Principe de moindre action

[Ikgn]

Bonsoir j'ai une preoccupation sur le dit Principe de moindre action, il est dit que "la trajectoire d'une particule (ou d'un système de manière plus générale)
s'obtient en demandant qu'une certaine fonctionnelle S appelée "action" soit stationnaire par rapport à
une variation de la trajectoire. En d'autres termes, si nous effectuons une variation infiniment petite de
la trajectoire, la variation doit être nulle.

Deja le terme stationnaire ci j'ai bien compris ca veut dire qu'il doit etre minimal ou maximal mais pourquoi ne pas dire extremal si c'est bien ca ?
Ensuite en quoi le fait que pour la trajectoire suivit naturellement en faisant une infime variation, la variation de l'action doit etre nulle pour ce chemin et pour aucun autre pourtant Dans la demonstration de dS=0 je me vois pas trop l'unicité juste que la variation doit etre petite
Merci d'avance
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[Deedee81]

Salut,

Deja le terme stationnaire ci j'ai bien compris ca veut dire qu'il doit etre minimal ou maximal mais pourquoi ne pas dire extremal si c'est bien ca ?

Parfois on dit extrémal, en effet.
(mais selon le contexte théorique et la convention, de signe, c'est toujours soit minimal, soit maximal, donc ne pas chercher les deux dans une situation donnée précise )

Ensuite en quoi le fait que pour la trajectoire suivit naturellement en faisant une infime variation, la variation de l'action doit etre nulle pour ce chemin et pour aucun autre pourtant Dans la demonstration de dS=0 je me vois pas trop l'unicité juste que la variation doit etre petite

Tu as raison. Dans le voisinage de la trajectoire, l'unicité est garantie (un extrema c'est un extrema). Mais ça peut être un extrema local. Il peut arriver qu'il y ait plusieurs trajectoires extrémales. Je n'ai pas d'exemple en tête mais ça peut en principe arriver. A si un exemple typique que j'avais déjà vu : l'oscillateur harmonique où on peut imposer éventuellement une contrainte en plus (par exemple "une seule oscillation").

C'est une difficulté technique qui peut donner des cheveux gris mais, bon, la plupart du temps on ne rencontre pas cette difficulté. Dans l'espace des phases les trajectoires ne peuvent pas se couper (pour un système déterministe), donc ces solutions multiples qui se coupent (dans l'espace de configuration, pas de phases) sont franchement occasionnelles et sont facile à traiter (avec le contexte physique approprié). C'est comme en RG : par deux événements il ne passe qu'une seule géodésique, oui localement, mais pour des distances finies, non, il y a des cas un peu tordu où il y a une infinité de géodésiques ! Mais c'est un soucis auquel je n'ai jamais été confronté en pratique. Peut-être que ceux qui développent des outils numériques doivent-ils faire un peu attention, mais si j'ai fait beaucoup de numérique (et encore maintenant) ce n'est pas vraiment dans ce domaine, là ce n'est pas du tout ma spécialité.

[0577]

Bonjour,

stationnaire est plus général qu'extrémal a priori. Par exemple, pour une fonction d'une variable, un point stationnaire peut être un point d'inflexion, qui n'est ni un minimum ni un maximum local (exemple: x^3 en x=0).

(un exemple plus élaboré: une solution des équations d'Einstein dans le vide (en dimension d'espace-temps>2) est un point stationnaire de l'action de Einstein-Hilbert mais n'est jamais un extremum local).

[Deedee81]

Ah ! Dans le principe de moindre action, ca peut être un point d'inflexion ? Ca je l'ignorais !!!! Tu aurais une ref là dessus pour l'action de EH ? (juste par curiosité )

[A voir en vidéo sur Futura]

[Ikgn]

J'ai bien compris la premiere partie de votre explication mais la deuxieme je n'ai pas encore le le bagage suffisant car j'ignorais encore ce qu'est une géodesique jusqu'a maintenant,

Si j'ai bien compris, ce qu'on appelle action est une fonction de la trajectoire ( Des coordonnées genéralisée et des vitesses genéralisées en realité mais Dans une vision deterministe ces coordonnées aboutissent a une trajectoire) et comme pour une fonction en mathematique une derivée qui s'annule correspond a un extremum (sauf cas particulier) de la fonction donc la trajectoire en question correspond a une action extremal et le Principe de moindre action dit que la nature agit toujours de sorte a minimiser l'action donc c'est pourquoi c'est cette trajectoire qui sera suivit est-ce correct ou y'a t'il des nuances ?

[Deedee81]

Salut,

Si j'ai bien compris, ce qu'on appelle action est une fonction de la trajectoire ( Des coordonnées genéralisée et des vitesses genéralisées en realité mais Dans une vision deterministe ces coordonnées aboutissent a une trajectoire) et comme pour une fonction en mathematique une derivée qui s'annule correspond a un extremum (sauf cas particulier) de la fonction donc la trajectoire en question correspond a une action extremal et le Principe de moindre action dit que la nature agit toujours de sorte a minimiser l'action donc c'est pourquoi c'est cette trajectoire qui sera suivit est-ce correct ou y'a t'il des nuances ?

Non pour moi c'est bon. Juste un petit complément peut-être sur "la nature agit toujours de sorte a minimiser l'action" : en fait c'est une conséquence des lois physiques et même plus, on construit l'action pour qu'il en soit ainsi. La démonstration dans l'encyclopédia universalis à partir des travaux virtuels est assez élégante je trouve mais on doit trouver ça assez facilement sur le net.

[Ikgn]

Bonsoir, d'accord je vais y jeter un coup d'oeil. merci pour les responses