Mécanique quantique : raisonnement circulaire (question naïve ) ?

[jpu017]

Bonjour
Je me pose la question naîve suivante :
Le formalisme quantique part des fonctions d'onde. Le système considéré est censé être décrit par sa fonction d'onde Phi(x,y,z,t). Dans cette expression, x,y et z sont censés être les coordonnées spatiales du système considéré.
OK jusque là ?
Ensuite, l'étude du système est censée être modélisée par l'application d'un (ou plusieurs, mais n'anticipons pas...) opérateur à ladite fonction d'onde. Par exemple l'établissement de la position du système relativement à l'axe des x du référentiel revient à lui appliquer l'opérateur X. On cherche donc X (Phi).
Mais alors, tant qu'on n'a pas appliqué X à Phi, la coordonnée x n'est pas connue.
On utilise donc abondamment des fonctions qui on ne connait pas a priori la valeur des arguments.
C 'est bien ça ?
J'ai du mal à comprendre alors comment on peut dire que le système est tant soit peu décrit par sa fonction d'onde...
Merci de vos éclairages
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[Deedee81]

Salut,

Y a pas de question naïve dans ce domaine

Le formalisme quantique part des fonctions d'onde. Le système considéré est censé être décrit par sa fonction d'onde Phi(x,y,z,t). Dans cette expression, x,y et z sont censés être les coordonnées spatiales du système considéré.
OK jusque là ?

Exact.

Ensuite, l'étude du système est censée être modélisée par l'application d'un (ou plusieurs, mais n'anticipons pas...) opérateur à ladite fonction d'onde. Par exemple l'établissement de la position du système relativement à l'axe des x du référentiel revient à lui appliquer l'opérateur X. On cherche donc X (Phi).

Plus exactement les fonctions propres et les valeurs propres. Pour la base coordonnées (ce qui est le cas en écrivant Phi(x,y,z)) et pour l'opérateur position, disons juste la coordonnée dans la direction x, c'est simple :
l'opérateur X revient à multiplier par x : X.Phi = x.Phi(x) et donc la fonction est vecteur propre pour toute position ce qui est normal car la particule (ou autre) peut être en tout x (sauf si Phi est nul pour cette position) et l'espace est continu.

C'est tout de suite plus intéressant avec l'opérateur H (énergie, hamiltonien) : H.Phi = E.Phi si Phi est fonction propre de H, et a dans ce cas l'énergie E. Les différentes valeurs propres s'appellent le spectre de l'opérateur et il peut être aussi bien discret que continu ou mixte (et en utilisant l'équation de Schrödinger et des raisonnements sur le signe et les conditions aux limites on montre que le spectre énergie est forcément discret pour les états liés, comme un électrons dans un atome par exemple).

On utilise donc abondamment des fonctions qui on ne connait pas a priori la valeur des arguments.
C 'est bien ça ?

Phi est une fonction d'onde, donc elle prend une valeur en tout point x, y, z. Donc on connait les valeurs des arguments : c'est toutes les valeurs possibles

La particule/système n'est pas a priori localisé en un endroit précis, sa position est dite indéterminée. Et ce n'est pas une vue de l'esprit et il ne faut pas le confondre avec une ignorance de la position réelle.
(la preuve étant les phénomènes d'interférences des ondes et particules diverses et variées, on arrive même à faire des expériences de type Young avec des molécules déjà relativement grosses).
(et on définit même un objet mathématique appelé matrice densité et qui combine l'indétermination quantique et les incertitudes statistiques, l'ignorance, et c'est très utilisé en physique statistique ou dans la théorie de la décohérence)

Et ce carré de la norme (Phi(x,y,z) est un nombre complexe) |Phi(x,y,z)|² donne la probabilité de trouver la particule en un endroit donné (plutôt la densité de probabilité ici), la fonction doit bien sûr être normalisée (total 1 en intégrant sur tout l'espace : la particule est forcément quelque part). Probabilité de la trouver ..... si on effectue une mesure précise de la position ! Et les particules étant des objets bien faciles à bousculer, cela va changer fortement son état : la fonction d'onde sera un pic concentré en la position trouvée (c'est ce qu'on appelle la réduction), par contre cet état modifié n'est pas du tout vecteur propre de l'opérateur vitesse/impulsion, qui dans la base position est le gradient/dérivée, et donc la particule a maintenant une position précise mais une vitesse totalement indéterminée.

