Lois de Kepler et quantum de moment cinétique

[stefjm]

Bonjour,
Ce n'est pas vraiment une question, juste un récapitulatif de ce qu'on peut écrire simplement avec des entiers en physique.

La résolution de l'équation de la troisième loi de Kepler

sur les entiers donne une équation diophantienne qui se résout facilement en

avec n, entier positif ou nul.

On obtient donc


La vitesse aréolaire constante (seconde loi de Kepler), donne et apparait alors comme quantifiée.

est de la forme , donc de la forme .
est donc de la forme n, quantifié également par n entier.

On a donc


La relation d'Einstein , permet d'écrire et d'éliminer la masse M.
avec c une vitesse en et quantifié par .

, soit la relation de Planck.

Et par ailleurs

est en


, niveau d'énergie en

Toutes questions et remarques sont les bienvenues.
Cordialement
-----

[stefjm]

Bonjour,
Comment qualifieriez-vous le fait que la résolution diophantienne (résolution sur les entiers) de la troisième loi de Kepler quantifie le moment cinétique?
Cordialement

[ThM55]

J'avoue que je ne vois pas bien pourquoi on voudrait considérer cela comme des équations diophantiennes. Dans la (vraie) loi de Kepler, il y a un coefficient qui n'a rien d'un entier et il n'y a pas de raison que pour un T entier par exemple (ce qui est toujours possible par choix de l'unité), le L le soit aussi. Et aussi évidemment si vous décidez que tout est entier, forcément le moment angulaire sera quantifié, cela tombe sous le sens.

[Deedee81]

Salut,

Une question qui est peut-être intéressante (pour peu qu'elle ait un sens) est celle-ci : le moment cinétique est quantifié en mécanique quantique, mais fortement non classique (par exemple, dans la composition des moments cinétiques on ne parle pas souvent des coefficients de Clebsh-Gordan en physique classique Mais déjà rien que les projections et autre c'est pas du tout classique). Quel est le lien/différence avec la loi de Kepler et si différent y a-t-il une formulation appropriée ?

Je dois dire que je n'ai pas du tout assez réfléchit pour répondre ni même si cela a un sens, ma crainte est la notion de "période" et celle "d'orbite" (mais la seule chose certaine est qu'on est très loin de simplement être confronté à ce bon vieux Diophante et à l'échelle macroscopique cela n'a tout simplement aucun intérêt. Mais la question est intéressante. Et si quelqu'un à le temps de creuser un peu le sujet, why not)

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Ah oui mais ça c'est l'exercice de Niels Bohr 1913: si mes souvenirs sont bons il a simplement postulé une quantification des niveaux d'énergie stationnaires, il en résultait une quantification du moment angulaire. Sommerfeld a ensuite reformulé cela en postulant la quantification du moment angulaire, ce qui est un peu plus général et permet de passer au cas relativiste. Tout cela est dans "l'ancienne théorie quantique", un peu oubliée car rendue obsolète par la mécanique quantique.

[Deedee81]

Ah oui, bien vu ça. J'avais oublié ça. Et évidemment, une fois en MQ, il reste les difficultés de sens que j'ai soulevé (comme : comment parler de trajectoire de Kepler pour un électron par exemple). La seule bonne chose est que le "spin" du moment angulaire orbital est 1, donc c'est vectoriel. Mais à part ça.... on va pas loin.

[stefjm]

Le coefficient G(M+m)/(4pi^2) peut être normalisé à 1 en choisissant l'année comme unité de temps et l'unité astronomique comme unité de longueur.
Cela ne réduit pas la généralité et cela reste chrono-géométrique, ie indépendant de la masse.

Ce qui m'a interpelé :
- le n de la solution en n^2 de L^3=T^2, est celui qui quantifie le moment cinétique.
- le n^2 de cette solution est aussi celui des niveaux d'énergie (spectre en 1/n^2).

Le seul point de départ est T et L entier.
Cela n'implique pas que le reste le soit aussi. Il pourrait y avoir des fractions.

