Equation de Schrödinger comment a-t-on prouvé sa justesse ?

**stefjm** · 16/02/2023, 10h08

Envoyé par Deedee81

Ben non, c'est pas bon. Très malin mais faux. La dérivée par rapport à x est la dérivée seconde dans l'équation de Schrödinger, pas la dérivée première.

Ah oui, j'ai été trop vite.
C'est une équation d'onde classique relativiste, d'où la mise sous la forme $\text{[math]}$ où toutes les dérivées sont d'ordre 1.

L'équation de S. n'est pas relativiste, j'aurai du voir ma bourde tout seul.

Il faut séparer les aspects temporels des aspects spatiaux pour obtenir l'équation de S.

Je reprends donc :

Une équation d'onde classique relativiste :
$\text{[math]}$
A laquelle on ajoute le potentiel (normalisé à 1).
$\text{[math]}$
On factorise uniquement la partie opérateur temporel
$\text{[math]}$

On ne garde que la moitié qui donne l'équation de S. non relativiste.
$\text{[math]}$

Envoyé par Deedee81

Le mieux est encore de partir des bases physiques et de dire "ça doit être une équation d'onde" (et pas la équation des ondes, plusieurs sont possibles).

Combien de type d'équation d'onde?
1) Classique
2) Quantique
3) Autres?

Envoyé par Deedee81

On écrit la forme la plus générale possible (pas juste celle que tu as utilisée)

Tu veux dire celle avec Laplacien sur position ou tu penses à autre chose?

Envoyé par Deedee81

On regarde les formes les plus simples des ondes : cos, sin, exp(i....)

Pas clair pour moi ce mélange entre onde réelle et complexe.

Envoyé par Deedee81

on sélectionne les bonnes sur des bases physiques.

Je n'ai jamais rien compris à ce point, toujours mal fichu et pas défini correctement.

**gts2** · 16/02/2023, 10h25

Envoyé par stefjm

Une équation d'onde classique relativiste : $\text{[math]}$

Elle n'est pas forcément relativiste.

Envoyé par stefjm

$\text{[math]}$ On factorise uniquement la partie opérateur temporel $\text{[math]}$

Il faudrait préciser : $\text{[math]}$ ?!?

Envoyé par stefjm

$\text{[math]}$ On ne garde que la moitié qui donne l'équation de S. non relativiste.
$\text{[math]}$

Idem : pourriez-vous préciser : que signifie garder la moitié d'un opérateur ?

**Sethy** · 16/02/2023, 10h30

Ôtez-moi d'un doute.

Si y = x^3, alors y' = 3x^2 et y'' = 6x, j'ai bon ?

Alors il apparait clairement que (y')^2 <> y'' puisque 9x^4 <> 6x.

**gts2** · 16/02/2023, 10h43

Bonjour,

Envoyé par Sethy

Alors il apparait clairement que (y')^2 <> y'' puisque 9x^4 <> 6x.

Problème d'écriture : ce n'est pas $\text{[math]}$ mais $\text{[math]}$

C'est peut-être la même chose pour la question que je pose : ce n'est pas $\text{[math]}$ mais $\text{[math]}$

**stefjm** · 16/02/2023, 10h47

Edit Croisement gts2

Envoyé par gts2

Elle n'est pas forcément relativiste.

Je suis intéressé par le critère.

Envoyé par gts2

Il faudrait préciser : $\text{[math]}$ ?!?

J'aurais du l'écrire :

$\text{[math]}$

**stefjm** · 16/02/2023, 10h52

Envoyé par gts2

Idem : pourriez-vous préciser : que signifie garder la moitié d'un opérateur ?

C'est un truc de physicien que je n'ai jamais bien compris.

On ne garde que l'onde qui va du passé vers le futur.

En terme de pôles, on a $\text{[math]}$ et on n'en garde qu'un.

**gts2** · 16/02/2023, 10h55

Envoyé par stefjm

C'est un truc de physicien que je n'ai jamais bien compris.

On ne garde que l'onde qui va du passé vers le futur.

Oui mais là c'est une somme x(t)=x1(t)+x2(t) ; si pour une raison ou une autre on suppose x2(t)=0, cela donne bien x(t)=x1(t).
Là vous l'appliquez à un produit si x=x1 *x2 comment cela peut-il se transformer en x =x1 ?

**stefjm** · 16/02/2023, 11h10

C'est la magie des opérateurs linéaires qui se composent en produit et donne des résultats en somme.
Cela se voit plus facilement dans les espaces transformées (Fourier ou Laplace) puisque c'est une bête séparation en éléments simples de la fonction de transfert correspondant à la réponse impulsionnelle .

