Equation de Schrödinger comment a-t-on prouvé sa justesse ?

[Daniel1958]

Bonsoir

Tous les physiciens trouvent cette équation irremplaçable et un peu "magique".

On dit que cette équation décrit une probabilité de trouver un électron à tel endroit et à tel moment. Elle serait linéaire et déterministe. Pour la résoudre on utiliserait des dérivées partielles (x,y,z,t).

Elle serait sous une apparente facilité visuelles (avec l'Hamiltonien) assez difficile à résoudre.

Les probabilités se retrouvent souvent sur la loi des grands nombres. Plus les probabilités sont faibles nombreuses doivent être les expériences.

Comment a-t-on pu prouver que cette équation était juste. Il a sans doute fallu la tester sur un échantillon très important ?


Cordialement
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[jacknicklaus]

[B]
Comment a-t-on pu prouver que cette équation était juste. Il a sans doute fallu la tester sur un échantillon très important ?

Rien ne peut prouver qu'une équation est "juste". Tout ce qu'on lui demande, c'est de fournir des prévisions vérifiables par l'expérience.

Les équations de la gravitation selon Newton et avant Einstein étaient justes, et le restent pour un grand nombre d'applications. On prends celles d'Einstein .. quand c'est nécessaire.
Laquelle des deux équations de gravitation est "juste" ? laquelle est "fausse" ? Toutes les deux ?

En ce qui concerne l'équation de Schrödinger, je te rassure, elle fait le job, tous les jours, dans des milliers de laboratoires de physique.

[Sethy]

Je cite le wiki sur les postulats de la mécanique quantique :

"Le sixième postulat est l'équation de Schrödinger. Cette équation est l'équation dynamique de la mécanique quantique. Elle signifie simplement que c'est l'opérateur « énergie totale » du système ou hamiltonien, qui est responsable de l'évolution du système dans le temps. En effet, la forme de l'équation montre qu'en appliquant l'hamiltonien à la fonction d'onde du système, on obtient sa dérivée par rapport au temps c'est-à-dire comment elle varie dans le temps.

Cette équation n'est valable que dans le cadre non relativiste.".

Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Postul...ue#Postulat_VI

Au cas où ... je reprécise ce qu'est un postulat : "Le postulat (du latin postulare qui signifie « demander ») est un principe non démontré utilisé dans la construction d'une théorie mathématique.".

Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Postulat

Pour la petite histoire, Schrödinger avait commencé par tenter de poser une équation relativiste, mais il s'était heurté à ce qu'il pensait être un obstacle. Aujourd'hui cette équation s'appelle l'équation de Klein-Gordon. Mais pour aller plus loin, il faut faire appel à l'équation de Dirac.

L'histoire est relatée sur cette page : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...e_Klein-Gordon

Croisement

[ThM55]

Bonsoir. En physique on ne prouve pas qu'une équation est juste, on l'utilise pour expliquer des observations, prédire de nouvelles observations et éventuellement voir jusqu'où sa validité s'étend. On a des centaines de prédictions quantitatives bien vérifiées de cette équation. Pourtant, on prouve, contrairement à ce que tu crois, que l'équation de Schrödinger (la première, celle qu'Erwin a écrite en 1926), n'est pas juste! Elle n'est pas relativiste, donc elle échoue à prédire les effets dû à la relativité. Elle ne décrit que des particules sans spin, donc pour l'électron il faut la modifier en équation de Pauli (ou de Dirac dans le cas relativiste). Elle est incapable de décrire des créations et annihilations de particules lors de collisions. Etc.

Par contre, il y a un point qui est parfois mal compris: toutes ces généralisations, ainsi d'ailleurs que celle qui président à l'évolution des champs quantiques, prennent une forme qui est similaire à cette première équation, mais cette fois sous une forme abstraite dans l'espace de Hilbert, et qu'on appelle aussi "équation de Schrödinger". C'est plutôt une généralisation très ample, due en fait à Dirac.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Daniel1958]

Bonsoir

Ben merci vous avez répondu à ma question ce sont les experiences qui ont déterminé sa validité. Je ne suis pas scientifique mais j'ai vu une approche de cette équation via l'équation de D'Alembert. Heu pour moi c'est "hard". Mais je comprends que comme les équations de Newton , elle ne représente qu'une forme de la réalité. Oui rien n'est juste toutes les équations ont des limitations "locales".
Mais j'ai même lu et entendu que l'on se demandait comment Schrödinger avait pu la trouver. Bobroff dit qu'elle très utilisée en chimie (moléculaire) quantique (là j'avoue que je ne sais pas si la physique des champs s'applique aussi à ce domaine).

