Théorie des champs.

[Anonyme007]

Bonjour,

Sur le lien suivant, https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...ps_axiomatique , on trouve le passage suivant,

Ces deux formulations sont entièrement équivalentes en mécanique quantique, où il n'y a qu'un nombre fini de degrés de liberté, en vertu d'un théorème de Von Neumann qui assure l'unicité des représentations irréductibles des relations de commutation canoniques. En revanche, en théorie quantique des champs où il existe un nombre infini de degré de liberté, il y a une infinité non-dénombrable de représentations irréductibles qui sont inéquivalentes, ce qui signifie que l'approche algébrique est a priori beaucoup moins restrictive que la formulation classique.

D'où, mes questions sont,

- Qu'est ce que le degré de liberté d'une théorie quantique des champs ?
- Pourquoi en théorie quantique des champs, il existe en général un nombre infini de degré de liberté ?
- Avez vous un exemple de théorie quantique des champs ou le degré de liberté est infini ?
- Est ce que en théorie des champs classique, le degré de liberté est toujours fini ?
- Avez vous un exemple de théorie des champs classique ou le degré de liberté est fini ?

Merci d'avance.
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[Sethy]

Je vais répondre par une petit provoc' (mais gentille, hein).

J'ai un souci avec la théorie des groupes. Je comprends très bien les bases, la commutativité, l'associativité, mais j'aimerais aller plus loin.

Pourrais-tu m'expliquer :
- l'utilité des représentation irréductible, comment on les obtient.
- ...
- ...
- ...
- et comment on arrive aux règles de sélections des transitions autorisées et interdites en infra-rouge.

C'est un peu l'équivalent de ce que tu demandes (et encore). Wiki, c'est bien, je l'utilise tous les jours mais rien (je dis bien rien) ne remplacera jamais de suivre des cours, de participer aux séances d'exercices et de passer les examens. Il existe, à la limite, une voie plus ardue, c'est de s'en remettre à quelques bouquins. Si j'ai bonne mémoire, des références t'ont été données sur l'autre sujet.

[Anonyme007]

Bonjour,

Pourrais-tu m'expliquer :
- l'utilité des représentation irréductible, comment on les obtient.
- ...
- ...
- ...
- et comment on arrive aux règles de sélections des transitions autorisées et interdites en infra-rouge.

- J'ai appris en théorie que l’espace des représentions irréductibles représente le spectre d'une - algèbre engendrée par un opérateur , où, est l’espace des fonctions continues sur , et , et est l’anneau des polynômes en .
Bref, les représentions irréductibles servent à déterminer le spectre de l’opérateur qui engendre la - algèbre opérant sur ces représentions irréductibles.
- Comme je suis mathématicien spécialisée en géométrie algébrique et théorie de Hodge, je me retrouve incapable de comprendre ta dernière question qui relève de la physique. J'apprends la physique seulement en autodidacte pour des raisons d’application purement mathématique.

[Sethy]

Bonjour,



- J'ai appris en théorie que l’espace des représentions irréductibles représente le spectre d'une - algèbre engendrée par un opérateur , où, est l’espace des fonctions continues sur , et , et est l’anneau des polynômes en .
Bref, les représentions irréductibles servent à déterminer le spectre de l’opérateur qui engendre la - algèbre opérant sur ces représentions irréductibles.
- Comme je suis mathématicien spécialisée en géométrie algébrique et théorie de Hodge, je me retrouve incapable de comprendre ta dernière question qui relève de la physique. J'apprends la physique seulement en autodidacte pour des raisons d’application purement mathématique.

Bah oui ... mais à moi qui suis chimiste, les seuls mots qui me disent quelque chose, c'est algèbre, anneau et polynôme. Qu'est que T (tu écris que c'est un "opérateur", est-ce le + dans le groupe commutatif (Z, +) car moi, c'est tout ce que je connais.

