Modèle de densité atmosphérique selon l'altitude et de chute libre avec frottement

[ZaneErik]

Bonjour !

Je donne en ce moment des cours de soutien de physique en 3ème/2nd et j'ai voulu faire un petit modèle de chute libre sur Python.
Après avoir représenté l'évolution des énergies, j'ai voulu voir ce que ça faisait d'introduire des frottements dans l'air.

J'ai trouvé cette formule pour la vitesse avec les frottements : v=sqrt(2*m*g/rho*S*C)
(Sorry, j'ai aucune idée de comment mettre des équations ici O_o)
Avec m, la masse de l'objet, g l'accélération de pesanteur, S la surface du corps exposé aux frottements, rho la densité de l'air, C le coefficient de frottement (sacré problème ce truc-là, on y reviendra !)
Pour trouver rho... J'ai galéré, j'ai donc décidé de faire tout un modèle de l'atmosphère en fonction de l'altitude et de la température.

J'ai donc trouvé cette loi : rho=P/(Rspecific*T),
où Rspecific=287.0500676 J/kg/K, T la température et P la pression (qui demande à son tour une loi d'évolution).
Pour la température j'ai pris une décroissance linéaire modèle simpliste !) entre 0 et 11km (limite de la troposphère), de T0=(273.15+25)K à Tmin=220K.
Enfin, la pression : P=P0*exp{-7*g*z/(2*Cp*T0)}
avec P0=101 325 Pascal (pression à z=0) ; Cp=1006 J/kg/K capacité calorifique de l'air.

Mon modèle de densité/pression/température a l'air pas si mal, par contre pour la vitesse... Il me manque le frottement. Dans l'idée je voulais mettre une personne en parachute, j'ai fait des recherches... J'ai vu que rien n'existait pour calculer ça en dehors de valeurs expérimentales. Du coup j'ai mis un curseur pour tester différentes valeurs, mais je n'ai pas vraiment d'ordre de grandeur réaliste pour un humain et pour un parachute, j'ai mis de 0 à 10 par pas de 1.

La vrai question est comment faire pour relier les conditions aux limites ? Comment passer d'un cas en chute libre dans le vide à un cas avec frottements à partir du moment où je décide de les introduire pour ralentir la chute ? Je ne peux pas prendre le cas C=0 puisque je me retrouve avec un dénominateur nul...

En résumé, je tiens à avoir un modèle de densité et pression dans l'atmosphère en fonction de l'altitude, à partir de là, je veux une loi de vitesse qui me permette de relier la chute dans le vide à celle avec frottement.

Merci pour l'aide que vous pourrez m'apporter.
Cordialement, Zane.

P.S. Oui, ce n'est pas une chute libre s'il y a frottements, mais il y a dans mon programme, chute libre ET chute avec frottement ^^ Peut-on modifier le titre de la discussion ?
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[Black Jack 2]

Bonjour,

Quel est le but ?

Si c'est pour calculer la vitesse en fonction du temps pour un corps qui chute dans l'atmosphère en tenant compte des frottements...
La formule v=sqrt(2*m*g/rho*S*C) ou mieux v=sqrt(2*m*g/(rho*S*C)) ne le permet pas.

La vitesse de cette formule est la vitesse limite atteinte en court de chute, quand les forces de frottements compensent juste la force pesanteur... en considérant g et Rho comme constantes.

Si le but est de calculer la vitesse en fonction du temps en tenant compte des variations de rho(air) avec l'altitude et aussi la variation de g avec l'altitude (pour des sauts depuis de très hautes altitudes), alors c'est plus ardu.

[gts2]

Bonjour,

Voir à : https://fr.wikipedia.org/wiki/Atmosphère_normalisée pour un modèle d'atmosphère.

Pour la température j'ai pris une décroissance linéaire modèle simpliste !) entre 0 et 11km (limite de la troposphère), de T0=(273.15+25)K à Tmin=220K.

C'est relativement raisonnable.

Enfin, la pression : P=P0*exp{-7*g*z/(2*Cp*T0)}

Cela c'est pour une atmosphère isotherme, un peu incohérent avec l'hypothèse précédente ; voir le lien.

[ZaneErik]

Bonsoir, effectivement, ma formule ne semble pas pouvoir me fournir ce que je cherche s'il s'agit d'une vitesse limite, je vais aller chercher ailleurs donc.
Et effectivement c'est bien mon intention, bien qu'en prenant g constante puisque la variation jusqu'à 10km n'est même pas de 1%.
Des idées pour une loi de vitesse ? Ou bien une idée d'où chercher ? J'ai vu passer des lois de frottement en F=k*v ou F=k*v² mais toujours très peu d'explications.

Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[ZaneErik]

Oui, c'est bien à partir de ce lien que j'ai élaborer ma loi de température.
Je n'avais pas fait attention qu'il était précisé que la loi de pression était pour un atmosphère isotherme. J'ai cru naïvement que l'effet de température était déjà prit en compte, j'aurais pu réfléchir un peu plus...
Savez-vous où trouver une loi de pression en fonction de l'altitude et de la température ? Ou peut-être devrais-je me refocaliser sur une loi de densité empirique... mais je n'aime pas trop ça d'autant que c'est assez fastidieux à rentrer à la main dans un vecteur pour les simu.

[gts2]

Dans le lien donné, P(z) est donné dans le paragraphe "Atmosphère type OACI"

[Black Jack 2]

Bonsoir, effectivement, ma formule ne semble pas pouvoir me fournir ce que je cherche s'il s'agit d'une vitesse limite, je vais aller chercher ailleurs donc.
Et effectivement c'est bien mon intention, bien qu'en prenant g constante puisque la variation jusqu'à 10km n'est même pas de 1%.
Des idées pour une loi de vitesse ? Ou bien une idée d'où chercher ? J'ai vu passer des lois de frottement en F=k*v ou F=k*v² mais toujours très peu d'explications.

Merci.

Bonjour,

Il suffit d'exprimer que l'accélération du mobile est produite par la résultante de la force pesanteur et de la force de frottement.

Pour une chute dans l'air, la force de frottement est de la forme : F = 1/2 * Rho(air) * Cx * S * v²

On a donc l'équation : mg - 1/2 * Rho(air) * Cx * S * v² = m.dv/dt (axe descendant pour les ordonnées)

L'équation est facile à résoudre si Rho(air) et g sont constants...


Mais si on veut introduire les variations de Rho(air) avec l'altitude, cela complique les choses.

On peut alors, par exemple faire disparaître les "v" de l'équation pour faire apparaître les altitudes ( v = dz/dt (ou - dz/dt) et introduire la relation liant Rho à l'altitude.

Suivant la sophistication de la loi liant rho à l'altitude, on aura une équation qui pourra ou non être résolue analytiquement ... Si on ne peut pas, une résolution par méthode numérique (par petits accroissements de temps) sera possible.

[gts2]

Deux exemples de simulation du saut de Baumgartner :

https://zitt.perso.math.cnrs.fr/baum.pdf

http://remu-meninge.fr/wp-content/up...apitre-5-1.pdf

[harmoniciste]

Sachant que le terme S.C_x du parachutiste en chute "libre" peut varier entre 0,5 m², s'il est ramassé en boule, et 1,3 m², s'il chute à plat bras et jambes écartés, on voit que cette marge d'incertitude masque largement les variations de densité dues à l'évolution de la température absolue avec l'altitude (<10%)

[ZaneErik]

Bonjour,
Merci pour ces précisions, tout d'abord d'où vient votre expression pour la force de frottement d'une chute dans l'air ? Je ne demande pas forcément une démonstration mais je suis curieuse.
Je n'ai pas vraiment le temps de programmer tout ça dans les jours qui viennent, mais dès que j'arrive à quelque chose de correct, je le partagerai. Ou bien si je galère trop à mettre tout ça ensemble.

Je vais regarder le saut de Baumgartner, ça doit être super chouette à analyser.

Merci à tous pour vos aides.
Louise.

[Gilgamesh]

Ce post pourra peut être t'intéresser.
https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post4651001

[Black Jack 2]

Bonjour,
Merci pour ces précisions, tout d'abord d'où vient votre expression pour la force de frottement d'une chute dans l'air ? Je ne demande pas forcément une démonstration mais je suis curieuse.
Je n'ai pas vraiment le temps de programmer tout ça dans les jours qui viennent, mais dès que j'arrive à quelque chose de correct, je le partagerai. Ou bien si je galère trop à mettre tout ça ensemble.

Je vais regarder le saut de Baumgartner, ça doit être super chouette à analyser.

Merci à tous pour vos aides.
Louise.

Bonjour,

Voir par exemple sur ce lien :

https://fr.wikipedia.org/wiki/A%C3%A9rodynamique

Remarque :
La valeur de Cx dépend de la valeur du nombre de Reynolds, lorsqu'il est suffisamment grand, le Cx est quasiment constant (dépend de la forme, mais pas de la vitesse).
Pour une chute dans l'air d'un corps "normal", on est en pratique dans le cas du Cx quasiment constant.