Je trouve que les modèles basés sur les entiers sont plus élégants.
Malheureusement, plus difficile aussi...

[coussin]

Ah oui, bien vu ça. J'avais oublié ça. Et évidemment, une fois en MQ, il reste les difficultés de sens que j'ai soulevé (comme : comment parler de trajectoire de Kepler pour un électron par exemple). La seule bonne chose est que le "spin" du moment angulaire orbital est 1, donc c'est vectoriel. Mais à part ça.... on va pas loin.

Les atomes de Rydberg circulaires (les préférés de Haroche ) ont déjà un comportement quasi-classique avec une trajectoire relativement bien définie pour l'électron. Et tout ça pour un moment angulaire de quelques 50 hbar.
Le moment angulaire de la Terre autour du Soleil est de quelques 1e74 hbar, je pense qu'on peut y appliquer la physique classique

[stefjm]

Les atomes de Rydberg circulaires (les préférés de Haroche ) ont déjà un comportement quasi-classique avec une trajectoire relativement bien définie pour l'électron. Et tout ça pour un moment angulaire de quelques 50 hbar.
Le moment angulaire de la Terre autour du Soleil est de quelques 1e74 hbar, je pense qu'on peut y appliquer la physique classique

Ou jouer avec de grands nombres entiers.

[ThM55]

Je me trompe peut-être mais derrière ces idées il y aurait l'idée de faire de la physique uniquement avec des entiers ou des rationnels, non? Il y en a qui ont essayé, ils ont eu des problèmes .

[Deedee81]

Salut,

Je me trompe peut-être mais derrière ces idées il y aurait l'idée de faire de la physique uniquement avec des entiers ou des rationnels, non? Il y en a qui ont essayé, ils ont eu des problèmes .

C'est se casser la tête pour rien (et dans les théories spéculatives de gravitation quantique, c'est évidemment plus compliqué, c'est plutôt du ressort de la théorie des graphes + toutes les complications MQ états superposés etc.... Très difficile mais pas juste du "calcul avec des entiers", c'est comme je disais plus haut pour le spin : c'est profondément non classique et ne se résout pas juste à faire du moment cinétique en nombres entiers. Dans ce cas là c'est plutôt du coté des représentations du groupe des rotations qu'il faut zieuter).

Ceci dit, pour faire joujou, ma foi.... why not.

[Deedee81]

Ah oui, la pure discrétisation (pas la quantification !) à l'échelle de Planck donne des résultats faux. Ca devrait se voir dans les spectres.

Je n'ai plus la référence mais je peux chercher (si je retrouve).

[stefjm]

@ThM55 oui, c'est l'idée. Qui a essayé ?

@Deedee parce que le pas de quantification estimé par AD n'est pas la longueur de Planck mais 4 10^-96 m.

[Deedee81]

Ah oui, là ça doit passer
(sans être nécessairement correct, il n'en reste pas moins que la quantification n'est pas une discrétisation, faut pas l'oublier. Sinon on ne l'appellerait pas la mécanique quantique mais la mécanique discrète)

[ThM55]

Je crois que le plus ancien qui a eu de sérieux problèmes doit remonter à Pythagore. Dans son école, il était entendu que toutes les mesures en géométrie devaient être rationnelles. La découverte de l'irrationalité de la racine carrée de 2 fut un scandale et devait être tenue secrète. Mais la vérité finit toujours par circuler. La littérature antique raconte qu'un membre de l'école, Hippase de Métaponte, aurait révélé la nature de l'incommensurabilité et de ce fait aurait été exclu de l'école des pythagoriciens. Celle-ci lui aurait érigé un tombeau pour signifier qu'à leurs yeux il était mort. Certains auteurs avaient même rapporté qu'il aurait été noyé mais c'est sans doute une interprétation trop littérale de ce qui était une métaphore. En réalité ceux qui avaient le problème, c'étaient les pythagoriciens, pas Hippase, car leur attitude était intenable: avec leurs hypothèses, il est impossible d'assigner une longueur à la diagonale du carré si on peut le faire pour ses côtés.