Comment arrive-t-on à la formulation que tu utilises ? Que représente Spec(T), C ? C*? Quelle est la différence entre [T] et (T), que vaut C0, et à quoi sert une représentation irréductible ?

Je sais que tu sais. Et je sais ce que tu ne sais pas. Mais comment veux-tu que sur un forum on explique en quelques mots, ce qui prend des dizaines d'heures de cours pour des étudiants qui sont en L3 ou en M1 physique ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Bah oui ... mais à moi qui suis chimiste, les seuls mots qui me disent quelque chose, c'est algèbre, anneau et polynôme. Qu'est que T (tu écris que c'est un "opérateur", est-ce le + dans le groupe commutatif (Z, +) car moi, c'est tout ce que je connais.

Non. est un opérateur au sens : Théorie spectrale. Par exemple, en chimie, en particulier, en spectroscopie, vous utilisez le notion d’Hamiltonien qui est un opérateur linéaire qui obéit à l’équation de Schrödinger . De meme ici, est un opérateur qui ressemble à .
Laisse moi un peu de temps pour répondre aux restes de tes questions, parce que certaines touches de mon clavier sont rompues.

[Anonyme007]

Comment arrive-t-on à la formulation que tu utilises ? Que représente Spec(T), C ? C*? Quelle est la différence entre [T] et (T), que vaut C0, et à quoi sert une représentation irréductible ?

La réponse à toutes ces questions que tu cites se trouve dans ces 12 pages du pdf suivant, https://preprints.ihes.fr/2008/M/M-08-61.pdf , en plus tu trouveras passionnant de les lire.

[Anonyme007]

Je sais que tu sais. Et je sais ce que tu ne sais pas. Mais comment veux-tu que sur un forum on explique en quelques mots, ce qui prend des dizaines d'heures de cours pour des étudiants qui sont en L3 ou en M1 physique ?

Est ce que tu peux me faire une petite synthèse des idées principales autour des questions que j'avais posé au début du fil ? Je suis sûr que j'arriverais à comprendre. Je dispose d’assez de prérequis susceptibles de me faciliter la compréhension.
Merci d'avance.

[ThM55]

- Qu'est ce que le degré de liberté d'une théorie quantique des champs ?
- Pourquoi en théorie quantique des champs, il existe en général un nombre infini de degré de liberté ?
- Avez vous un exemple de théorie quantique des champs ou le degré de liberté est infini ?
- Est ce que en théorie des champs classique, le degré de liberté est toujours fini ?
- Avez vous un exemple de théorie des champs classique ou le degré de liberté est fini ?

Bonjour. Un champ est par définition une grandeur dynamique définie en chaque point de l'espace. Il y a donc au moins un degré de liberté par point de l'espace. Dans un volume V donné, il y a un nombre infini de points, donc un champ a un nombre infini de degrés de liberté. On peut imaginer le champ (ou sa donnée sur une hypersurface initiale) comme un point dans espace à nombre infini de dimensions. Par contraste, un nombre fini de particules (par exemple un noyau Z et Z électrons) est décrit par un nombre fini de coordonnées, du moins à l'approximation des faibles vitesses et des faibles énergies qui apparaissent en chimie.

Exemple de théorie classique des champs: l'électromagnétisme de Maxwell(+Hertz-Lorentz). Autres exemples: la gravitation, l'hydrodynamique, ...

Von Neumann voulait montrer qu'il y a essentiellement une seule manière de représenter les relations de commutation canoniques (celle du genre [p,x]=i hbar ) par des opérateurs sur un espace de Hilbert, c'est-à-dire que deux représentations données sont toujours équivalentes et se déduisent l'une de l'autre par une transformation unitaire. Voici une référence, comme de bien entendu en anglais: https://en.wikipedia.org/wiki/Stone%...eumann_theorem (dès qu'on sort du totalement élémentaire en physique, Wikipédia français n'est plus là). Il se fait que le théorème n'est plus vrai quand on a un nombre infini de degrés de liberté, comme pour les champs.