Donc ce on utilise c'est plutôt l'équation de Dirac pour les champs ?


Cordialement

[Deedee81]

Salut,

Mais j'ai même lu et entendu que l'on se demandait comment Schrödinger avait pu la trouver.

On s'est demandé à l'époque comment il l'avait trouvé. A l'époque il a sorti ça d'un chapeau, sans dire d'où ça venait. Et ça les physiciens n'aiment pas S'il est vrai que la théorie doit être validée par l'expérience ils préfèrent quand même qu'on justifie comment on en est arrivé là, c'est assez normal (la méthode scientifique c'est expérience => théorie => expérience et pas juste théorie => expérience).

Mais Schrödinger a fini par s'expliquer Et dans tous bon bouquin de MQ on donne l'une ou l'autre méthode de déduction. Par exemple dans le livre de Léonard L. Schiff il part des solutions d'une équation d'onde générale, utilise les bases physiques (présentées avant) pour trouver quelles sont les bonnes solutions et en déduit l'équation. Feynman fait autrement : il part des systèmes quantiques à 2 états, puis à N états et passe à la limite continue. Très malin je trouve, et long mais très intuitif. Mais tout ça est heuristique (Feynman le dit explicitement !) et il faut quand même valider, bien entendu.

Pour une autre approche, D'Alembert c'est assez casse gueule. Il vaut mieux voir la MQ matricielle. Assez simple d'ailleurs (c'est elle que Feynman utilise). Elle a été découverte avant Schrödinger (par Heisenberg) et c'est Dirac qui a montré quelles sont équivalentes (là aussi c'est décrit dans le livre de Schiff, c'est assez simple aussi mais ça n'enlève rien au travail de Dirac, à l'époque, avec les bases, les débuts, fallait arriver à le voir !!!!).

Donc ce on utilise c'est plutôt l'équation de Dirac pour les champs ?

Pas seulement, aussi Klein-Gordon, et Maxwel. Et les trois sont quantifiés pour avoir les champs quantiques.

Mais on pourrait le faire avec Schrödinger. C'est juste inutile car c'est une équation non relativiste. Et les champs ne sont intéressant qu'à nombre variable de particules, donc création/annihilation et donc (vu les énergies en jeu) dans le domaine relativiste. Ca donnerait une théorie franchement trop éloignées des résultats expérimentaux (déjà le spin, intrinsèquement relativiste et inclus dans l'équation de Dirac de manière native, est indispensable : KG, spin 0, appliqué à l'électron, donne de très mauvais résultats, Dirac l'avait déjà constaté d'où l'équation qu'il a recherché. Et Schrödinger ne contient pas le spin).

Attention, techniquement Dirac n'est pas plus compliqué que Schrödinger. Mais conceptuellement et pour les calculs, c'est quand même un étage au-dessus !!!! (déjà, rien que les spineurs c'est quand même plus compliqués que de simples nombres ou même que des vecteurs). Et attaquer ça sans une maîtrise du spin est aussi efficace que se tirer une balle dans la tête.

[ThM55]

En 1926 Schrödinger n'a pas tiré cela de son chapeau, il a expliqué son raisonnement. Il voulait donner corps à l'hypothèse de de Broglie.

De Broglie était resté un peu dans dans le vague mathématiquement, il disait quelque chose comme

regardez, si l'électron a un comportement ondulatoire, il peut former des ondes stationnaires comme ceci (ici petit dessin avec une onde qui entoure le noyau) et ça peut expliquer pourquoi les états stationnaires sont quantifiés.

Je simplifie. Dans sa note à l'académie des sciences "La longueur d'onde associée à la matière" N°177, 507-510 (1923) il y a exactement un siècle, de Broglie montrait qu'on pouvait comprendre la condition de Bohr-Sommerfeld de cette manière. De bout en bout, De Broglie travaillait dans le cadre de la relativité restreinte. Schrödinger a essayé de partir de ce point de vue, mais s'est finalement replié sur le cas non relativiste.