Petite amusette : la relation entre le spectre position et impulsion c'est.... la transformée de Fourier Et un théorème bien connu sur les positions et longueurs d'ondes (qu'on peut transposer aux impulsions avec la relation de de Broglie) permet de trouver le principe d'incertitude de Heisenberg qui n'est donc rien d'autre qu'un effet du caractère ondulatoire

Tout ça n'est pas facile et est forcément un peu technique. Une bonne introduction compréhensible et précise des bases de la MQ, c'est vite quelques dizaines de pages, minimum. S'il y a des points que tu ne comprends pas dans mes explications, n'hésite pas.

[jpu017]

Merci de ta réponse

En fait, j'ai déjà commencé à creuser divers exposés sur la mécanique quantique, et les éléments que tu m'apportes ne me choquent pas. Ce qui me manque, c'est une mise en place de l'ensemble, du tout. D'où ma question naîve : après avoir déroulé le formalisme, j'avais l'impression en effet de revenir au point de départ...

Reprenons.

La fonction d'onde n'est pas le système, elle permet de calculer une probabilité, la probabilité de trouver le système en un certain point du référentiel.
Au fond, dans mon truc, je confondais x comme variable d'entrée de la fonction d'onde, d'une part, et x comme valeur de position du système une fois la mesure faite, d'autre part.

[jacknicklaus]

La fonction d'onde n'est pas le système, elle permet de calculer une probabilité, la probabilité de trouver le système en un certain point du référentiel.

Plus précisément, et plus généralement aussi, la fonction d'onde permet de calculer la probabilité d'obtenir une certaine valeur pour toute grandeur mesurable du système. Pas seulement une position.

Dit autrement, le fait que la fonction d'onde soit une fonction de la position et du temps ne restreint pas les calculs de probabilité à ces seuls éléments

[A voir en vidéo sur Futura]

[jpu017]

Tout-à-fait
J'aurais dû écrire : "la fonction d'onde permet de calculer la probabilité, entre autres, de trouver le système..."
Pour reprendre la réponse de Deedee81, elle permettrait aussi de calculer la probabilité que l'énergie du système prenne une certaine valeur pour un certain jeu de coordonnées (x,y,z,t).
Ou le spin, ou je ne sais quoi...
C ça ?

[Archi3]

en fait une fonction d'onde se décompose comme une "combinaison linéaire" (dans un espace de Hilbert ) de fonctions d'ondes "propres" qui ont une valeur définie d'une quantité physique. Ce n'est pas forcément la position. On peut aussi les décomposer sur les états propres d'impulsion définie (qui sont les ondes planes sinusoïdales), sur les états propres de l'énergie (états propres de l'hamiltonien qui représentent les états "stationnaires") , sur les états de spin... Le coefficient de chaque état donne (en prenant le module au carré) la probabilité (ou la densité de probabilité dans un cas continu) de trouver la quantité physique ayant une certaine valeur.
La représentation d'une fonction spatiale Phi(x,y,z,t) n'est qu'une des représentations possibles : Phi(x,y,z,t) est le coefficient associé à l'état propre de l'opérateur position en (x,y,z) à l'instant t - cet état propre étant lui même une distribution ponctuelle delta de Dirac, qui représente une densité de probabilité infinie en ce point (comme un point matériel est une masse de densité infinie en un point). La fonction d'onde contient donc l'information nécessaire pour calculer la probabilité de trouver la particule en ce point.