Voici un article qui parle de cette question et donne des références: https://www.math.umd.edu/~jmr/StoneVNart.pdf

[Anonyme007]

Bonjour ThM55,

Merci pour cet éclairage très joli. J'ai beaucoup aimé le dernier lien que tu me mets dans ton message. C'est le genre de lectures qui suscitent une grande passion pour moi, qui portent autour de théorie spectrale ( équation de Schrödinger ), représentations de - algèbres, géométrie non commutative, et leurs application en mécanique quantique, et en spectroscopie. Si tu en as d’autres, je serai ravi que tu me les fournisses.

Toujours sur la théorie des champs, je pressens que tu dois être un peu passionné par les intégrales de chemins de Feynman, et le phénomène de renormalisation puisqu'ils sont incorporé fondamentalement en mécanique quantique, et en particulier, en théorie des champs. Est ce j’ai raison ? Récemment, j'ai lu quelques part rapidement sur le net ( Je ne sais pas où exactement ), que contrairement aux théories des champs classiques, les théories des champs quantiques se caractérisent par la présence du phénomène de renormalisation parce que les théories des champs quantiques ont une infinité de degrés de liberté. Quel lien entre renormalisation et infinitude des degrés de liberté d'une théorie des champs ?

Merci d’avance.

[ThM55]

Bonjour ThM55,
Quel lien entre renormalisation et infinitude des degrés de liberté d'une théorie des champs ?

Merci d’avance.

Je n'avais pas vu cette question plus tôt, j'en suis désolé. C'est une question intéressante. Il est certain que le nombre infini de degré de liberté joue un rôle dans les calculs concrets que l'on fait quand on renormalise. Mais je ne crois pas que ce soit essentiel sur le plan conceptuel. En effet, prenons l'exemple de la masse de l'électron. Quand on a un hamiltonien H(p,x)=K(p)+V(x) où K est l'énergie cinétique et est une forme quadratique, on peut en déduire la masse comme l'inverse de la matrice Hessienne de K en p=0. En théorie des champs, on fait quelque chose d'analogue: on dit que c'est un pôle du propagateur. L'interaction fait bouger ce pôle, c'est la renormalisation de la masse. Je pense que l'interaction avec par exemple un réseau d'atomes en nombre fini (comme c'est le cas pour un électron dans un solide) produira une telle renormalisation. Certes en physique de l'état solide on modélise ce réseau comme un champ à nombre infini de degrés de libertés, mais c'est pour simplifier et il ne faut pas confondre la carte et le territoire.

[Anonyme007]

Merci beaucoup.
Perso, je n’ai jamais pratiqué le calcul d’intégrales de chemin introduit par Feynman.
Voici le bagage que je connais : ( Voir, https://cp3.irmp.ucl.ac.be/~maltoni/PHY1222/QM-II.pdf , de la page : , à la page, ).
C'est tout ce que je connais sur le sujet : seulement pages.
Est ce que tu as en main, quelques exemples de calcul d’intégrales non triviaux, à la Feynman, qui soient plus pratiques et plus techniques à aborder ?
Merci d’avance.

[ornithology]

Comment utilises tu le principe de moindre action pour montrer qu'une pierre lachée au dessus du sol suit un mouvement uniformément accéléré?

[Anonyme007]

Non. N’essaye pas de m’évaluer. Je sais que tu es plus fort que moi.
Est ce que tu peux répondre à ma question que j'ai posé dans mon post précédent ?
Merci d’avance.

[Morrslieb]

Bonjour,

Anonyme007, je ne suis pas sûr si vous connaissez la notion de degré de liberté en général, donc je donne quelques exemples:

1) Le pendule simple: la boule à l'extrémité de la ficelle bouge dans un plan 2D, donc à priori il y a deux degrés de libértés; à savoir les deux coordonnées du plan. Or, comme la ficelle empêche la boule de mouvoir librement dans le plan, il y a une contrainte, et par conséquent, il n'y a qu'un seul degré de liberté pour le pendule simple. Normalement, on choisit l'angle que fait la ficelle avec la verticale pour décrire le système, cet angle constitue donc le degré de liberté.