Mais Schrödinger était un bon mathématicien, il connaissait en profondeur les équations aux dérivées partielles. Dans son article de janvier 1926 dans les Annalen der Physik ("L'équation non relativiste des ondes de De Broglie, quantification et valeurs propre"), Schrödinger part de l'équation de Hamilton-Jacobi. C'est une équation aux dérivées partielles qui permet de calculer l'action en mécanique classique, développée par Jacobi au XIXème siècle et appliquée à de nombreux problèmes d'intégration exacte en mécanique. Il explique clairement qu'il voit cette équation comme une approximation aux courtes longueurs d'ondes de l'équation des ondes de De Broglie, de la même manière que l'approximation eikonale de l'optique géométrique se déduit de l'équation des ondes. Il fait le chemin inverse et aboutit (via un argument de calcul des variations) à l'équation de Schrödinger des états stationnaires. Il analyse dans cet article le spectre hydrogénoïde, par une méthode en apparence totalement différente (mais en réalité équivalente) à celle de Heisenberg.

Schrödinger n'a pas à cette occasion interprété cette équation en termes de probabilités. Ce n'était pas sa préoccupation, il travaillait sur les ondes stationnaires et les niveaux d'énergie, donc les spectres. C'est venu quelques mois plus tard avec le travail de Born. Schrödinger initialement voulait interpréter le module de la fonction d'onde comme une densité de charge électrique, mais il s'est assez vite rendu compte du côté problématique de cette interprétation.

[ThM55]

Il faut tout de même se rendre compte qu'à cette époque la physique quantique était considérée comme un domaine très mystérieux auquel on ne comprenait pas grand chose. Einstein avait "deviné" le comportement des systèmes quantiques et avait même découvert des mécanismes relevant de la théorie des champs (les liens entre émission spontanée et stimulée, justifiés longtemps après par la théorie du rayonnement de Dirac). La mécanique matricielle de Heisenberg-Born-Jordan semblait vraiment un truc tombé du ciel (Einstein disait que cela lui semblait venir "de la grand-mère du diable"). Il est donc difficile de se mettre dans la peau des gens de cette époque. L'état des connaissances sur "l'ancienne théorie quantique" est décrit dans un livre de Brillouin datant du début des années 1920 et on comprend en le lisant qu'on était vraiment dans le brouillard. Schrödinger trouvait que son approche, qu'il jugeait imparfaite, avait l'avantage de mieux supporter l'intuition car elle décrit les choses dans l'espace et le temps. En particulier, il envisage de décrire les transitions entre états comme des processus dynamiques concrets qui font modifier la forme des fonctions d'ondes stationnaires. C'est assez curieux de lire cela car on n'a toujours pas tellement l'impression, un siècle après, que l'équation de Schrödinger satisfasse vraiment l'intuition! Mais je crois que l'intuition n'est qu'une habitude qui se forme par l'exercice.

[Deedee81]

En 1926 Schrödinger n'a pas tiré cela de son chapeau, il a expliqué son raisonnement. Il voulait donner corps à l'hypothèse de de Broglie.

Je pensais qu'en effet il avait donné ça tout brut tout cuit avant d'expliquer l'origine. Mais c'est peut-être une légende urbaine. C'est bien possible.

la physique quantique était considérée comme un domaine très mystérieux

Ca l'est toujours Enfin, bon, je rigole car il y a quand même énormément de chose qui ont été comprise. C'est ce que tu expliques
Merci de ces explications historiques précises.
Dis donc va falloir ouvrir un forum histoire des sciences et te mettre comme animateur (je rigole, on a déjà discuté d'un tel forum avec majorité disant non)

[albanxiii]

En 1926 Schrödinger n'a pas tiré cela de son chapeau, il a expliqué son raisonnement. Il voulait donner corps à l'hypothèse de de Broglie.

Je savais que l'équation de Hamilto-Jacobi était le point de départ, mais je n'avais pas connaissance de tout le reste.
Merci, c'est toujours un plaisir de vous lire !

[ThM55]

Une référence (incomplète à mon avis, il manque des articles importants d'Einstein, de Schwinger, ... mais ils ont sans doute été limités par la taille du volume et les articles les plus essentiels y sont):

https://laboutique.edpsciences.fr/pr...ique-quantique .

Vous y trouverez l'article de Schrödinger assez bien traduit en français.

[ThM55]

Le bouquin de Brioullin auquel je faisais allusion est celui-ci (édition de 1922):

https://books.google.be/books?id=IVW...=X&redir_esc=y

Il décrit un moment particulier de l'histoire, juste avant l'explosion de la mécanique quantique. Il l'a mis à jour et réécrit en 1931.

[stefjm]

Merci.
Tout cela me rappelle des souvenirs de commande optimale.
https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Commande_optimale

[Deedee81]

Tout cela me rappelle des souvenirs de commande optimale.

Je ne saisis pas le rapport ??? A cause de l'aspect historique ?

