Application concrète équation différentielle.

[hekla]

Bonjour,

Pour donner suite à mon précédent post sur les équations différentielles j'ai choisi de tenter une application avec une sous-question du concours général de physique 2006.

L'énoncé est mis en pièce jointe.

Je commence par vous donnez ce que j'ai trouvé dans les questions précédentes:

Pour la 1, k (représentant la raideur) s'exprime en N.m-1.
Et pour la 2 je pensais dire que l'atome d'oxygène est plus lourd donc que cela semblait logique de dire qu'il est fixe mais je suis pas bien sûr de ma réponse.

Et voilà le coeur du problème, je ne vois pas comment établir cette équation différentielle ni ce que je dois faire intervenir. Bref vos lumières m'aideront peut-être.

Merci à tous du temps que vous me consacrerez
à bientôt
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[invite4b9cdbca]

Bon le sujet n'est pas encore sorti, mais je peux deja te dire deux trois trucs.

D'après ce que tu dis, j'en déduis que ton problème concerne une molécule, ou quelquechose comme ça, et il faut décrire leurs mouvements.

1/Que l'oxygène soit plus lourd n'implique pas qu'il ne bouge pas, à moins qu'il soit vraiment beaucoup, beaucoup plus lourd, auquel cas on pourra alors faire l'approximation.

2/Le PFD peut parvenir au bout de bien des problèmes... mais je suppose que tu as déjà essayé. J'attends donc la validation de ta pièce jointe.

[Tbop]

Et bien on te dit que tu ne dois pas tenir compte de la pesanteur et des frottements fluides donc en toute logique il ne reste plus que la force de rappel du ressort à exprimer, on procède ainsi :



D'après la 2ème loi de Newton, on projette aussi selon



On arrive à cette équation différentielle. D'après ton cours de physique tu procèdes ainsi :

on sait que

de plus la forme générale des solution de l'équation différentielle est :

[Tbop]

Olé qu'est ce que je raconte moi !

on sait que

[A voir en vidéo sur Futura]

[hekla]

D'accord donc l'équation différentielle s'établit avec une formule connue.

Mais à quoi correspond le d²x/dt: c'est l'accélération?

Et ensuite j'en suis resté aux équations différentielles basiques de maths (y'=ay+b) comment arrive t'on à ce cos?

En tout cas merci de ton aide Tbop.
@+

[hekla]

Et sinon qu'est ce que la formule de Fo: une formule de cours aussi non?

[invite4b9cdbca]

Pour le cos, c'est la solution générale des équa diff de cette forme. Si tu le sais pas, ben... faut intuiter la solution.

Et le d²x/dt est bien l'accélération, soit la dérivée de la vitesse par rapport au temps.

et ou le f0 en fait tu peux le retrouver en dérivant deux fois ton expression et en l'injectant dans léqua diff.

[Tbop]

Ben de toute façon faut bien des bases ( des formules, des théories , des équations comme tu veux ) pour avancer !

Dis donc c'est le CG ça ??? même un exo normal de physique e TS est plus compliqué....

Ya quelque chose qui m'échappe quand même Hekla t'as fait une terminale S et tu ne sais pas résoudre ce genre de problème, ni même commencer à entrevoir la construction d'un raisonnement et d'une équation pour résoudre un problème... t'as bien écouté en cours ?

Si tu veux je peux même te sortir en toute simplicité l'équation différentielle ( bien plus compliquée ) d'un circuit RLC en sérié.

Pour ce qui est du comment en arrive-t-on à ce cos c'est tout simplement parce que c'est la seule fonction répondant aux critères donnés par l'équation.
La demo pour la solution je ne la connais pas ce n'est pas de mon niveau encore hélas, donc je fais comme tout élève de TS qui ne se respecte pas : je déballe la formule ( mais putain qu'est-ce que c'est naze la physique en TS ) et je raisonne pas, j'applique, j'applique, j'applique !

[Thwarn]

C'est une force de rappel, donc, avec les axe que l'on a, la force s'ecrie:


Sinon, tu a un probleme de signe avec ta solution.

De plus, n'est pas égale a mais à , c'est à dire la pulsation.

[invitea8d97425]

Je suis d'accord, le f0*t dans un facteur de phase chagrine l'oeil...

Pour la démo, en anticipant un peu sur ce que vous verrez plus tard, la solution en cos vient du théorème dit de Cauchy-Lipschitz linéaire qui dit qu'il y a existence et unicité d'une solution à un tel problème de Cauchy (ie. équa diff + conditions initiales). Une des conséquences du théorème permet de dire que les solutions en A*cos + B*sin, qui "fonctionnent", sont les seules.

[Tbop]

C'est exact thwarn je m'en excuse.

[invite4b9cdbca]

C'est une force de rappel, donc, avec les axe que l'on a, la force s'ecrie:


Sinon, tu a un probleme de signe avec ta solution.

Et on aurait une solution exponentielle : pauvre ressort !

