Bonjour,
A premier vue, l'hamiltonien d'un systeme indique son énergie et comment il évolue dans le temps mais......
il se trouve que cerains hamiltoniens pour certains systemes peuvent donner H = 0 sans que l'énergie du systeme soit nulle. c'est le cas ou il y a des contraintes hamiltoniennes.
j'aimerais qu'on puisse faire le point la dessus. quand peut on dire hamiltonien = énergie
l'équation de Wheeler Dewitt
par exemple est sous la forme H = 0
Ou sont les particules? On est la! On est la! (deux fentes de Young)
Salut,
Effectivement, en relativité générale (pour rester dans le domaine classique, bien que l'aspect opérateur ne complique pas spécialement les choses), l'hamiltonien est un hamiltonien de contrainte avec H = 0.
Et dans ce cas il est clairement abusif de dire "hamiltonien = énergie" (surtout là en MQ où cet opérateur ne peut pas avoir l'énergie totale comme valeur propre autre que 0).
Mais ce n'est pas une surprise car en relativité générale, l'énergie totale de l'univers est mal définie. Ceci est dû à deux choses qui sont d'ailleurs liées : l'énergie du champ gravitationnel n'est pas locale, et à cause de la courbure de l'espace-temps les équations ne sont pas invariantes sous une translation dans le temps et donc l'énergie totale, pour peu qu'on la définisse correctement, n'est même pas conservée.
La dyamique y prend donc une forme fort différente : l'hamiltonien de contrainte.
Y a-t-il une signification physique claire à l'hamiltonien de contrainte (comme l'énergie dans le cas habituel) ? Je ne sais pas. J'ai plutôt tendance à le voir simplement comme la traduction des contraintes découlant des équations de la dynamique.
Il y aura peut être d'autres avis/infos. Attendons un peu (on est dimanche)
Dernière modification par Deedee81 ; 09/01/2022 à 13h46.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
J'ai trouvé cela et ça me plaît bien !!!, mais soyez sympas , ne m ' en demander pas plus ....
https://physics.stackexchange.com/qu...s-total-energy
Celui qui accroît son savoir , accroît sa souffrance . L'Ecclésiaste 1-18
Rétrospectivement il me semble que dès que le temps (et donc forcément l'espace) est une variable dynamique, la définition de l'énergie devient problématique et on tombe sur un hamiltonien de contrainte. Mais j'ignore si on peut préciser cette idée et s'il existe une démonstration générale de ça. Ce qui est certain par contre c'est que lors de la quantification, le temps étant un opérateur comme un autre, il disparait en tant que "variable" des équations (comme dans l'équation WD citée au début), le temps n'étant qu'une valeur propre d'un opérateur et d'un état donné.
Le lien ci-dessus est bien car il aborde la question plus générale du lien entre hamiltonien et énergie (selon le fait que L/H dépendent explicitement du temps, etc...) à approfondir.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Hamilton est postérieur a Lagrange et a priori a du ajouter des nouveautés par rapport a la mécanique lagrangienne.
je suppose que le probleme se situe quelque part dans ces nouveautés pour l'énergie.
Et pourtant j'ai un doute. dans sa these Feynman évoque des situations ou l'un des deux ne peut les décrire. mais il parle de lagrange ou de hamilton?
Ou sont les particules? On est la! On est la! (deux fentes de Young)
j'ai retrouvé la these de Feynman sur le web. j'y trouve ceci
A generalization of quantum mechanics is given in which the central mathematical concept is the analogue of the action in classical mechanics. It is therefore applicable to mechanical systems whose
equations of motion cannot be put into Hamiltonian form. It is only required that some form of least action principle be available.
It is shown that if the action is the time integral of a function of velocity and position (that is, if a Lagrangian exists), the generalization reduces to the usual form of quantum mechanics. In the classical limit, the quantum equations go over into the corresponding classical ones, with the same action function.
Bref il s'interesse , si je lis bien au cas ou il y a un lagrangien mais ou l'équation de mouvenent ne peut se mettre sous forme hamiltonienne. et non le contraire .
s'agit il des hamiltoniens contraints?
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Salut,
Impossible à dire sur cet extrait.
Tu as un lien ? Il donne un exemple de tel système "sans hamiltonien" ?
