symétrie de gauge

[bdemo42]

Bonjour
je me pose 2 questions qui n'ont peut être pas de sens pour les spécialistes

1 - Existe-t-il une relation d'incertitude incluant le spin comme l'une des variables (observable) conjuguées
2 - Existe-t-il une relation entre la symétrie de gauge abélienne (rep. non abélienne) avec la statistique de Bose-Einstein (resp. Fermi-Dirac) utilisant ou non le théorème de Noether dans le cadre de la QED (resp. QCD) ou de la théorie de Yang-Mils

merci pour vos réponses
-----

[coussin]

Il existe une relation d'incertitude sur un moment angulaire, pas de spin, . Ici, est l'angle balayé par la particule au fur et à mesure qu'elle voyage.
Je ne suis pas au courant d'une telle relation pour un spin... La variable conjuguée au spin doit être une phase par analyse dimensionnelle mais je ne sais pas ce qu'elle représenterait...

[ThM55]

Bonsoir.
1- On peut écrire une relation d'incertitude pour toute paire d'observables représentées par des opérateurs hermitiens A et B. Dans un état donné , elle s'écrit



où [A,B] est le commutateur des opérateurs et les crochets <> désignent la moyenne dans cet état. Donc on pourrait écrire une telle relation d'incertitude pour deux opérateurs de composantes du spin, puisqu'on connaît leur commutateur, par exemple . Cependant, cela a une signification assez différente physiquement de celle pour la position et l'impulsion, puisque ces opérateurs de spin n'ont que deux valeurs propres, +1/2 et -1/2. Une telle relation représentera des moyennes statistiques pour des mesures répétées des composantes du spin sur un même état quantique (résultant d'une même préparation).

2. La symétrie de jauge ("gauge" est le mot anglais, c'est "jauge" en français) des théories de Yang-Mills et de Maxwell sont des symétries sous des transformations locales. Le théorème de Noether s'applique mais il donne pour le courant un vecteur qui n'est pas invariant de jauge et qui en général ne donne pas une charge conservée ayant une signification physique. C'est quelque chose de la forme où est la fonction qui génère la transformation de jauge (le changement de phase local de l'état). Pour obtenir une charge, il faut intégrer. Et pour cela il faut que ce soit intégrable, ce qui crée une restriction sur . Il y en a en réalité une infinité, puisque est largement arbitraire. On peut donc dire que l'invariance de jauge locale ne crée pas de nouvelle observable physiquement significative via le théorème de Noether. A noter toutefois que si on prend une fonction constante, elle sort de la dérivée et on obtient un courant conservé physiquement significatif, qui s'écrit . En fait, via le théorème de Gauss, il est facile de voir que la charge conservée dans ce cas est tout simplement (pour Maxwell) la charge électrique. Cette conservation est donc due à l'invariance de jauge globale, qui découle de l'invariance locale comme un cas particulier. Les transformations de jauge locales donnent en fait lieu aux équations du mouvement, au couplage avec les courants.

[ThM55]

En ce qui concerne la relation avec la statistique: pour Yang-Mills comme pour Maxwell, le champ de jauge est un vecteur d'espace-temps , ce qui implique que ce doit être un boson, en vertu du théorème spin-statistique. A part cela, je ne vois pas de lien entre les deux notions, c'est plutôt ténu. Pour approfondir, il faut étudier la quantification des champs de jauge (avec les "fantômes" de Faddeev-Popov et la symétrie résiduelle BRST), mais c'est beaucoup trop long et compliqué pour des messages sur ce forum.

[A voir en vidéo sur Futura]

[bdemo42]

Merci ThM55
je vois ce que sont les "fantômes" mais pas la symétrie résiduelle BRST. Peux tu donner un lien

[ThM55]

La symétrie BRST est une sorte de supersymétrie globale qui a été introduite pour tenter de justifier les propriétés un peu étranges des fantômes de Faddeev-Popov. En fait cela permet d'envisager une méthode de quantification canonique des théories de jauge et la méthode a pu être interprétée géométriquement dans le cadre de la formulation de la théorie comme une structure sur un fibré principal. On en trouve une description élémentaire dans la plupart des traités de théorie quantique des champs qui abordent la quantification des champs de Yang-Mills, par exemple le classique de Peskin & Schroeder. Mais la meilleure référence sur le sujet, qui étudie cela en profondeur est le livre "The quantization of gauge systems" de Marc Henneaux et Claudio Teitelboim (ce dernier auteur a, je crois, changé de nom entretemps mais j'ai oublié son nouveau nom).

[ThM55]

Update: il s'appelle maintenant Claudio Bunster.

[Deedee81]

Salut,

Il y a un lien wikipedia, si ça peut aider : https://en.wikipedia.org/wiki/BRST_quantization

[bdemo42]

merci pour vos réponses