La difficulté d'utiliser les rationnels est de nature topologique. En physique jusqu'à présent on a eu besoin de l'analyse: il faut manier des fonctions, les dériver, les intégrer, résoudre des équations différentielles. L'analyse dépend de notions de limites qui nécessitent l'usage des réels, c'est-à-dire une complétion de Q. Cela dit, R n'est pas la seule complétion: il y a aussi les corps p-adiques, sur lesquels on peut aussi faire de l'analyse. Mais elle est très différente de l'analyse réelle et à ma connaissance ne correspond à rien de concret en physique (mais je ne connais pas tout, bien sûr!).

[stefjm]

Je crois que le plus ancien qui a eu de sérieux problèmes doit remonter à Pythagore. Dans son école, il était entendu que toutes les mesures en géométrie devaient être rationnelles. La découverte de l'irrationalité de la racine carrée de 2 fut un scandale et devait être tenue secrète. Mais la vérité finit toujours par circuler. La littérature antique raconte qu'un membre de l'école, Hippase de Métaponte, aurait révélé la nature de l'incommensurabilité et de ce fait aurait été exclu de l'école des pythagoriciens. Celle-ci lui aurait érigé un tombeau pour signifier qu'à leurs yeux il était mort. Certains auteurs avaient même rapporté qu'il aurait été noyé mais c'est sans doute une interprétation trop littérale de ce qui était une métaphore. En réalité ceux qui avaient le problème, c'étaient les pythagoriciens, pas Hippase, car leur attitude était intenable: avec leurs hypothèses, il est impossible d'assigner une longueur à la diagonale du carré si on peut le faire pour ses côtés.

Jolie remontée historique!
Dans une physique où la notion de trajectoire n'existe plus, ce n'est pas trop gênant d'avoir des problèmes avec la longueur de la diagonale du carré.
Avec de grands nombres, les approximations rationnelles suffiront largement à obtenir racine de 2 ou pi avec la précision nécessaire.

La difficulté d'utiliser les rationnels est de nature topologique. En physique jusqu'à présent on a eu besoin de l'analyse: il faut manier des fonctions, les dériver, les intégrer, résoudre des équations différentielles. L'analyse dépend de notions de limites qui nécessitent l'usage des réels, c'est-à-dire une complétion de Q. Cela dit, R n'est pas la seule complétion: il y a aussi les corps p-adiques, sur lesquels on peut aussi faire de l'analyse. Mais elle est très différente de l'analyse réelle et à ma connaissance ne correspond à rien de concret en physique (mais je ne connais pas tout, bien sûr!).

J'ai toujours préférer l'algèbre à l'analyse.

L'intégration des équations différentielle pose le soucis des conditions initiales, problème qui gênait beaucoup Poincaré. Au moins avec les équations aux différences, on n'a pas le soucis.

Le principe de relativité ne s’applique pas aux équations finies directement observées, mais aux équations différentielles.
Or, comment peut-on passer des équations finies aux équations différentielles dont elles sont les intégrales ? Il faut connaître plusieurs intégrales particulières différant les unes des autres par les valeurs attribuées aux constantes d’intégration, puis éliminer ces constantes par différentiation ; une seule de ces solutions est réalisée dans la nature, bien qu’il y ait une infinité de possibles ; pour former les équations différentielles, il faudrait connaître non seulement celle qui est réalisée, mais toutes celles qui sont possibles.
Or si nous n’avons qu’un seul système de lois s’appliquant à tout l’univers, l’observation ne nous donneras qu’une solution unique, celle qui est réalisée ; car l’univers n’est tiré qu’à un seul exemplaire ;

[Deedee81]

Mais elle est très différente de l'analyse réelle et à ma connaissance ne correspond à rien de concret en physique (mais je ne connais pas tout, bien sûr!).

La mienne non plus et la question avait même déjà été posée dans ce forum (avec une seule réponse, justement de StefJM, disant "bonne question" )

Il y a les espaces de Banach mais ils sont construit sur le corps de réels ou des complexes (jamais vu de version avec des entiers, on retomberait sur le problème de Pythagore )
L'ensemble des suites aussi (avec une définition appropriée de la distance, mais il me semble que c'est équivalent aux réels)
on est fort limité en fait.