2) L'oscillateur harmonique: la boule à l'extrémité du ressort bouge sur un axe, il y a donc un degré de liberté, à savoir la position x de la boule sur l'axe.

3) Le tir d'un obus: L'obus décrit une parabole dans le plan, il y donc deux degrés de liberté: la position (x,y) dans le plan 2D.

Un champ classique/quantique est modélisé par un oscillateur harmonique classique/quantique attaché à chaque point de l'espace. Du coup, il est modélisé par une infinité d'oscillateurs et donc, une infinité de degrés de libertés (comme ThM55 l'a déjà expliqué) . L'oscillateur harmonique décrit dans ce cas en effet les excitations du champ, qui correspondent aux particules.

Je ne pense pas que le nombre de dégrés de liberté soit lié à la renormalisation. En effet, tous les champs du modèle standard sont renormalisables (voir électrodynamique quantique, chromodynamique quantique) alors qu'un champ a en principe toujours un nombre infini de degrés de libertés. La non-renormalisabilité apparaît dans la gravitation quantique, et c'est plutôt lié au nombre de paramètres de la théorie.

Malheureusement je n'ai pas de référence en main concernant le calcul d'intégrales de chemin.

Par contre, si vous avez un background en géométrie algébrique et surtout en théorie de Hodge, alors je pense que la théorie des cordes sera beaucoup plus intéressante pour vous que la physique du modèle standard, surtout toute la physique qui porte sur la compactification des dimensions supplémentaires. Quelques mots clés: String Theory, Calabi-Yau, mirror symmetry, moduli spaces, orbifold, Hodge diamond.

[ornithology]

@anonymous
tu demandais un exemple de calcul d'intégrale de chemin et je t'en ai donné un:
quand une pierre tombe elle décrit un chemin dans le plan z,t dont on peut peut calculer l'action et verifier qu'elle suit la trajectoire de moindre action avec son accélération constante. c'est un bon point de départ pour un calcul d'intégrale curviligne.
Mais si tu annules ta commande pas de probleme,la vie continue.

[Anonyme007]

@anonymous
tu demandais un exemple de calcul d'intégrale de chemin et je t'en ai donné un:
quand une pierre tombe elle décrit un chemin dans le plan z,t dont on peut peut calculer l'action et verifier qu'elle suit la trajectoire de moindre action avec son accélération constante. c'est un bon point de départ pour un calcul d'intégrale curviligne.
Mais si tu annules ta commande pas de probleme,la vie continue.

Non, je préfère commencer directement par le calcul intégral de Feynman, c'est celui qui m’intéresse le plus en ce moment. Je ne cherche pas à m'exercer en calcul variationnel. Je saisis bien le principe. ça me suffit.

[Anonyme007]

Merci pour toutes ces précisions Morrslieb.

Je ne pense pas que le nombre de dégrés de liberté soit lié à la renormalisation. En effet, tous les champs du modèle standard sont renormalisables (voir électrodynamique quantique, chromodynamique quantique) alors qu'un champ a en principe toujours un nombre infini de degrés de libertés. La non-renormalisabilité apparaît dans la gravitation quantique, et c'est plutôt lié au nombre de paramètres de la théorie.

- Ici, je n'arrive pas à discerner entre la notion du degré de liberté d'une théorie, et la notion du nombre de paramètres d'une théorie, qui est responsable, d’après tes affirmations, du phénomène de renormalisation. Tu peux m'éclairer sur ce point s'il te plaît ?
- Souvent, j'entends dire, qu'une théorie des champs quantique peut avoir une infinité de régions renormalisables, alors, j’imagine personnellement qu'il est peut être impossible de renormaliser cette théorie renormalisation après renormalisation dans différentes régions une infinité de fois. Alors, comment les spécialistes font-ils pour remédier à ce problème ?
- Est ce qu'il existe des théories non renormalisables ? Comment les reconnaitre ?