[coussin]

Pour le spin, faut une fonction d'onde de spin. Mais sinon, oui c'est ça.
Une fonction d'onde dépendant de (x,y,z,t) permettra de connaître la position (x,y,z), oui. Neanmoins, pas le temps t car il n'y a pas d'opérateur "temps" en mécanique quantique.

[jpu017]

OK, les fonctions d'onde propres sont les vecteurs propres de l'opérateur qu'on étudie / de la mesure qu'on s'apprête à faire, ce sont les états possibles du système pour cette mesure.
C ça ?

Par contre, coussin, tu m'apportes un point de vue qui me manquait : il n'y a pas qu'une seule fonction d'onde. Plutôt une famille de telles fonctions, selon ce qu'on cherche.
Ou pas ?

[Archi3]

non il y un seul "vecteur d'état". On peut le décomposer sur différentes bases d'état propres, comme un vecteur peut etre repéré dans plusieurs systèmes d'axes avec des composantes différentes. On peut voir la fonction "spatiale" phi(x,y,z) comme une de ces décompositions. Si la particule à un spin, ça rajoute une dimension supplémentaire, il faut compléter la fonction spatiale par une fonction de spin. Si on oublie le spin c'est analogue à la projection d'un vecteur de dimension N sur une dimension inférieure N-1.

[Sethy]

Version corrigée (je demande de supprimer le texte précédent)

Beaucoup de choses à dire.

Tout d'abord, c'est une sujet extrêmement vaste. S'il est évoqué dans le secondaire et à Bac+1, c'est véritablement à Bac+2 qu'on fait connaissance avec cette matière. Cela découle du fait qu'il faut tout une série de base tant en physique qu'en mathématique pour pouvoir l'appréhender. Et de la mécanique quantique on en mange encore à Bac+3 et même à Bac+4 et Bac +5 suivant les options qu'on prend.

Ensuite, la théorie est dite à fonction propre (vecteur) et à valeur propre. Il a été question du vecteur propre, mais ici dans le cas qui nous occupe la valeur propre associée est une énergie. Le système noyau-électron peut prendre différente valeur d'énergie (c'est l'expérience qui nous l'apprend), il y a donc autant de fonction propre. Et comme les valeurs possibles d'énergie sont pour le cas du système noyau-électron infinies, il existe donc une infinie de fonction d'onde (de vecteur propre).

Dans le cas ultra-simpliste de l'atome d'Hydrogène non relativiste avec quelques autres hypothèses simplificatrice en prime, ces fonction d'onde se "ressemblent" et les énergies correspondantes répondent à une formule simple (en gros E = -13,6 eV / n^2 ou n est le nombre quantique principal).

Tu as certainement rencontré un autre aspect de la mécanique quantique qui est le principe d'incertitude de Heisenberg, qui en fait lie certaines grandeurs entre elles. Je vais prendre un autre exemple pour l'illustrer, c'est celui de la molécule la plus simple composée de deux atomes liés par une seule liaison chimique. Ce système peut-être modélisé par deux masses reliées entre-elles par un ressort (quantique, le ressort).

La fonction d'onde est alors beaucoup plus simple dans sa formulation puisqu'elle ne dépend plus que d'une seule variable (appelons-la d) qui représente la distance interatomique. Nous avons donc une fonction, appelons Psi(d). Pour information, il y a également une infinité de valeur d'énergie possible et la formule (pour ce modèle très simplifié) vaut E = (N+1/2)h.nu (ou N est un entier strictement positif et qui représente le niveau du système et h.nu est une quantité d'Energie liée à la nature des atomes et à la "force" de la liaison chimique considérée).

Il y a donc une infinité de fonction Psi(d), une pour chaque valeur de N. Or, à la position (ici d, la distance entre les atomes) est associé via le principe d'incertitude une autre grandeur qui est la quantité de mouvement. Dans notre monde macroscopie, la quantité de mouvement est simplement m.v (la masse x la vitesse). Pour tout qui a déjà joué au boules, il est évident que si une équipe joue avec des boules 2x plus lourdes, elle sera nettement avantagée (c'est ça la masse x la vitesse). La quantité de mouvement est donc "liée" à la vitesse, même si dans le monde quantique, la notion de vitesse est à prendre avec des pincettes.