[stefjm]

Ah oui, là ça doit passer

Large!
ce 4.10^96 m , c'est la longueur hbar/(Masse Univers Observable.c).

Difficile d'envisager plus petit!

[Deedee81]

On s'est croisé.

Dans une physique où la notion de trajectoire n'existe plus, ce n'est pas trop gênant d'avoir des problèmes avec la longueur de la diagonale du carré.

Mais la géométrie subsiste !!!!! Et le problème avec. Pas besoin de trajectoire pour avoir des soucis !

Après tu parles d'approximations, là bien sûr, plus de soucis si ce n'est la raison pratique (faut être un peu cinglé pour éviter d'utiliser la puissance de l'analyse.... même quand on préfère l'algèbre ).

P.S. je n'a vraiment pas compris ce passage de Poincaré. Il semble plutôt obscur. Manque peut-être du contexte ???

[stefjm]

a mienne non plus et la question avait même déjà été posée dans ce forum (avec une seule réponse, justement de StefJM, disant "bonne question" )

Je viens de remonter le fil!
Et d'apprendre qu'il y a un théorème d'Ostrowski qui montre qu'il n'y a que deux complétions possibles pour Q : les réels et les p-adiques.

On s'est croisé.
Mais la géométrie subsiste !!!!! Et le problème avec. Pas besoin de trajectoire pour avoir des soucis !

La géométrie est une vue de l'esprit, des mathématiques. Ce n'est pas physique.

Après tu parles d'approximations, là bien sûr, plus de soucis si ce n'est la raison pratique (faut être un peu cinglé pour éviter d'utiliser la puissance de l'analyse.... même quand on préfère l'algèbre ).

Il y a des limites, même en analyse, et avec jeux de mots!

P.S. je n'a vraiment pas compris ce passage de Poincaré. Il semble plutôt obscur. Manque peut-être du contexte ???

C'est une critique des équations différentielles utilisées en physique, suite à la découverte de h par Planck.
Poincaré préférait les formes intégrées pour décrire en physique.

[Deedee81]

La géométrie est une vue de l'esprit, des mathématiques. Ce n'est pas physique.

Quand on fait de la représentation de la physique, avec des nombres et tout et tout (et même tout ce qu'il y a depuis le début de ce fil), on ne peut pas escamoter les maths. Et si tu dis à un architecte que la géométrie n'a rien de physique il va te rire au nez. Tu ne peux pas non plus prendre "une partie de la physique", celle qui t'arrange, et mettre un voile pudique sur tout le reste, c'est pas très scientifique de faire ça.

Il y a des limites, même en analyse, et avec jeux de mots!

Oui mais moins de limite que sans l'analyse. Rien qu'en théorie des nombres (on n'est pas en physique là, mais c'est très illustratif), nombre de théorèmes ont été obtenus en faisant le détour par l'analyse. En fait je connais (au moins) un cas qui bloque à cause des limites de l'analyse en physique et qu'on ne sait pas résoudre car on n'a rien de plus puissant (c'est un cas en gravité à boucles, je connais aussi de telles limites en théorie des champs mais là je ne peu pas être entièrement affirmatif sur l'impossibilité de les résoudre).

Et rien qu'à voir la puissance des fonctions analytiques en théorie axiomatique des champs il y a de quoi être admiratif.

C'est une critique des équations différentielles utilisées en physique, suite à la découverte de h par Planck.
Poincaré préférait les formes intégrées pour décrire en physique.