[Lansberg]

Salut,

On s'est demandé à l'époque comment il l'avait trouvé. A l'époque il a sorti ça d'un chapeau, sans dire d'où ça venait...

La petite histoire raconte que Schrödinger était un chaud lapin (et pas uniquement un chat !) et que c'est au cours d'un rendez-vous galant avec sa dernière conquête, dans son hôtel préféré du Tyrol Autrichien à Noël 1925, qu'il trouva la géniale inspiration .

[stefjm]

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hami...llman_equation

A cause de l'Équation de Hamilton-Jacobi-Bellman.
La mécanique quantique utilise des outils communs avec la commande optimale.

Et du coup, je comprends des trucs...

[stefjm]

Je ne saisis pas le rapport ??? A cause de l'aspect historique ?

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Hami...llman_equation

A cause de l'Équation de Hamilton-Jacobi-Bellman.
La mécanique quantique utilise des outils communs avec la commande optimale.

Et du coup, je comprends des trucs...

[Deedee81]

A cause de l'Équation de Hamilton-Jacobi-Bellman.

Ah d'accord

Merci,

Lansberg, je ne connaissais pas ça; Par contre, l'inspiration de Poincarré qui a conduit à la théorie du chaos lui est venue en .... descendant du tram Les grands mystères de l'intuition

[ThM55]

La petite histoire raconte que Schrödinger était un chaud lapin (et pas uniquement un chat !) et que c'est au cours d'un rendez-vous galant avec sa dernière conquête, dans son hôtel préféré du Tyrol Autrichien à Noël 1925, qu'il trouva la géniale inspiration .

Des biographies récentes ont révélé un côté beaucoup plus sombre et répréhensible du comportement de Schrödinger. Mais ce genre d'anecdotes, reposant d'ailleurs sur des preuves plutôt minces, ne sont à mon avis pas utiles à l'histoire des sciences. Elles servent surtout à faire vendre des livres médiocres qui encombrent périodiquement les rayonnages des libraires et à se montrer vertueux à bon compte en retirant le nom de Schrödinger de bâtiments universitaires. Je ne m'intéresse pas à Erwin Schrödinger lui-même, je m'intéresse à son équation et à ses idées scientifiques.

[Deedee81]

Il n'est pas le seul à tort ou à raison à avoir reçu des foudres.

je m'intéresse à son équation et à ses idées scientifiques.

Mais .... moi aussi (et c'est aussi très Futura )

Par contre les anecdotes sympathiques, même apocryphes, je n'ai rien contre (bien que ce ne soit pas le sujet de ce fil, on a déjà vachement dérivé en plus, désolé, j'en suis aussi responsable)

[bdemo42]

Bonjour
quand j'étais jeune, on m'avait enseigné que Bohr et Schrodinger se servaient de relations classiques en y intégrant des opérateurs "quantiques". La MQ n'existait pas au sens actuel ni au sens de la 1° MQ historique

[ThM55]

Bonjour
quand j'étais jeune, on m'avait enseigné que Bohr et Schrodinger se servaient de relations classiques en y intégrant des opérateurs "quantiques". La MQ n'existait pas au sens actuel ni au sens de la 1° MQ historique

Exact. En fait Schrödinger dans son premier article de 1926 part de l'équation de Hamilton-Jacobi qui détermine l'action en fonction des coordonnées. Donc une fonction S(x_i). Dans cette équation l'impulsion dans le hamiltonien est remplacée par la dérivée . Il suppose ensuite que cette action classique doit être remplacée en MQ par une fonction pour dépasser l'approximation des petites longueurs d'onde et il montre que cela revient à remplacer les coordonnées et les impulsions par des opérateurs (multiplication par x et dérivation). Comme ceux-ci ont les mêmes relations de commutation que les matrices de Heisenberg, on pouvait se douter que les deux formulations devaient être liées. Encore une anecdote à ce propos: Schrödinger raconte que Bohr l'avait invité à Copenhague pour discuter des ses découvertes et il se plaignait que Bohr l'avait harcelé quasiment séquestré pendant tout son séjour jusqu'à ce qu'il prouve l'équivalence de son équation avec celles d'Heisenberg. Des étudiants de Schrödinger on rapporté qu'il haïssait les physiciens qui travaillaient avec Bohr et leurs méthodes (curieux car sur un petit film tourné lors du congrès Solvay de 1927, on les voit discuter très amicalement, mais je prends toujours ces ragots avec beaucoup de scepticisme). En fait il a créé sa fameuse fable du "chat de Schrödinger" dans le seul but de discréditer l'interprétation de Copenhague.