[Tbop]

J'avoue j'ai écris en vitesse j'ai oublié le signe moins, pour ce qui est de Fo j'attribue ça lachement à l'heure à laquelle j'ai écris ça niark niark ^^ ! En faite j'avais l'intention de le trouver par le calcul mais j'ai eu la flemme, du coup j'ai sorti ce qui me semblait être la solution

[hekla]

Non justement je n'ai pas fait de Ts, je commencerai à la rentrée.
J'ai juste anticipé...
Sinon oui c'est un extrait du concours général de physique 2006, mais ne te méprends pas: ce n'est qu'un tout petit extrait

Et pour les formules, je ne les connais pas encore toutes ^^ donc si vous avez des liens concernant le cos ou encore la 2ème loi de Newton (notamment sur la partie qui est utilisée ici) n'hésitez pas.
De mon coté je chercherai de toute façon mais ça m'aidera toujours

en tout cas merci

[hekla]

Ah oui j'oubliais, qu'est ce que la pulsation Thwarn?
Et pour le calcul de f0, est ce à savoir ou à démontrer?
Merci à tous pour votre patience

[Thwarn]

Pour la pulsation, le mieux c'est d'aller voir la:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9quence_angulaire

Pour le calcule de F0, c'est une espece de definition...

on a ma=-kx (deuxieme loi de Newton, avec a l'acceleration, cad d²x/dt²)

Et là on bidouille:
a=-k/mx et on nomme tout simplement

[Coincoin]

et on nomme tout simplement

Pas seulement... c'est surtout qu'on voit que cette grandeur est effectivement la fréquence des solutions. Parce que je peux très bien appeller schtroumpf la grandeur , ça m'avancera pas beaucoup !

[invite4b9cdbca]

Pas seulement... c'est surtout qu'on voit que cette grandeur est effectivement la fréquence des solutions. Parce que je peux très bien appeller schtroumpf la grandeur , ça m'avancera pas beaucoup !

Be si tu auras créé une nouvelle notion qui sera peut-être véhiculée de par le monde si quelque scientifique loufoque y trouvait une utilité quelconque. Courage ! Parfois la découverte n'est qu'un concours de circonstances hasardeuses...

[Thwarn]

Pas seulement... c'est surtout qu'on voit que cette grandeur est effectivement la fréquence des solutions. Parce que je peux très bien appeller schtroumpf la grandeur , ça m'avancera pas beaucoup !

On est d'accord
Ce que je voulais dire, c'est que lors de la resolution (mathematique) de l'equa dif, on remplace sqrt(k/m)/2pi par une constante que qu'on note f car elle correspond physiquement à une frequence, mais qu'on aurait tout aussi bien appeler blop400

[hekla]

Bon finalement tout a été remis en place, je suis tombé sur un article de wikipédia (ça a du bon cette encyclopédie libre) qui a pu compléter ce que vous avez dit.
En tout cas merci à tous pour vos lumières
à bientot sur le forum

[Tbop]

Ne t'inquiètes pas hekla tu comprendras tout ça dans quelques mois

[hekla]

Re bonjour tous le monde,

J'aimerais poursuivre avec les deux questions suivantes du concours général (en effet les sujets du concours général me semblent assez complets). Je vous laisse voir l'énoncé sur la pièce jointe.

Pour la première question, il suffit , d'après le principe fondamental de la dynamique, de faire la somme des forces qui agissent sur l'atome H (la force éléctromagnétique et la force de tension) puis d'établir l'équation différentielle avec ma (avec a l'accélération). Jusque là je pense que ça s'est bien passé.

Mais comment trouver les solutions cette fois?
Et comment répondre à l'autre question: je ne vois pas du tout ce qui est demandé.

Pourriez vous me venir en aide?
Merci à tous et à bientot

[invite4b9cdbca]

Ici ,tu as une équation du type : ma = qE - kx
Si on retourne le problème on a ma + kx = qE
tu résouds d'abord ton équadiff sans second membre : tu trouves la solution homogène.
Pour la solution particulière, ici c'est un peu galère. La théorie est pas très drole.
Intuitivement, tu sais qu'en dérivant deux fois un cosinus, tu retombes sur un cosinus, avec le signe de différent : cool
Alors supposons que A*cos(2pi*f*t) + B*sin(2pi*f*t) soit solution (je note 2*pi*f = j pour plus de commodités)
Alors si c'est une solution, ça vérifie : kA*cos(jt) + m*(A*cos(jt))'' + kB*sin(jt) + m*(B*sin(jt))'' = qEcos(jt)
Alors après par identification tu trouves un truc genre A = qE/(m(1-j²)) et B = 0

Bon voila, je me suis peut être trompé, mais bon...
L'important c'est que tuconnais deja la solution homogène, et n'importe quelle solution particulière fait l'affaire.

[hekla]

Merci beaucoup pour ton aide kron.

Je pense avoir à peu près tout saisi sauf le calcul de Xo (ou A pour toi), il suffit de résoudre l'équation:kA*cos(jt) + m*(A*cos(jt))''=qEcos(jt)?
Q'appelles tu l'identification?
En fait qu'advient il du (A*cos(jt))''? Comment le développes tu?


En tout cas merci encore

[invite4b9cdbca]

en fait en dérivant deux fois ton A*cos(jt) tu te retrouve avec -A*j²*cos(jt)
Tu as donc k*A*cos(jt) - m*A*j²*cos(jt) = qEcos(jt)
Tu simplifies par cos(jt), ce qui est possible car c'est vrai pour tout t>0 (éventuellement)
A(k-mj²) = qE
D'où A = qE/(k-mj²)
Bon je t'avais donné un résultat faux, mea culpa.
Là ça devrait être meilleur ^^

méthode d'identification : tu identifies tes inconnues A, B ou je ne sais quoi aux valeurs connues à leur place respectives.
Ici j'identifie A(k-mj²) au coefficient devant le cos, soit qE.

J'espère ne pas m'être planté et avoir été à peu près clair

A+

[b@z66]

En passant, en posant f égal à f0, tu dois te rendre compte que l'amplitude de ton oscillation doit tendre vers l'infini: c'est le phénomène de résonnance.

[hekla]

Tout est bien plus clair dans ma tête maintenant.

Même si le niveau et les connaissances requises dépassent celles nécessaires en Ts je pense que ça sera toujours ça de gagné...

A bientôt et merci à tous pour votre aide précieuse