Je ne vois pas trop pour la critique. Mais pour les intégrales, ça je le comprend. Quand on peut passer à des équations intégrales on ne se gêne pas. C'est beaucoup plus facile (enfin, bon, pas trivial pour autant).
Ca c'est une drôle de coïncidence, je suis justement en train de regarder le modèle de Chew-Low en physique des particules et une des étapes c'est ça
(holà, je vois qu'on trouve peu de truc simple sur le sujet : physical review and cie, bon tant pis pour le lien, de toute façon c'est HS)

[stefjm]

Quand on fait de la représentation de la physique, avec des nombres et tout et tout (et même tout ce qu'il y a depuis le début de ce fil), on ne peut pas escamoter les maths. Et si tu dis à un architecte que la géométrie n'a rien de physique il va te rire au nez. Tu ne peux pas non plus prendre "une partie de la physique", celle qui t'arrange, et mettre un voile pudique sur tout le reste, c'est pas très scientifique de faire ça.

La géométrie, c'est le truc ou on dessine des cercles et des carrés d'épaisseur nulle. Des mathématiques, pas de la physique.
Il y a des applications, bien sûr.

[ThM55]

En effet, il existe des espaces de Hilbert p-adiques (construits sur les corps p-adiques), des groupes de Lie p-adiques et les mathématiciens étudient aussi des "anneaux adéliques", ou "adèles" (je ne sais pas si cela vient du prénom de la tante de l'inventeur ou de l'inventrice ), en particulier un anneau qui est le produit (ou la somme, je ne sais plus) de toutes les complétions de Q, donc les réels et toutes les complétions p-adiques. C'est utilisé intensivement en théorie des nombres. On peut toujours compter sur les mathématiciens pour nous épater! Cela pour dire qu'il y a un vaste monde qui potentiellement pourrait avoir, dans mille ou deux mille ans (?), un rôle à jouer en physique.

Les équations aux différences ont aussi besoin de conditions initiales ou aux limites. Il est vrai qu'en analyse réelle on a plus de contraintes. Il y a des problèmes mal posés qui pourtant semblent légitimes. Il faut toujours vérifier que ce qu'on définit par des séries est convergent, continu, si on peut permuter ou non les opérations, etc.

En analyse ces difficultés ont provoqué une sorte de fuite en avant, avec des techniques plus fines et plus élaborées. Mais en fin de compte ces techniques (par exemple l'intégrale de Lebesgue, ou la théorie des distributions) ont tendance à lisser les problèmes, à les rendre vraiment plus simples. C'est pourquoi je ne suis pas un "ennemi de l'analyse".

[Deedee81]

La géométrie, c'est le truc ou on dessine des cercles et des carrés d'épaisseur nulle. Des mathématiques, pas de la physique.
Il y a des applications, bien sûr.

Non, en physique la géométrie c'est quand tu mesures des distances, des angles.... et que tu vois les relations. N'essaie pas de faire ton malin.
Sinon je peux dire que tes nombres et tout c'est pas de la physique mais des maths et que ça n'a rien à faire ici. Faut pas pousser bobonne quand même. La pauvre

Thm55 a oui bien vu pour le soucis des équations aux différences (je veux dire les conditions), je n'avais pas tilté.

[stefjm]

En analyse ces difficultés ont provoqué une sorte de fuite en avant, avec des techniques plus fines et plus élaborées. Mais en fin de compte ces techniques (par exemple l'intégrale de Lebesgue, ou la théorie des distributions) ont tendance à lisser les problèmes, à les rendre vraiment plus simples. C'est pourquoi je ne suis pas un "ennemi de l'analyse".

Quand je vois une distribution, je sors ma transformée intégrale préférée (Laplace) et je me retrouve en algèbre...

: échelon de Heaviside
: impulsion de Dirac

[stefjm]

Non, en physique la géométrie c'est quand tu mesures des distances, des angles.... et que tu vois les relations. N'essaie pas de faire ton malin.
Sinon je peux dire que tes nombres et tout c'est pas de la physique mais des maths et que ça n'a rien à faire ici. Faut pas pousser bobonne quand même. La pauvre

Supprimer les entiers, c'est l'étape ultime!

[Deedee81]

Salut,

Quand je vois une distribution, je sors ma transformée intégrale préférée (Laplace) et je me retrouve en algèbre...