$\text{[math]}$

**gts2** · 16/02/2023, 11h32

Il faudrait préciser : si je réécris en suivant votre piste : $\text{[math]}$ , si $\text{[math]}$ est solution de $\text{[math]}$ et idem pour 2, $\text{[math]}$ n'est pas solution de $\text{[math]}$

**stefjm** · 16/02/2023, 12h09

Envoyé par gts2

Il faudrait préciser : si je réécris en suivant votre piste : $\text{[math]}$ , si $\text{[math]}$ est solution de $\text{[math]}$ et idem pour 2, $\text{[math]}$ n'est pas solution de $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ : solution chronologique gardée
$\text{[math]}$ : solution rétro-chronologique mise à 0 grâce à la constante d'intégration.

Et sinon, oui, les solutions de l'équation du second ordre en temps sont différentes de celles du premier ordre en temps.

**gts2** · 16/02/2023, 12h43

Envoyé par stefjm

Et sinon, oui, les solutions de l'équation du second ordre en temps sont différentes de celles du premier ordre en temps.

Donc aucun rapport avec "C'est un truc de physicien que je n'ai jamais bien compris. On ne garde que l'onde qui va du passé vers le futur." ni avec l'équation de d'Alembert.

**stefjm** · 16/02/2023, 12h58

Le rapport, c'est que l'équation des ondes classique coupée en 2 par Schrödinger lui même donne l'équation de S.
Maintenant, je ne prétends pas avoir tout compris du truc.
Je comprends quand même pourquoi les physiciens n'aiment pas les solutions rétro-chrones.

**gts2** · 16/02/2023, 13h52

Envoyé par stefjm

Je comprends quand même pourquoi les physiciens n'aiment pas les solutions rétro-chrones.

Il faudrait préciser le contexte : si on prend un émetteur que l'on allume à l'instant t, jusqu'à présent on n'a pas détecté que rétro-chrone.

**stefjm** · 16/02/2023, 13h59

Et c'est bien ce qui justifie l'équation de S. par rapport à celle de d'Alembert.

**stefjm** · 16/02/2023, 17h32

Envoyé par gts2

Elle n'est pas forcément relativiste.

Je reviens sur ce point car je ne vois pas comment l'équation de d'Alenbert pourrait ne pas être relativiste vu qu'on peut factoriser les opérateurs comme je l'avais d'abord fait par erreur.

Ou alors, il y encore un autre truc qui m'échappe, peut être lié aux différentes équations d'onde dont parlait Deedee?

Envoyé par gts2

Idem : pourriez-vous préciser : que signifie garder la moitié d'un opérateur ?

Régler la constante d'intégration lié à cet opérateur pour que la participation de cette solution soit identiquement nulle.

Ce que vous appelez : "considérer que ce paramètre peut être négligé". https://forums.futura-sciences.com/p...ml#post7004223

Ce qui me convient aussi.

En gros, c'est ce que j'avais fait là : https://forums.futura-sciences.com/p...ml#post6998257

**gts2** · 16/02/2023, 21h16

Envoyé par stefjm

Je reviens sur ce point car je ne vois pas comment l'équation de d'Alembert pourrait ne pas être relativiste vu qu'on peut factoriser les opérateurs comme je l'avais d'abord fait par erreur.

Ce qu'il y a de relativiste dans l'équation de d'Alembert relative aux ondes électromagnétiques est qu'elle est invariante par changement de référentiel, ce n'est pas l'équation en elle-même, la propagation d'une onde de déformation d'une corde est une équation de d'Alembert, la propagation du son dans l'air idem, et ce n'est pas vraiment relativiste.

**mtheory** · 16/02/2023, 22h34

Envoyé par gts2

Ce qu'il y a de relativiste dans l'équation de d'Alembert relative aux ondes électromagnétiques est qu'elle est invariante par changement de référentiel, ce n'est pas l'équation en elle-même, la propagation d'une onde de déformation d'une corde est une équation de d'Alembert, la propagation du son dans l'air idem, et ce n'est pas vraiment relativiste.

Les équations d'ondes relativistes ont la vitesse de la lumière dans leur d'Alembertien, pour le son c'est la vitesse du son, ça suffit pour voir que l'équation n'est pas relativiste.

**gts2** · 16/02/2023, 22h47

On est bien d'accord, donc l'équation de d'Alembert n'a rien de fondamentalement relativiste.

**stefjm** · 17/02/2023, 09h07

Bonjour à tous,
Merci mtheory pour le critère de discrimination que j'ai raté.
Si je résume, il faut au moins une condition sur les opérateurs et une condition numérique v=c.

Je me suis fait avoir par la notation c ambiguë dans ce cadre : célérité de l'onde et célérité limite!

J'aurai du écrire l'équation d'onde en l'adimensionnant, cela devient beaucoup plus clair, pour moi.

$\text{[math]}$ équation classique homogène non adimensionné; je garde v pour la célérité et ne plus confondre avec c vitesse limite.

J'adimensionne la relation en utilisant c, vitesse limite :
$\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$

Pour moi, le v=c relativiste apparait beaucoup plus clairement sous ces formes, même si le c^2 en plus parait lourd.
Il y a peut-être moyen de faire encore un peu mieux?

Cordialement

**JPL** · 08/03/2023, 23h34

Fermé à la demande de Daniel1958

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