catastrophe ultraviolette et Planck

[cosmoff]

Bonjour à tous,

J'aimerais comprendre cette histoire de catastrophe ultraviolet (en mécanique classique).

Pour une température donnée, quand on regarde le spectre du corps noir, on observe que la densité d'énergie varie en fonction de la fréquence.
L'équipartition de l'energie dit que tous les atomes du corps noir ont en moyenne la meme énergie = 3kT (dans le cas ou on associe un atome comme un ressort). Et vu qu'il y a un équilibre entre la matiere et la lumiere (car c'est un corps noir) alors chaque modes devraient avoir la meme énergie soit 3kT, et vu qu'il y a un nombre infini de mode alors il y a une énergie infinie. C'est ca la catastrophe ultraviolette ?

si c'est ca, comment Planck à partir de ca, a réussi a déterminer h. Il s'est basé sur les courbes expérimentales et l'équipartition = 3kt pour calculer sa constante ?

Merci d'avance pour vos explications
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[gts2]

Et vu qu'il y a un équilibre entre la matière et la lumière (car c'est un corps noir)

Cela devrait simplement donner T(lumière)=T(corps)

chaque mode devrait avoir la même énergie soit 3kT, et vu qu'il y a un nombre infini de mode alors il y a une énergie infinie. C'est cela la catastrophe ultraviolette ?

Oui, au fait près que l'énergie d'un mode d'une onde électromagnétique ce n'est pas 3kT (ce n'est pas une assemblée d'atomes dans un solide)

comment Planck à partir de cela, a réussi a déterminer h. Il s'est basé sur les courbes expérimentales et l'équipartition = 3kt pour calculer sa constante

C'est plus compliqué que cela, il est parti de la limite IR pour "améliorer" la loi de Wien (qui existait déjà sans catastrophe UV), puis il a été obligé d'introduire h (avant de déterminer h, il faut l'introduire). Et bien sûr pour déterminer sa valeur, il s'est servi bien sûr des données expérimentales (il en a profité pour donner une valeur de k).

[ThM55]

Bonjour. On peut préciser en donnant la dérivation de Rayleigh-Jeans, elle ne demande que quelques lignes.

Pour un rayonnement dans une cavité cubique, la fréquence d'un mode normal est un multiple entier de c/L (L étant la longueur d'un côté du cube). On a où n est un vecteur à composantes entières (n_1,n_2,n_3). Chacun des ces modes occupe une cellule de volume unité dans l'espace de ces vecteurs entiers n. Le nombre de modes dans un domaine de fréquence entre et est donc:



le facteur 2 est là pour tenir compte des deux états de polarisation de chaque mode (oublié par Rayleigh, corrigé par Jeans).

Si on utilise l'équipartition de l'énergie et qu'on écrit la moyenne d'énergie de chaque mode dans un système à température T comme E(T)=kT, on obtient la densité spectrale d'énergie avec la formule:



et comme c'est en , l'intégrale sur toutes les fréquences diverge.

Planck a traité le problème en deux temps. Il a d'abord publié une formule qui faisait empiriquement l'interpolation entre la formule de Rayleigh-Jeans et celle de Wien, ajustée pour coller aux meilleurs résultats expérimentaux, qui venaient juste de sortir (donnés par Heinrich Rubens, un chercheur très proche de Planck). Peu de temps après, il a proposé une déduction de sa formule en partant d'une discrétisation de l'énergie de chaque oscillateur en multiples de , comme c'est bien connu. Il pensait sans doute prendre une limite h->0 à la fin, mais il s'est rendu compte que ce n'était pas possible, il fallait que h soit une nouvelle constante non nulle. Planck modélisait les atomes comme des oscillateurs harmoniques car c'était le plus simple mathématiquement. Mais il savait que c'était juste un modèle grossier pour les atomes et leurs interactions. Toutefois, pour lui, seule l'énergie des atomes étaient quantifiée, pas celle du rayonnement. C'est Einstein cinq ans plus tard qui a approfondi cette idée de quantification du champ électromagnétique pour des raisons de cohérence interne de la théorie, et a créé l'idée du photon (qu'il n'appelait pas photon en 1905, mais "quanta de lumière"), idée que Planck rejetait. Gamow a écrit que pour Planck, le rayonnement électromagnétique était comme du beurre: on peut couper des noix de beurre aussi petites que l'on veut, mais le beurre se vend toujours en paquets de 250 grammes.

Une source intéressante sur le rôle de Planck et d'Einstein est le remarquable livre de A. Douglas Stone: Einstein and the Quantum: The Quest of the Valiant Swabian ( \lien{https://www.amazon.fr/Einstein-Quantum-Quest-Valiant-Swabian/dp/0691168563/ref=tmm_pap_swatch_0?_encoding =UTF8&qid=1674904804&sr=8-1} ). Il est peu connu et assez étonnant qu'Einstein a un jour déclaré vers le milieu des années 1920 qu'il avait passé beaucoup plus de temps à travailler sur la théorie quantique que sur la relativité. Ce livre explique très bien son rôle fondateur.

[ThM55]

Sorry pour le lien: https://www.amazon.fr/Einstein-Quant...4904804&sr=8-1

ou:

https://books.google.be/books?id=s22...uantum&f=false

[A voir en vidéo sur Futura]

[cosmoff]

Merci pour vos réponses, et merci ThM55 pour ta réponse tres complete.
J'ai une question pourquoi l'énergie moyenne d'un mode de vibration (a l époque de Rayleigh et jeans) est de KT. L'energie d'un mode de vibration sur la composante des x est : 1/2 mv² + kx² ce qui donne KT (en utilisant la loi de Boltzman), mais je dois aussi le faire sur l'axe des y et z, donc pour moi l'énergie moyen d'un mode de vibration est de 3KT ?

[gts2]

Bonjour,

Ce dont vous parlez c'est de la modélisation d'un cristal, ici il s'agit d'une onde électromagnétique
Même dans le cas d'un cristal, si l'on parle d'un mode cela concerne une seule dimension : par exemple une onde longitudinale

[Deedee81]

Salut,

C'est tout à fait juste en fait. L'énergie cinétique moyenne d'une particule (par exemple un photon thermique) est nkT où n est le nombre de degrés de liberté : trois dans le cas des translations libres.

[gts2]

C'est tout à fait juste en fait. L'énergie cinétique moyenne d'une particule (par exemple un photon thermique) est nkT où n est le nombre de degrés de liberté : trois dans le cas des translations libres.

Plutôt n x (1/2 kT) ? Non ?
Le kT = 2 x (1/2 kT) pour les modes venant des deux polarisations ?

[gts2]

Je me corrige : j'ai confondu le cas classique (énergie quadratique donc 1/2kT) avec le cas du photon.

Sinon pour ce qui est du facteur 3 il est déjà pris en compte dans N(v) qui compte les modes correspondant à v dans les trois directions d'espace.

[Deedee81]

Sinon pour ce qui est du facteur 3 il est déjà pris en compte dans N(v) qui compte les modes correspondant à v dans les trois directions d'espace.

Ah oui, tu as bien fait de le dire, ça m'avait échappé !

[ThM55]

Oui mais le photon étant de masse nulle (ou, si vous voulez vous resituer dans le contexte de l'époque de Planck: l'onde électromagnétique étant transverse), il n'y a que deux états de polarisation. C'est pourquoi on a un facteur 2

[cosmoff]

Sinon pour ce qui est du facteur 3 il est déjà pris en compte dans N(v) qui compte les modes correspondant à v dans les trois directions d'espace.

Yes merci beaucoup !