Je l'ai dit, la position(ici d) et la quantité de mouvement (que je vais symbolisée par p) sont deux grandeurs liées par le principe d'incertitude de Heisenberg. Si on dispose de Psi(d), on peut grâce à un opérateur mathématique appelé transformée de fourrier trouver une nouvelle fonction d'onde (appelons Phi) qui dépend elle de p. Il existe donc également une infinité de fonction Phi(p) (une pour chaque valeur de N, autrement dit chaque valeur d'énergie).

Si la fonction (ou plutôt son carré) de Psi(d) nous donnait la probabilité d'avoir comme écart entre les deux atomes la distance d ; sa soeur, la fonction Phi(p) nous donne la probabilité que ce système dans cet état ait pour quantité de mouvement la valeur p.

Par exemple, pour le niveau fondamental (le niveau le moins énergétique, celui pour lequel N = 1 et donc E = 1/2.h.nu), la probabilité de trouver le système à la distance "moyenne" entre les deux atomes est maximale. Tandis que pour l'état fondamental toujours, la probabilité que la quantité de mouvement soit nulle est elle aussi maximale. Quantité de mouvement nulle veut dire que les atomes ne s'éloignent pas l'un de l'autre, ni ne se rapproche pas l'un de l"autre.

Mais attention bien sûr se dire "ah j'ai compris, quand les deux atomes sont séparés de la distance moyenne, les atomes sont immobiles" est totalement faux puisqu'on ne peut pas connaitre simultanément ces deux informations (voir principde d'incertitude). On a d'une part une fonction d'onde dépendant de la distance et d'autre part, une fonction d'onde dépendant de la quantité de mouvement.

[Deedee81]

Salut,

M'étant absenté, beaucoup a déjà été expliqué. Merci à tous. Mais je voulais juste mettre un petit point en lumière.

La fonction d'onde n'est pas le système, elle permet de calculer une probabilité, la probabilité de trouver le système en un certain point du référentiel.

Oui mais attention, elle ne contient pas que la probabilité !!!! (discours qu'on retrouve parfois chez certains philosophes anciens positivistes, surtout avec l'interprétation de Copenhague).
Sinon on pourrait se passer de ces foutus nombres complexes (je plaisante, je ne trouve pas les nombres complexes si complexes, sic), on ne garderait que la probabilité, le nombre réel.
Mais il y a aussi la phase. Et si la phase globale d'un système est inobservable (c'est comme une jauge, ça n'a pas d'effet), les phases relatives (entre particules, entre deux chemins que la particule peut emprunter, etc...) sont une réalité physique (qui se manifeste via les interférences mais aussi dans les états symétriques et anti-symétriques et de là dans les comportements statistiques des fermions et bosons comme le principe d'exclusion de Pauli).

La fonction d'onde n'est pas le système (forcément, une fonction, c'est des maths ) mais c'est (pour ce qu'on en sait et tout semble l'indiquer) la meilleure représentation et la plus complète possible du système physique. C'est une image fidèle de ce système.
(ou ses équivalents : vecteur dans un espace de Hilbert, représentations matricielles...)

Tout d'abord, c'est une sujet extrêmement vaste. S'il est évoqué dans le secondaire et à Bac+1, c'est véritablement à Bac+2 qu'on fait connaissance avec cette matière.

Chez nous aussi. Pas de Bac, mais deuxième année de fac (première année, les bases physiques, le modèle de Bohr et touti quanti...que )

Notons qu'il existe énormément de littérature de très bonne qualité pour comprendre tout ça.

