Bonjour,
Je souhaiterais connaitre quelle est la méthode qu'utilisent les physiciens pour résoudre une équation différentielle ordinaire, linéaire, à coefficients constants avec un second membre impliquant des dérivées.
Un truc ultra simple et classique du genre :
avec e(t) échelon unitaire (nul pour t négatif, 1 pour t positif)
et s(t) la fonction recherchée, s(t<0)=0.
D'avance merci.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Bonjour, d'abord, je ne suis pas physicien..., ensuite, les systèmes d'équations différentielles donnent une multitude de formes d'équations diff que tu cherche..., par exemple le type d'équation que tu mentionne :
soit :
on résolvant la 1ère équation par rapport à:
et on l'injecte dans les deux autres équation:
(1):
(2):
enfin,.....
Dernière modification par azizovsky ; 09/04/2018 à 08h20.
Bonjour à tous et en particulier à azizovsky,
J'ai l'impression que tu réponds à la problématique de l'autre fil.
http://forums.futura-sciences.com/ph...ml#post6127081
et pas à la résolution de ce type d'ED par les physiciens.
En tout cas, c'est intéressant de passer par les systèmes différentiels : Cela fait un langage commun entre automaticien, mathématicien et physicien.
Là où tu es très fort, c'est que tu arrives à répondre avec un seul système à deux exemples que je posais indépendamment l'un de l'autre!
Bravo!
Je décortique et essaie de trouver un exemple physique associé à ton système.
Merci.
Cordialement.
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Bonjour, il ne faut pas oublier qu'on'a quelque chose en commun : la régulation des systèmes : ton jargon, potentiel électrique, courant, ...., le mien, pression, débit,...., (phénoménologiquement équivalente).
Dernière modification par azizovsky ; 09/04/2018 à 10h51.
Sous forme matricielle, cela donne :Envoyé par azizovsky
soit :
Matrice
Valeurs propres : 2, -1, -1
Système instable car réponse en e^(2t), pôle en +2
Pôle double stable en -1, réponse en e^(-t)
Solution réponse libre
J'avoue avoir un peu de mal à interpréter ces deux équations différentielles en particulier parce qu'elles sont issues d'un même système diff.(1):
(2):
Faisable sans doute avec une représentation d'état.
(1) donne le transfert de X vers Z
(2) donne le transfert de Z vers X
En tout cas, dans chacune, il y a bien la simplification d'un pôle par un zéro en -1.
C'est sans doute lié à la valeur propre double en -1.
Il faut que je regarde...
Merci.
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Bonjour,
Je me permet de relancer avec cet exemple.
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Bonjour,
Vous voulez dire "méthode physicienne ?". Si oui
1- solution équation sans second membre
2- solution particulière équation complète
3- conditions initiales
Je classais cette méthode plutôt coté mathématiques!
Cela ne gène pas le physicien d'avoir une solution sans second membre divergente alors que la solution avec second membre est convergente?
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
La solution sans second membre n'est ni divergente ni convergente car vous n'avez pas encore appliqué les conditions initiales à ce point. C'est une solution formelle.
Wolfram Alpha vous donnera une solution complète.
Je précise : Wolfram Alpha vous donne la solution pas à pas. Trouver la solution sans second membre est trivial. Trouver la solution particulière est plus compliqué. Une voie possible est expliquée.
La forme que prend votre second membre n'est pas importante. Notez-le f(t).
Dernière modification par coussin ; 15/09/2022 à 14h51.
Ceci pour une entrée bien définie (rampe), il suffit de perturber un peu la rampe pour faire apparaitre l'exponentielle divergente, et comme une rampe n'est jamais parfaite ...
Ah, je commence à comprendre pourquoi on ne se comprend pas toujours!
Pour moi, la stabilité d'un système linéaire (sa convergence ou divergence) est indépendante des conditions initiales et est donnée par l'équation sans second membre.
Pas pour vous?
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Oui. Un zéro "instable" ne cachera jamais parfaitement un pôle instable.
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Cela revient à ne pas regarder les zéros du système physique, ce que je trouve dommage. Surtout quand le zéro est au même endroit que l'un des pôles.
pôle : racine du polynôme caractéristique de l'EDO (sur s), dénominateur de la fonction de transfert
Zéro : racine du polynôme sur e, numérateur de la fonction de transfert
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Je n'ai aucune idée de ce qu'est la stabilité d'un système linéaire...
La solution sans second membre est
e^t est instable.
e^(-t) est stable.
De façon général, un système linéaire est stable si tous ses pôles (solution de l'équation caractéristique) sont à partie réelle négative.
Pour moi, A ne peut jamais être rigoureusement nul, justement pour des raisons physiques en général.
La somme est donc divergente quelles que soient A et B.
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Bonjour,
Je comprend un peu mieux l'approche qui consiste à intégrer les zéros (la fonction d'excitation f(t)) dans les coefficients calculés avec les conditions initiales (version maths décrite par coussin et gts0).
L'EDO de départ
se transforme en fonction de transfert
Si on regarde la réponse impulsionnelle (fonction de Green), Conditions initiales toutes nulles, cela donne le cas idéal où l'une des constantes vaut strictement 0.