Je me rappelle maintenant aussi avoir vu un exemple de système assez simple (mécanique classique) dont l'hamiltonien n'est pas l'énergie du système. Dans l'encyclopédia universalis. Mais malheureusement je ne me souviens plus des détails. Je suppose qu'il entrait dans les conditions du lien du message 3.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Dans sa these il ne fait pas une généralisation qui étendrait les lagrangiens a des cas sans hamiltoniens.
li propose une autre méthode de calcul en MQ celle des intégrales de chemins qui l'enrichit et d'une certaine facon l'étend.
et d'apres ce que je comprends il le fait pour les cas ou il y a un lagrangien qui décrit le mouvement.
voici le lien.
quand un systeme est contraint de rester sur une sphere dans le champ de pesanteur, on ne peut considerer tous les chemins allant d'un évenement sur la spher a un autre postérieur sur celle ci. ca a un rapport?
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BonjourEnvoyé par ornithology
Vaste sujet.
Pour tenter d'unifier la relativité générale et la mécanique quantique, un formalisme "hamiltonien" (ADM pour Arnowitt, Deser, Misner) de la relativité générale a été proposé.
L'équation de Wheeler-Dewitt s'inscrit dans cette démarche. L'idée est de ré-écrire les équations de la RG en formalisme hamiltonien avec des variables canoniques. Cela suppose un certain feuilletage de l'espace-temps (C'est une théorie 3+1 au lieu de 4) , ce qui brise la covariance, mais sous un certains nombre de contraintes cela devrait marcher. Une bonne introduction est donnée dans wiki.
https://en.wikipedia.org/wiki/ADM_formalism,
pour plus de détails tu peux consulter l'article original
https://authors.library.caltech.edu/...v.116.1322.pdf
un poil indigeste.
Pour H= 0, (associé au temps) et aussi Pi =0, (impulsion associé à l'espace) dans ce formalisme, c'est lié au fait que la solution utilise les multiplicateurs de Lagrange, optimisation sous contraintes.
Pour revenir à l'équation de Wheeler-Dewitt elle n'a pas vraiment donné de résultat exploitable pour la réunification RG-QM. Mais, si j'ai bien compris, ce formalisme ADM est utile pour les calculs numériques de certaines solutions en RG dont les équations n'ont que très peu de solutions analytiques.
Quant à l'énergie en RG, comme c'est une théorie géométrique elle est définie par des équations géométriques.
Par exemple en solution de Schwarzschild (TN) de masse M, c'est le flux du vecteur de Killing associé à l'énergie traversant la 2-sphère qui entoure la masse centrale sphérique, qu'on considère à l'infini, c'est plus simple, (il est conservatif). Il est donné par l'intégrale de Komar et vaut E =Mc² et il y a une variante hamiltonienne qui, évidemment, donne le même résultat. Si on prend la solution complète pour le TN , avec son symétrique, l'énergie du système (la paire) vaut zéro (le flux étant égal mais de direction opposée dans l'anti-trou noir). Cette solution apparaît donc comme un "dissociation" du néant en 2 entités symétriques.
Cordialement
La plupart des systèmes dits ouverts n'ont pas de description hamiltonienne. Simplement parce que une évolution hamiltonienne signifie être unitaire et donc sans dissipation.
Dépendant du degré d'approximation sur lequel on se place, je dirais qu'un système parfaitement fermé, isolé, n'existe pas.
Donc, l'affirmation Hamiltonien = Énergie n'est en fait jamais vraie
Pourtant on ajoute volontiers des forces extérieures à un lagrangien. Il n'y a pas d'hamiltonien dans ce cas ??? (je dois dire que de mémoire je ne m'en souviens pas)
(je ne par pas non plus des systèmes dissipatifs, là c'est possible, je connais moins bien)
EDIT ah, et H = Ecin + Epot (enfin, quand ça correspond à l'énergie) or les forces extérieures ne dérivent pas toujours d'un potentiel. Serait-ce ça le blème ?
Dernière modification par Deedee81 ; 10/01/2022 à 14h10.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Dans cet article l'auteur rappelle quand on a un probleme pour faire l'aller et retour entre hamiltoniens et lagrangiens au chapitre 3
c'est un probleme de bijection.
et on parle alors d'hamiltonien contraint. ce n'est pas la le centre du probleme?
