Passage cosinus /sinus en forme exponentielle dans solutions équation de Schrodinger

[Matt1627]

Bonsoir, j'étudie actuellement l'effet tunnel en mécanique quantique et les solutions de l'équation de Schrödinger pour les deux zones extérieures à la barrière de potentiel sont de la forme: φ(x)=A cos(kx) + B sin(kx) car Δ<0. Ce qui me perturbe, c'est qu'on dit ensuite que φ(x)= A e^ikx + B e^-ikx. Comment passe-t-on des cosinus et sinus aux exponentielles ? car e^ix= cos(x) + i sin(x).

Merci d'avance à toute personne m'accordant un peu de son temps.
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[Matt1627]

Ma question c'est comment cela se justifie mathématiquement ? Car j'ai déjà vu cela par exemple pour l'expression d'un champ électrique en passant de E₀ cos(wt-kz) à E₀ e^i(wt-kz) (sans mettre les vecteurs). Où passe le sinus ?

[ThM55]

Bonjour. Je ne sûr de comprendre pourquoi vous posez cette question. On a et , donc en substituant il est immédiat de passer à l'autre forme.

Pour le champ électrique, qui est réel, on passe à la forme complexe parce que cela simplifie les calculs, mais on finit par prendre la partie réelle à la fin.

La fonction d'onde de Schrödinger est complexe.

[Deedee81]

Salut,

Et attention, les A et B ci-dessus ne sont pas les mêmes dans la forme sin/cos et la forme exp.
Parfois on utilise un truc du genre C D ou A', B' mais il arrive qu'un auteur réutilise les mêmes notations pour des valeurs différentes (parfois en le disant, parfois sans le dire.... ça peut être un peu perturbant)

[A voir en vidéo sur Futura]

[ThM55]

Exact. Surtout les physiciens. Par exemple, ce qui revient souvent, le même symbole pour une fonction et pour sa transformée de Fourier. C'est parfois agaçant.

[Deedee81]

C'est parfois agaçant.

Et si c'est dans un cours ça peut même être dommageable. Mais bon, y a Futura pour aider

[stefjm]

Exact. Surtout les physiciens. Par exemple, ce qui revient souvent, le même symbole pour une fonction et pour sa transformée de Fourier. C'est parfois agaçant.

C'est le même objet projeté sur deux bases différentes.

Comme pour les grandeurs qu'on projettent soit sur R, soit sur C en fonction du contexte et des besoins...

[Deedee81]

C'est le même objet projeté sur deux bases différentes.
Comme pour les grandeurs qu'on projettent soit sur R, soit sur C en fonction du contexte et des besoins...

Va dire ça à un mathématicien, il va t'étrangler
(sinon c'est un peu ça pour un physicien et ici on est entre nous hein, chuuuuut )

[ThM55]

Oui, on peut le voir comme ça, cela revient à se placer dans l'espace de Hilbert abstrait. Mais en réalité certains physiciens adoptent une convention qui lève à leurs yeux l’ambiguïté : ils mettent l'argument de la fonction entre parenthèses, par exemple f(t) et sa T.F. f(omega). C'est avec le symbole de l'argument qu'on identifie de quelle fonction on parle. Pour le mathématicien, c'est évidemment choquant car la notation f(t) représente l'évaluation de la fonction en une valeur de t, donc un nombre. La fonction elle-même est désignée par f. Heureusement on voit cela assez rarement, les physiciens sont tout de même conscients du risque de confusion.

[Matt1627]

D'accord, merci pour vos réponses.

[stefjm]

Va dire ça à un mathématicien, il va t'étrangler

L'objet physique n'est pas défini pour le mathématicien, donc il n'a rien à dire.
C'est le physicien qui décide de projeter son objet physique s
- soit sur une base temporelle s(t)
- soit sur une base fréquentielle S(jw)

Avec TF et TF^-1 comme relations entre les deux projections équivalentes.

On peut choisir de faire des calculs avec des convolutions ou avec des produits selon le besoin de description.

Idem pour l'utilisation des fonctions réelles ou complexes
Objet physique : le champ électrique. Le mathématicien ne sait pas ce que c'est.
- base réelle temporelle :
- base complexe temporelle :
- base réelle fréquentielle :
- base complexe fréquentielle :