Par contre, si vous avez un background en géométrie algébrique et surtout en théorie de Hodge, alors je pense que la théorie des cordes sera beaucoup plus intéressante pour vous que la physique du modèle standard, surtout toute la physique qui porte sur la compactification des dimensions supplémentaires. Quelques mots clés: String Theory, Calabi-Yau, mirror symmetry, moduli spaces, orbifold, Hodge diamond.

Merci pour ces conseils très précieux que tu me donnes Morrslieb.
Ce que je souhaitais savoir précisément par rapport à ce conseil que tu me donnes, est que la Physique théorique actuelle est basée sur la géométrie différentielle utilisée comme bagage mathématique ( i.e : sur le duo : Fibrés / Groupes de Lie, principalement ). Je me demande parfois s'il existe chez les physiciens spécialistes, une physique théorique basée sur la géométrie algébrique utilisée comme bagage mathématique ( i.e : sur le duo : Torseurs / Groupes algébriques, principalement, par exemple ). Je ne sais pas moi, ça peut être autre chose que moi j'ignore pour l’instant, mais surtout où il y a partout des groupes algébriques et de la géométrie algébrique ?

Merci d’avance.

[Deedee81]

Salut,

- Ici, je n'arrive pas à discerner entre la notion du degré de liberté d'une théorie, et la notion du nombre de paramètres d'une théorie, qui est responsable, d’après tes affirmations, du phénomène de renormalisation. Tu peux m'éclairer sur ce point s'il te plaît ?

Les paramètres ce sont les constantes qui interviennent dans le lagrangien : masse, charge et autres constantes de couplage (étant entendu que ces quantités sont en réalité... infinies ! Et doivent être renormalisées).

Les degrés de liberté c'est le nombre de valeurs indépendantes que peut prendre le champ dans un état donné : une valeur en chaque point.

Bref : paramètres au sens habituel et degrés de liberté = grosso modo la dimension de l'espace de configuration

- Souvent, j'entends dire, qu'une théorie des champs quantique peut avoir une infinité de régions renormalisables, alors, j’imagine personnellement qu'il est peut être impossible de renormaliser cette théorie renormalisation après renormalisation dans différentes régions une infinité de fois. Alors, comment les spécialistes font-ils pour remédier à ce problème ?
- Est ce qu'il existe des théories non renormalisables ? Comment les reconnaitre ?

Une infinité de "région" ???? Quelles régions ???

Les théories non renormalisables là, cela se produit lorsque le nombre de diagrammes irréductibles à renormaliser est non borné (ça se détermine facilement en fait : abrégé ici : https://rdmc.nottingham.ac.uk/bitstr...y/output12.pdf

Etant donné qu'il faut ajouter une infinité de paramètre, la théorie devient non prédictive.... ou peu s'en faut (on peut se limiter en nombre de diagrammes, et on peut donner certains sens aux résultats mais ça reste fort limité). Habituellement c'est plutôt => direction poubelle Notons que la gravité quantique semi-classique (théorie quantique des champs en espace-temps courbe avec modification de l'équation d'Einstein (pour l'énergie du vide)) reste renormalisable (si elle l'est au départ évidemment) avec deux paramètres en plus (qu'on ne sait pas mesurer, faudrait le régime quantique de la gravité) et est formellement identique à la quantification de la gravité comme champ mais avec seulement des diagrammes à 0 ou 1 boucle de graviton (je cite, Birrel et Davies).

On tombe facilement sur des théories non renormalisables quand on construit des toy models mais on en rencontre aussi en pratique, c'est le cas de l'ancienne théorie de Fermi de l'interaction faible mais aussi des théories quantiques de jauge non abéliennes quand on ajouter "à la main" un terme de masse pour les bosons de jauge. Et bien entendu il y a le cas du spin 2 avec son groupe de Poincaré et tout ça... la gravité quoi.