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A partir du lagrangien on peut définir la notion d'impulsion défini connaissant position et vitesse (les variables du lagrangien)
l'hamiltonien a pour variables position et impulsion)
s'il n'y a pas bijection entre vitesses et impulsions a un point dans l'espace des phases x,p il va correspondre plusieurs configurations positions vitesses. comment alors retrouver l'équation de Schrodinger qui utilise l'opérateur énergie?
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Salut,
Probablement, il faudrait sans doute creuser. Je veux éviter de dire une grosse bêtise (en particulier pour ta dernière question ci-dessus).
EDOT il y avait longtemps que je n'avais pas vu une discussion aussi intéressante sur la "bête" mécanique analytique
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
y a t il des exemples ou en dérivant le lagrangien par rapport a la vitesse ou obtient p(x,v) paire par rapport a la vitesse?
Ou sont les particules? On est la! On est la! (deux fentes de Young)
Avec un v² ? (là il y aurait un soucis de dimension, mais doit y avoir moyen de moyenner comme on dit)
je ne sais pas, faut essayer de bricoler un truc (un lagrangien) pour voir si c'est réalisable. Un toy model juste pour voir
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
juste une question postée ailleurs
il faut comme l'indique une réponse avoir un f concave dans la transformation de Legendre. ca doit exister des f non concaves partout.
Ou sont les particules? On est la! On est la! (deux fentes de Young)
Bonjour
extrait wiki, pour info
Cordialement
Ou sont les particules? On est la! On est la! (deux fentes de Young)
C'est marqué au début de la page : Variational Principles in Classical Mechanics Douglas Cline
quelqu'un le connait ou son livre.
en tout cas il n'est pas cher. 1,79 euro en format liseuse....
Ou sont les particules? On est la! On est la! (deux fentes de Young)
j'ai découvert un nouveau mot dans ce livre c'est sclénomic ou scléronomeoux(quand le temps n'apparait pas de maniere explicite) vous connaissiez?
je n'ai pas trouvé l'équivalent en francais.
reqardes l'équation 7.45 H = E - (T1 - 2T0)
on lit cette phrase
in the special case where the transformation is scleronomic, then T1 = T0 = 0 , on a evie de s'arreter la et conclure que dans ce cas H = E
mais il y a un suite: and if the potential energy
does not depend explicitly ofthen the generalized energy (Hamiltonian) equals the total energy.5
je ne comprends pourquoi l'équation ne permet pas de conclure H = E plus tot.
Ou sont les particules? On est la! On est la! (deux fentes de Young)
Voir, par exemple, : univ-lemans.fr
J'avais jamais entendu, ça doit pas être particulièrement courant comme mot !!!!!
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
et pour la seconde partie de la phrase en anglais?
Ou sont les particules? On est la! On est la! (deux fentes de Young)
Sais pas, faut lire plus en détail
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Je cite seulement ...
" Page 60-64 Goldstein, Poole and Safko (3rd Edition) goes into a really nice derivation and description of the Energy Function. In the footnotes it states that this is equivalent to the Hamiltonian (it is just not in the correct generalized coordinates for the Hamiltonian). If this function is derived from scleronomous (equations of constraints are time independent) and there is no q˙ dependence in the potential energy, then you can show that h=T+V. These conditions make sure that T is 2nd degree homogeneous according to Euler's Theorem, and this is the condition that allows transformation to T+V.
This is all shown very nicely in Goldstein. "
Celui qui accroît son savoir , accroît sa souffrance . L'Ecclésiaste 1-18
j'ai compris. Dans le bouquin au début du chapitre 7 on suppose que l'énergie potentielle ne dépend pas des vitesses généralisées. on a donc H = p v - L ou les implusions proviennent uniquement de la partie énergie cinétique et non de l'énergie potentielle. si c étai le cas il faudrait remplacer p par p' qui prendrait compte de ce qui vient du poteniel U
et on n'aurait pas simplement H = E - (T1 - 2T0) d'ou le rappel en fin de phrase.
Ou sont les particules? On est la! On est la! (deux fentes de Young)
Arg, désolé, j'aurais du le voir. J'avais pas vu le point au-dessus du qi. Et de fait oui, c'est tout à fait ça.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Ce serait intéressant un modele ou on n'aurait pas H=E uniquement parce qu'il y a des vitesses dans l énergie potentielle.
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