Le choix des opérateurs pour un système à nombre fini de degrés de liberté est essentiellement unique si on prend les relations de commutation comme des axiomes. C'est le théorème de Stone-Von Neumann: tout autre choix est unitairement équivalent au choix de Schrödinger, donc à un isomorphisme près de l'espace de Hilbert. Ce théorème n'est toutefois plus vrai lorsque le nombre de degrés de liberté est infini (par exemple pour les champs).

[ThM55]

Erreur dans mon dernier message, désolé; il écrivait: .

[mtheory]

https://archive.org/details/in.ernet...ge/n1/mode/2up

https://archive.org/details/conceptu...p?view=theater

https://archive.org/details/sourcesofquantum0000unse

[mtheory]

https://archive.org/details/in.ernet...ge/n1/mode/2up

https://archive.org/details/conceptu...p?view=theater

https://archive.org/details/sourcesofquantum0000unse

https://archive.org/details/in.ernet...e/n79/mode/2up

[stefjm]

Des biographies récentes ont révélé un côté beaucoup plus sombre et répréhensible du comportement de Schrödinger. Mais ce genre d'anecdotes, reposant d'ailleurs sur des preuves plutôt minces, ne sont à mon avis pas utiles à l'histoire des sciences. Elles servent surtout à faire vendre des livres médiocres qui encombrent périodiquement les rayonnages des libraires et à se montrer vertueux à bon compte en retirant le nom de Schrödinger de bâtiments universitaires. Je ne m'intéresse pas à Erwin Schrödinger lui-même, je m'intéresse à son équation et à ses idées scientifiques.

Polyamour et moderne avant Me2...
https://trustmyscience.com/erwin-sch...quete-recente/

[Daniel1958]

Bonsoir

Je reprends l'article

Une enquête, publiée dans PLOS One en 2014, a révélé par ailleurs que le harcèlement sexuel est relativement courant dans le cadre de recherches scientifiques menées « sur le terrain » : 64% des personnes interrogées ont déclaré avoir personnellement été victimes de harcèlement sexuel (remarques inappropriées ou sexuelles, commentaires sur la beauté physique, etc.) et plus de 20% ont déclaré avoir subi une agression sexuelle. Les victimes étaient majoritairement des femmes jeunes, étudiantes ou stagiaires

Je sais qu'il y a du harcèlement dans les labos comme dans tous les groupes sociaux. Mais là ????????????????? Harcèlement = commentaires sur la beauté physique comme disent les enfants "c'est abuser".

Ps on dit aussi qu'Einstein aimait beaucoup les femmes (qui sont attirées par ces personnes exceptionnelles).

Cela dit à mon petit niveau de compréhension je suis fasciné par l'intelligence de Schrödinger par son équation "magique" bien sûr (même s'il y avait des premises mathématiques voir l'élégance des descriptions de ThM55 dans ce fil) et d'avoir résisté à l'Ecole de Copenhague (inclus Pascual et Born)

Cordialement

[mach3]

on va peut-être arrêter là le hors-sujet sur les moeurs de Schrödinger qui sont de plus limite hors thématique du forum (pas inintéressant neanmoins).

mach3 pour la modération

[stefjm]

Un point assez intuitif consiste à écrire l'équation des ondes

sous la forme

en coupant en deux.

[Deedee81]

Salut,

Un point assez intuitif consiste à écrire l'équation des ondes

sous la forme

en coupant en deux.

Ben non, c'est pas bon. Très malin mais faux. La dérivée par rapport à x est la dérivée seconde dans l'équation de Schrödinger, pas la dérivée première.

Le mieux est encore de partir des bases physiques et de dire "ça doit être une équation d'onde" (et pas la équation des ondes, plusieurs sont possibles).
On écrit la forme la plus générale possible (pas juste celle que tu as utilisé)
On regarde les formes les plus simples des ondes : cos, sin, exp(i....)
on sélectionne les bonnes sur des bases physiques.
Et de là on peut savoir quelle est la bonne équation.

C'est ce qui est fait dans le livre de Schiff. Mais je suppose qu'on doit trouver ça ailleurs.

Il est possible aussi sur base de configurations physiques de faire le lien entre observables et opérateurs. D'utiliser la conservation de l'énergie. Et hop, on a l'équation.
(ça marche bien aussi pour l'équation de Klein-Gordon, mais c'est un peu plus compliqué pour l'équation de Dirac)

Enfin, on peut faire comme Feynman dans son cours. C'est beaucoup plus long mais tellement plus intuitif, mais bon, c'est Feynman hein, le roi des pédagogues