Autant j'aime l'algèbre (c'est vrai que c'est souvent plus simples), et même les algèbres (je me suis noyé dans les algèbres de von Neumann à un moment (*)) mais.... une intégrale de Laplace, c'est de l'analyse, non ?

(*) C'est bien la seule fois où j'ai trouvé des travaux de Alain Cones compréhensibles (par moi)

EDIT ah non, ignore ma question, je viens de comprendre

Supprimer les entiers, c'est l'étape ultime!

Là, si on reformule tout comme ça, ça va devenir très simple. La physique de l'ensemble vide. La course est lancée
(ça me rappelle une boutade que j'avais lancé sur usenet il y a une éternité. Ma théorie du tout : 0=0, assorti d'un "et ma théorie est juste" )

[stefjm]

Croisement avec ce que tu as édité!

C'est le pont entre le temporel (et éventuellement l'analytique complexe) et le fréquentiel complexe.

En modélisation et commande de procédé, on raisonne directement dans l'espace transformé, sans jamais s'occuper plus que cela du temporel.

On considère des signaux S d'un espace vectoriel dont les projections peuvent être temporelles s(t) ou fréquentielles complexes S(p).

[stefjm]

En effet, il existe des espaces de Hilbert p-adiques (construits sur les corps p-adiques), des groupes de Lie p-adiques et les mathématiciens étudient aussi des "anneaux adéliques", ou "adèles" (je ne sais pas si cela vient du prénom de la tante de l'inventeur ou de l'inventrice ), en particulier un anneau qui est le produit (ou la somme, je ne sais plus) de toutes les complétions de Q, donc les réels et toutes les complétions p-adiques. C'est utilisé intensivement en théorie des nombres. On peut toujours compter sur les mathématiciens pour nous épater! Cela pour dire qu'il y a un vaste monde qui potentiellement pourrait avoir, dans mille ou deux mille ans (?), un rôle à jouer en physique.

Beaucoup plus prosaïquement, j'aimerais bien que les mathématiques s'intéressent à des nombres comme
: https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu...arch_for=alpha
: https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu...rch_for=proton
: (masse Planck sur masse proton) au carré

Il doit bien y avoir une géométrie derrière ces rapports (ici de masse, mais pas que) sans dimension.

A propos du NIST Codata, quelqu'un sait comment est calculé le coefficient de corrélation entre deux grandeurs?
Par exemples :
https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu...roton&First=me
https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu...lanck&First=me

J'avais déjà posé la question ici : https://forums.futura-sciences.com/p...tion-nist.html

Les équations aux différences ont aussi besoin de conditions initiales ou aux limites. Il est vrai qu'en analyse réelle on a plus de contraintes. Il y a des problèmes mal posés qui pourtant semblent légitimes. Il faut toujours vérifier que ce qu'on définit par des séries est convergent, continu, si on peut permuter ou non les opérations, etc.

Le continu, l'infini dérivabilité, en physique est forcément problématique. Une infinité de points infiniment proches : Bof bof...
Ce genre de problèmes ne se pose pas si on remplace le temps modélisé par un réel (ou une pulsation complexe) par un entier de format fini (les modulos et les p-adiques peuvent être intéressant dans ce contexte). Le temps vu comme la suite des entiers.

En analyse ces difficultés ont provoqué une sorte de fuite en avant, avec des techniques plus fines et plus élaborées. Mais en fin de compte ces techniques (par exemple l'intégrale de Lebesgue, ou la théorie des distributions) ont tendance à lisser les problèmes, à les rendre vraiment plus simples. C'est pourquoi je ne suis pas un "ennemi de l'analyse".

J'utilise aussi et parfois même sans m'en rendre compte en surmodélisant comme tout le monde...

Cordialement

[stefjm]

La résolution de l'équation de la troisième loi de Kepler

conduit à

et
, soit la relation de Planck.

Dans le nouveau SI de 2019, de dimension est fixé exactement.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Red%C3...019#Kilogramme

Cela va dans le sens d'avoir de grands nombres dans la définition du quantum d'action et de retrouver la quantification dans 3ième la loi de Kepler.

Non?