Jpu017 : je ne sais pas si tu connais, mais il y a le cours de mécanique quantique de Feynman, on le trouve maintenant en accès libre.
- Hyper pédagogique
- part des bases de la base
- fort peu de math (ce qui est remarquable, enfin, y a pas mal de math mais presque toujours très élémentaires)
- se lit presque comme un roman

Revers de la médaille, il n'est pas assez complet. Mais là on trouve énormément de livres. Mon préféré (mais c'est loin d'être le seul) est le Quantum Mechanics de Léonard L. Schiff
Et on doit trouver facilement sur le net des cours d'introduction jusqu'à des trucs extrêmement complet.
(en fait, oui "introduction à la mécanique quantique pdf" dans google, mais il est difficile de dire ce qui est le mieux dans la liste, un peu de balade est nécessaire pour faire sa popotte )

[ThM55]

Plus récemment, il y a les petits livres co-écrits par Leonard Susskind appelés "Le minimum théorique". Ils sont traduits en français et publiés par les Presses Polytechniques Romandes. Celui sur la mécanique quantique par Susskind et Friedman est très bien et je pense qu'il est lisible par un élève de secondaire qui aurait des notions sur les espaces vectoriels et les matrices. De mon temps en Belgique on apprenait cela en 5ème et 6ème années de secondaire, et en première année d'ingénieur (ce qu'on appelle maintenant BAC 1 dans le système de Bologne ignoré en France) pour les valeurs et espaces propres; mais c'était au milieu des années 1970, je crois que le programme de maths du secondaire s'est considérablement allégé et tourné vers des trucs plus directement "utiles" (hem, je m'abstiendrai pour un fois de commentaires désobligeants pour nos pédagogues géniaux), comme les probabilités pour faire de la statistique.

Le cheminement est similaire à celui du cours de Feynman: il commence par des espaces d'états de dimension finie dans le formalisme de Dirac (qui est parfait dans ce cas) et les aspects particules et ondes, qui font passer en dimension infinie, n'est abordé qu'à partir du chapitre 8 de manière très pédagogique. L'apport de ce livre par rapport au cours de Feynman est qu'il expose en détail la question de l'intrication et introduit une version très simple du théorème de Bell.

Pour info la notion de "minimum théorique" était ce que Lev Landau demandait à ses doctorants quand ils arrivaient dans son institut à Kharkov. Il leur faisait passer un examen préalable pour évaluer leurs connaissances et leurs capacités. Mais son minimum était évidemment beaucoup plus exigeant que le minimum décrit dans les livres de Susskind. Ce n'est pas du tout la même ligue.

[jpu017]

Merci Gentlemen pour vos nombreuses et passionnantes réponses.

Juste qqes éléments de contexte sur mes bases physico-mathématiques :

J'ai déjà les 4 premiers volumes du cours de Feynman, que je suis en train de me fader. Au petit trot, je dois dire, je souffre du syndrôme du retraité hyper-booké...
Je comptais passer au volume 5 un jour, après avoir fini les 4 premiers.
J'ai aussi lu le premier volume de la série de Süsskind ("le minimum"). Très amusant de voir la différence d'approche avec Feynman, mais les deux sont intéressants. J'avais bien l'intention, aussi, de lire son volume sur la Méca Q.

En fait, j'avais un peu d'impatience, je voulais progresser sur la méca Q avant d'aborder ces deux bouquins.

En maths, niveau prépa HEC il y a longtemps, donc faible. Puis un diplôme d'ingé au CNAM, mais pas de cours de maths en bonne et due forme.
Mais je ne pars pas de zéro, j'ai lu au fil des ans, en particulier un tas de vieux "Que sais-je ?" (!!!), et j'ai fini par me faire un petit niveau, ce qui fait que, par exemple, les valeurs propres ne me font pas peur. Je suis un peu crispé par la dimension infinie des espaces de Hilbert, j'avoue, et je n'aime pas trop la notation de Dirac. Je crains qu'il ne faille s'y faire... Et je progresse lentement dans les distributions, mais ça va finir par passer.

Merci encore !