Valeurs propres et vecteurs propres en Mécanique quantique

[Asta1506]

Bonjour à tous ,

Voici mon problème : je viens de commencer il y a peu le chapitre sur la mécanique quantique et je suis un peu perdu .

Effectivement dans un exercice on me donne deux vecteurs ( x et phi) étant deux vecteurs propres d'un opérateur hermitien A avec valeur propre différentes et on me demande de montrer dans ce cas que le produit scalaire entre x et phi vaut 0

Je ne sais vraiment pas par où commencer à part dire que comme A est hermitien il vérifie A+A = 1 (identité)

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Cordialement
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[gts2]

Bonjour,

Votre définition de hermitien est à revoir.
Pour montrer que deux vecteurs sont orthogonaux, il faut calculer le produit scalaire, ici il faut tenir compte du fait que ce sont des vecteurs propres donc faire apparaitre et donc effectuer le produit scalaire .

[Deedee81]

Manqué de temps, pris de vitesse par gts2

.... précisons que ensuite on utilise le fait qu'on a des états propres pour développer le produit scalaire. Le résultat n'est pas très difficile. Et en fait même pas besoin de faire intervenir le fait que A est hermitien.

P.S. en effet, hermitien ce n'est pas A+A = 1 ni d'ailleurs A+A+=1 (ici A+ égal conjugaison hermitienne) ni A fois A+=1. C'est A = A+
(cela implique que les valeurs propres sont réelles mais sans plus, aucune raison d'avoir cette relation à l'identité)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Hermit...ce_hermitienne

EDIT ceci me fait dire que.... "le chapitre sur la MQ" en question : c'est un cours, un bouquin, un pdf/article sur le net ? (au cas où on pourrait vérifier qu'il n'y a pas un truc anormal dans ce chapitre.... qui sait !)

[Asta1506]

Merci de votre réponse .

Effectivement je m'étais trompé pour la définition de hermitien.

j'ai donc écris A=A+ pour hermitien et en suite j'ai écris que A|x> = λ|x> et que A|Φ> = λ' |Φ> ensuite j'ai fait le produit scalaire et j'ai donc écris <x|A|Φ> = <x|λ'|Φ>

je ne sais pas si cela est juste mais j'en suis ici pour l'instant ( je ne suis pas encore trop à l'aise avec la notation "bracket" de dirac comme nous venons de commencer le chapitre)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Tu y es presque, avec l'autre tu as <x|A|Φ> = <x|λ|Φ> (pas de conjugaison complexe, λ est réel).
Et bien sûr <x|nombre|Φ> = ce nombre fois <x|Φ>
Y a plus qu'à comparer et conclure

[MissJenny]

elle est bizarre votre façon de noter les produits scalaire. Pour ma part je ferais (dans le cas réel symétrique mais c'est la même chose) : supposant que x et y sont vecteurs propres de la matrice A symétrique, associés aux valeurs propres m et n (donc qu'on a Ax=mx et Ay=ny) on a, puisque A=A' : x'Ay = x'A'y mais Ax=mx s'écrit x'A' = mx' et donc x'Ay peut se lire x'(Ay) = nx'y et aussi (x'A')y = mx'y et donc on a l'égalité nx'y = mx'y et puisque m est différent de n on a nécessairement x'y=0

[Asta1506]

Encore merci de votre réponse .

J'en suis là j'ai donc : <x|A|Φ> = <x|λ'|Φ> = λ' <x|Φ> et <Φ|A|x> =<Φ|λ|x> = λ<Φ|x> et ensuite c'est au moment de comparer que ça bloque j'imagine que du coup on a <x|A|Φ> = <Φ|A|x> comme A est hermitien et que du coup on a :
λ' <x|Φ> = λ<Φ|x> et que dans ce cas comme λ' différent de λ , on a nécessairement que <x|Φ> = 0 ?

[albanxiii]

elle est bizarre votre façon de noter les produits scalaire.

C'est la notation de Dirac, très pratique en mécanique quantique car elle permet de simplifier les écritures et de manipuler de la même façon des fonctions d'onde définies sur des espaces différents (espace physique 3D par exemple et espace des états de spin) : https://forums.futura-sciences.com/p...-ket-plus.html

[Deedee81]

Asta1506, c'est ok