Bonsoir, j'ai une difficulté sur un exercice (voir pj) juste la dernière question où on demande d'en déduire e(A+B) je dois surement passer a côté de quelque chose, pour l'equa diff, voilà celle que j'ai trouvé (pj)
Merci pour toute intervention
IMG_20221231_182121.jpg
IMG_20221231_182529.jpg
Bonjour.
Je proposerais de procéder comme suit.
Soit
et
Je vais trouver deux équations différentielles pour ces fonctions X et Y.
D'abord, la dérivée de Y est facile: dériver sa série terme à terme en admettant qu'elle converge (ce qui est toujours vrai pour une matrice NxN) et voir qu'on peut mettre (A+B) en évidence sans s'inquiéter des commutateurs.
Pour X c'est un peu plus compliqué:
Pour le 1er terme on peut faire passer l'opérateur A à gauche, il commute avec exp(tA).
Pour le second terme, on peut utiliser le résultat de la première partie pour la fonction f(t): son développement en série se termine au second terme puisque le commutateur de A avec [A,B] s'annule et on a :
ou encore
Et enfin dans le troisième terme on peut faire passer le facteur t[A,B] tout à gauche puisque le commutateur commute avec lui-même et avec chacun des opérateurs. Finalement, on obtient:
On voit que ces deux fonctions vérifient la même équation différentielle du premier ordre avec la même condition initiale: la condition initiale pour t=0 est X(0) = I, Y(0) = I.
Que peut-on en conclure?
Dernière modification par ThM55 ; 01/01/2023 à 14h41.
Bonjour,
on peut obtenir ce résultat de façon un peu plus naturelle, sans "parachuter" l'expression X(t). En effet :
reste à faire t = 1
There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.
Merci. C'est vraiment bien détaillé, initialement j'avais fait une erreur sur l'équation différentielle en pensant que B pouvait commuter avec e(At) et e(Bt) (parceque je les avais pris pour des scalaires) pour obtenir g'(t)=(A+B)g(t) mais après j'ai rectifié mon erreur mais je n'ai pas eu l'idée d'insérer e(-At)*e(At)
Encore merci pour votre aide
Que X(t)=y(t) ensuite on fait t=1, c'est vraiment une belle démonstration j'aurais difficilement pu penser a passer comme celà mais merci c'était tres instructif, mais dans le cardre de la question étant donné qu'on demande d'en déduire cette relation j'imagine que c'est l'équation différentielle sur g(t) qui doit être le point de départ je pense que mon professeur sera réticent
Oui, mais on peut arriver à la démonstration voulue de manière simple, comme jacknicklaus l'a montré.
Cette preuve semble limitée aux matrices d'ordre fini, ce qu'on appelle l'algèbre de Heisenberg, par exemple. Mais les propriétés peuvent s'étendre aux opérateurs, moyennant des hypothèses mathématiques suffisantes. Un tel cas se présente en mécanique quantique avec les opérateurs X et P puisqu'on a
Dernière modification par ThM55 ; 02/01/2023 à 11h33. Motif: grammaire
Oui en effet la démonstration de jackniklaus est simple et efficace je l'utiliserais probablement si cela vient a l'évaluation, merci pour ces explications supplémentaires