Parfois il peut y avoir des simplifications, par exemple les identités de Ward en électrodynamique simplifient les calculs et la renormalisation (il faut deux paramètres au lieu de trois normalement). Et parfois ça peut rendre les choses fort complexes, ainsi la supersymétrie avec gravitation : divergence selon le comptage des puissance moins grave que sans super symétrie mais divergence quand même mais il semblerait selon certains théoriciens qu'on trouve des annulations (dans le style Ward) qui rendent la théorie renormalisable (je n'en sais pas plus, j'ai juste lu un article de vulgarisation mais à ma connaissance ce n'est toujours ni prouvé ni réfuté).

Et à nouveau, pour la gravité, hé bien, on essaie autre chose de différent (pas juste résoudre le soucis de renormalisation sauf peut-être ci-dessus) : quantification canonique (les boucles), quantification des cordes, modification de la géométrie (non commutative), etc... Sans savoir quel est le bon ingrédient malheureusement, on manque d'indice expérimental.

Ce que je souhaitais savoir précisément par rapport à ce conseil que tu me donnes, est que la Physique théorique actuelle est basée sur la géométrie différentielle utilisée comme bagage mathématique ( i.e : sur le duo : Fibrés / Groupes de Lie, principalement ). Je me demande parfois s'il existe chez les physiciens spécialistes, une physique théorique basée sur la géométrie algébrique utilisée comme bagage mathématique ( i.e : sur le duo : Torseurs / Groupes algébriques, principalement, par exemple ). Je ne sais pas moi, ça peut être autre chose que moi j'ignore pour l’instant, mais surtout où il y a partout des groupes algébriques et de la géométrie algébrique ?

La seule alternative que je connaisse est basée sur les C*-algèbre. Ca m'a l'air assez formidable. Mais je ne maîtrise pas, je n'ai lu qu'un seul bouquin, bien foutu, mais qui ne doit être vu que comme une introduction (la partie sans doute la plus intéressante que j'ai lu est la partie sur la formulation d'une théorie des champs avec ces outils. L'analyse micro-locale est pas mal aussi). Je ne retrouve pas la référence (livre chez moi) mais on trouve pas mal de trucs sur le net.

Il y a certainement d'autres approches.

[Deedee81]

J'ai retrouvé :
https://www.amazon.com/Foundations-Q...p%2C187&sr=1-8

Contient :
- les C*-algèbres
- la modélisation des théories des champs
- l'analyse micro-locale (voir par exemple https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_microlocale)
- une partie moins techniques sur l'analyse des théories quantiques des champs en espace-temps courbe (ça laisse un peu sur la faim même si c'est intéressant)

mais comme j'ai dit y a pleins d'autres références

[Morrslieb]

Bonjour,

Anonyme007, je pense que Deedee a déjà répondu exhaustivement à vos questions, je vais donc juste revenir à votre dernière question pour donner un supplément: La branche en physique où la géométrie algébrique est le plus utilisée, à mon avis, correspond à la F-theory, qui est liée à la théorie des cordes de type IIB.

Je précise tout-de-suite que je n’ai jamais travaillé dans la F-theory moi-même, uniquement dans la théorie des cordes de type IIA et sujets reliés, du moins en physique. Mais j’ai rencontré de nombreux F-théoriciens lors de conférences, et l’impression que j’en ai est que la plupart en sont des physiciens qui ont appris la géométrie algébrique en autodidacte, et par conséquent, ils ne pigent pas trop leurs propres calculs. Beaucoup m’ont dit qu’ils utilisent les outils de la géométrie algébrique en black box, sans trop les comprendre. Donc voilà, je crains qu’on ne trouve beaucoup de bêtises écrites dans les articles sur la F-theory - je le dis juste pour vous prévenir si vous décidez de vous mettre à la F-théorie.

[Deedee81]

Je ne connaissais pas, on a ça : https://en.wikipedia.org/wiki/F-theory
c'est costaud, ça c'est un fait