivalentes (en un certain sens) à des particules. C'est de cette manière que la théorie quantique des champs réalise l'ancienne notion de dualité onde-particule. En théorie de jauge, la symétrie de jauge fait que les particules correspondant à ce champ sont de masse nulle. Par exemple la théorie de Maxwell est une théorie de jauge et le photon est de masse nulle. Il n'y a pas d'états liés entre photons car la théorie de Maxwell est linéaire dans les champs, il n'y a pas de termes d'interaction. C'est dû au fait que le groupe de jauge U(1) est abélien. Pour le champ de Yang-Mills, c'est différent: le groupe de jauge (par exemple SU(3) pour la chromodynamique) est non-abélien et il en résulte des termes d'interaction. Le boson de jauge est toujours de masse nulle mais il devrait être possible d'obtenir des états liés de plusieurs bosons de jauge (on appelle cela des boules de glu pour les gluons) et ces états liés ont une masse. La question est de savoir si il existe une masse minimale non nulle ou si le spectre est continu jusqu'à la masse nulle.

La question est d'une certaine importance théorique car sa technique de solution devrait éclaircir la question du confinement des quarks. Elle est d'ailleurs posée dans des termes plus généraux que celle de l'existence d'un mass gap, je pense que la solution à ce problème particulier est seulement un critère pour mesurer le degré de compréhension mathématique de la théorie de Yang-Mills quantique apportée par les candidats. Par exemple j'imagine que si on dérive le résultat par des méthodes semi-classique à partir d'une bonne théorie quantique, le prix pourrait être attribué (mais je ne suis pas dans le jury! ).

[ThM55]

L'article qui pose le problème, écrit par Jaffe et Witten, mentionne toutefois des exemple qui prouvent l'existence d'un mass gap pour certains champs scalaires avec des non-linéarités. Le tout démontré dans le cadre rigoureux exigé par l'institut Clay. Mais ce ne sont pas des champs de Yang-Mills. Si votre ambition est de vous attaquer à ce problème, vous devez au moins prendre connaissance de ces exemples et apprendre les méthodes qu'ils utilisent. Et pour la théorie axiomatique: R. Streater and A. Wightman, PCT, Spin and Statistics and all That, W. A. Benjamin, New York, 1964 (réédité à Princeton University Press récemment).

Bon courage.

[Anonyme007]

Merci beaucoup pour toutes ces clarifications ThM55.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Bonsoir,

Si je peux me permettre, est ce que les deux théories de relativité d’Einstein ( restreinte et générale ) sont :
- des théories de jauges ?
Si oui,
- sont-ils en particulier des théories de Yang Mills ? Pourquoi ?
Si oui,
- pourquoi alors, ne nous réussissons pas à unifier la mécanique quantique qui est le cadre générale où sont installés les différentes théories des champs, en particulier, les différentes théories de jauges d'un coté, et de l’autre coté, la théorie de relativité, puisqu'il s'agit d'une théorie de jauge aussi comme on a dit ? D’ailleurs, il existe meme un Lagrangien qui s’appelle Lagrangien d’Einstein sur lequel agit un groupe de Lie que j'ignore lequel ( Peut être le groupe de Lorentz ou de Poincaré ) en théorie de relativité.

Merci d'avance.

[Morrslieb]

Bonjour,

Anonyme007, pour répondre à votre dernier post: Normalement en physique, on réserve la qualification de "théorie de jauge" aux théories du modèle standard, la relativité générale étant décrite par la simple géométrie différentielle. Néanmoins, on peut décrire la relativité générale aussi en termes de fibrés, voir l'article "Tetrad formalism" sur Wikipedia, donc il existe des similitudes. Une différence majeure est que l'espace de base en relativité générale est (pseudo)-riemannien alors que pour les théories de jauge du modèle standard, l'espace de base est l'espace-temps de Minkowski. Il existe quand-même une description de la relativité générale en tant que théorie de jauge avec un espace de base de Minkowski, voir l'article "Gauge theory gravity". Il y a aussi des efforts d'étendre le formalisme des théories de Yang Mills à la gravité, voir l'article "Gauge gravitation theory" sur Wikipedia.
En ce qui concerne votre dernière question: il ne faut pas oublier que les théories de jauge ne donnent qu'une description classique des théories, et non pas quantique. Donc non, la mécanique quantique n'est pas du tout le cadre où sont installés les théories de jauge. Le problème est qu'à l'heure actuelle, on n'a pas de théorie quantique consistante de la gravitation, qui est décrite par la relativité générale et qui est une théorie purement classique.

[Anonyme007]

Merci beaucoup pour ces précisions très pertinentes que tu m’apportes là, et très intéressantes à lire mon cher Morrslieb.
Merci pour les références aussi.
Cordialement.

[Anonyme007]

Morrslieb,
Juste une petite question si je peux me permettre,
Pour le fameux problème du millénaire : Yang Mills existence and gap mass, est ce qu'on demande d'établir l'existence d'une théorie de Yang mills pour chaque groupe de Lie simple et compact, figurant dans la liste de classification des groupes de Lie, en les parcourant tous un par un jusqu'à les traiter tous, ou bien il suffit pour ceux de la forme ? et est ce que la théorie trouvée doit être une théorie de Yang Mills classique, ou bien une théorie de Yang Mills quantique ?
Merci d'avance.

[Deedee81]

Salut,

De ce que je comprend on doit forcément passer par une description quantique :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%..._de_Yang-Mills

Quand à la manière de faire (groupes) ma foi, celui qui gagnera le prix d'un million de dollars nous dira comment il a fait

Ici :

http://www.claymath.org/millennium-p...s-and-mass-gap

Tu as un pdf avec la description officielle et un pdf avec le statut du problème. A priori tout groupe de Lie est possible mais je te laisse lire tout ça