Réponse en
https://www.wolframalpha.com/input?i...%29%2Cp%2Ct%5D
Si on tient compte d'incertitudes sur la valeur du pôle ou du zéro qui ne se compensent plus, on obtient alors la réponse avec les deux exponentielles (rampe imparfaite de gts2).
https://www.wolframalpha.com/input?i...%29%2Cp%2Ct%5D
On voit d'abord l'influence de e^(-t) puis ensuite celle de e^t.
Ce qui avait initié ma question était le fait que e^(-t) (pôle en -1) pouvait se décomposer en somme d'une fonction pair et une fonction impaire (pôles en +-1 et zéro en 1), toutes deux divergentes, mais dont la somme converge.
avec les fonctions de transfert correspondantes
J'en avais causé ici : https://forums.futura-sciences.com/p...ml#post4516627
Comme cela touche aussi à l'ordre du système linéaire, cela pose la problématique du nombre de conditions initiales à considérer (et la nullité stricte ou non d'un des coefficient de l'exp).
Je suis toujours à la recherche d'exemple physique qui illustrerait ceci.
Merci pour vos contributions à ces réflexions.
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Si j'ai bien compris le problème, c'est celui de savoir pourquoi la solution n'est pas divergente dans ce cas.
Pour le physicien, c'est simple, ce n'est pas une équation de physicien (non homogène comme déjà dit), l'équation du physicien est
Pour le mathématicien, la solution non divergente suppose s(0)=0 et s'(0)=0, et de même si on écarte de ces CI, cela diverge, cela relève des sensibilités aux conditions initiales (chaos).
Oui.
Ces interrogations me sont venues en regardant les pôles et zéro dominant et leurs simplifications éventuelles.
Les zéros permettent d'obtenir des conditions initiales non nulle à t=0+ quand on considère nulles les conditions initiales à t=0-.
Exemple de la sonde d'oscillo bien réglée : S/E=(1+Tau1.p)/(1+Tau2.p)=1, si tau=tau2.
Je me demandais s'il existait en physique des systèmes où Tau1 égale rigoureusement à tau2 pour des raison de constitution?
Exemple pour tenter de faire passer l'idée que j'ai derrière la tête : un parachutiste en modèle linéaire avec frottement fluide donne
f(t)-Kf.v(t)=m.dv/dt
de fonction de transfert
Le gain en force et vitesse 1/Kf est lié à la constante de temps m/Kf par un même Kf.
Selon les écritures, on peut simplifier parfaitement ce Kf qui peut intervenir à deux endroits car il est parfaitement identique.
Concernant les oscillateurs parfaits, c'est une double intégration avec contre réaction 1/(1+p^2).
La même double intégration avec réaction donne le système dont on cause dans ce fil 1/(-1+p^2)
Cette symétrie m'a intrigué, symétrie entre pôles en +-i et pôle en +-1.
Quand on a un pôle instable, on sait que c'est mort en commande de procédé. Ce pôle dominant finira toujours par donner une réponse en exp divergente.
Mais j'ai souvent vu des physiciens arranger les conditions initiales pour "oublier" ce pôle instable, car non physique.
Et cela me traumatise un peu...
Cordialement
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Il faudrait donner un exemple précis : en physique aussi, si c'est instable, c'est instable.
https://en.wikipedia.org/wiki/Abraha...3Lorentz_force
Par exemple .
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Je ne suis pas un spécialiste de la force d'Abraham-Lorentz, mais dans le traitement de celle-ci, on "n'arrange pas les conditions initiales pour oublier ce pôle instable", on remet en cause l'expression de la force ou l'utilisation de celle-ci, ce qui est assez différent.
Que le modèle soit abandonné est normal. Ce sont toutes les tentatives intermédiaires pour le garder qui m'ont toujours paru bizarres.
Ordre 3, seulement 2 CI, soit disant anticausal.
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Bonsoir,
Un autre exemple classique avec l'équation d'onde progressive dont la solution est en A.cos(x+ct)+B.cos(-x+ct) où on dégage une des solutions pour raison physique (ce que je comprend), ce qui revient à virer un pôle (ce que je comprend moins).
Vu aussi dans le cas où l'onde est atténuée et amplifiée : On ne garde que la partie où l'onde s'atténue.
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Pour le premier exemple, Feymann avait proposé de garder les deux : avancée et retardée, cf. wikipedia
Pour le deuxième, ce sont les conditions aux limites qui imposent que l'onde amplifiée soit nulle, la solution amplifiée peut d'ailleurs être non nulle pour un système fini.
Ce qui revient bien à "ignorer" une solution divergente en imposant une stricte nullité à un paramètre.
Je ne me souvenais plus que les ondes avancées de Feynman étaient liées à la force d'Abraham. Merci pour le rappel.
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Oui et non, c'est un passage à la limite : exemple une barre de longueur avec température imposée à un bout avec pertes thermiques (ailette de refroidissement)
Solution avec longueur finie L :
Si
Je n'appelle pas cela impose une stricte nullité, mais considérer que ce paramètre peut être négligé si la barre est suffisament longue.
C'est un bel exemple, mêlant infini et négligeable.
Merci.
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