Transfert thermique

[itslunyitsluny]

Bonsoir.
Svp j'ai une question concernant un exo de transfert thermique.
Alors on met un plaque d'epaisseur e dans un fluide dont la temperature reste toujours constante et vaut Tf.l'énoncé NE SUPPOSE PAS que le régime PERMANENT est atteint donc à priori on s'interesse aux deux etats transitoire et permanent,On suppose qu à l instant initial t=0, la plaque est portée à une temperature uniforme T0<Tf.
On note T la temperature de la plaque,on trouve que T-Tf=B cos(x/k)exp(-t/T) (cette expression se trouve en resolvant l'equation de la chaleur par separation de variables,on ne fait pas encore aucune supposition concernant le regime permanent)
On me demande de demontrer que T-Tf=B_ncos(x/k_n)exp(-t/T_n) ou k_n et T_n sont des constantes à determiner en fonction d un entier n.
Alors là il ya deux demarches et je ne suis pas laquelle est correcte(peut etre les deux incorrectes)
1ere demarche:
Dans l'énoncé on dit qu à l instant initial la plaque est portée à une temperature uniforme T0,ce qui veut dire que pour tout x entre -e/2 et e/2 on aura T=T0
Ainsi on a à t=0 B cos(e/2k) = B cos(0/k) = T0-Tf (je prend x=e/2 et x=0) ,ainsi cos(e/2k)=1 et on trouve e/2k=2n pi
2eme demarche:
à un instant t>t0 donné, on a T(e/2)=Tf (je crois que ce n'est pas correct car on a un contact entre un solide et un fluide donc on a pas la continuité de temperature ,pourtant si on fait tendre t vers +oo on voit que T-Tf tend vers 0 ,donc existe t il un instant pour lequel T(e/2)=Tf ???)
donc 0=cos(e/2k) mais on trouve cette fois que e/2k=(2n+1) pi/2 .
Quelle demarche est correcte ?si les deux sont fausses veuillez m'indiquer une solution.
merci d'avance.
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[gts2]

Bonjour,

solution 1 : à t=0, T0-Tf=B cos(x/k) ne convient manifestement pas T0-Tf est une constante et cos dépend de x
solution 2 : remarque sur le fluide correct, mais à voir plus tard, pour le moment T(e/2)=Tf à tout instant

Il faut y aller plus doucement :
- d'abord vérifier que T-Tf=... est bien solution (cela vous donnera une relation kn Tn)
- T-Tf=Bn cos(x/k)exp(-t/T) n'est pas LA solution mais UNE solution, l'équation est linéaire, donc la solution est la somme des solutions
- Les conditions aux limites doivent être vérifiées par chaque solution à tout instant, ce qui donne plusieurs k discrets indexés par un entier n,
- La condition initiale interviendra pour déterminer les Bn de la somme

[itslunyitsluny]

donc la 2ème méthode est correcte ?

[gts2]

Oui, c'est bien cela.

[A voir en vidéo sur Futura]

[itslunyitsluny]

j'ajoute une derniere question,vous avez dit que chaque solution doit satisfaire les conditions aux limites,est ce qu elle ne doit pas forcément satisfaire les conditions initiales aussi ?

[itslunyitsluny]

càd pour determiner les Bn,est ce que je dois dire que T-Tf qui est la somme de toutes les solutions vaut T0-Tf à l instant initial,ou bien je doit dire que chaque solution verifie à l instant initial l egalité avec T0-Tf ?

[gts2]

C'est bien la somme qui doit vérifier T(x,t=0)=T0

[itslunyitsluny]

ceci a une interpretation physique ou c'est purement mathematique ?( pcq je vois pas pq elle doit verifier les conditions initiales et non pas les conditions aux limites)
merci.

[gts2]

Dans les deux cas (initiales, limite) c'est bien la somme qui doit vérifier les deux conditions.

Dans le cas des CL, (T-Tf)(x=e/2)=0 pour chaque composante donne somme (T-Tf)(x=e/2)=0, donc la somme vérifie bien les CL
Dans le cas de la CI, si (T-Tf)(x=0)=T0-Tf pour chaque composante la somme va diverger.

[itslunyitsluny]

donc ca ne marchera pas tjrs pcq on peut avoir (T-Tf)(x=e/2) non nul (contact fluide solide donc a priori pas de continuité de temperature) et donc si chaque composante verifie les cl on aura une divergence??
En tout cas est ce qu'il y a une démarche à suivre tjrs pour ce genre de qsts?

[gts2]

En effet, il faut des conditions aux limites qui se conservent par sommation.
Pour le cas du terme conducto-convectif, on a en x=e/2, avec le même changement de variable : cela donne ; si chaque composante vérifie cette relation, la somme le vérifie aussi.

Il faut donc ce ramener à une CL qui ne fasse pas intervenir de constante additive.
Dans votre cas vous vous êtes débarrassé de Tf par utilisation de (T-Tf) ; autrement dit en éliminant la solution stationnaire.
Prenons un autre exemple : votre plaque soumise à T1 d'un côté et T2 de l'autre, il faut donc se débarrasser de T1 et T2 ; dans ce cas la solution stationnaire est T=T1+(T2-T1)x/e (avec plaque entre 0 et e) et donc la variable étudiée sera et les CL seront bien nulles en x=0 et en x=e.

[itslunyitsluny]

J'ai compris,merci beaucoup !!