Déterminer l'équation de la trajectoire d'une planète

[azed00]

Bonjour, je suis actuellement en terminale (spé Maths et Physique) et je passe mon grand oral en juin.
Je pensais prendre comme sujet la découverte de Neptune par les calculs, cependant j'ai quelque difficulté sur la structure.

Je sais que je ne peux pas traité des véritables calculs fait par Le Verrier, n'étant pas de mon niveau et n'ayant que 5min d'exposé, mais je pensais donc me basé sur des exemples. Tout d'abord, pour Uranus, expliqué comment on a supposé l'existence d'une nouvelle planète, je pensais utilisé la relation de la force gravitationnelle et la 2e loi de Newton pour déterminer le vecteur accélération, puis le vecteur vitesse avec sa primitive, les vecteurs positions et donc l'équation de la trajectoire. Et montrer à partir de là, que cette dernière dépend de la présence de force s'exerçant sur elle.

Mais j'ai bloqué dès le début, et je ne sais pas trop pourquoi. Déjà, pensez vous que ma démarche est cohérente avec mon sujet et mon programme de terminale ? Et du coup, j'ai bloqué sur la primitive, car les composants du vecteurs accélération sont donc en fonction du vecteur u(de A vers B), enfin si j'ai bien compris, et je n'arrive donc pas à faire la suite. Pouvez vous me guider ?

Merci d'avance 😄!
-----

[albanxiii]

Bonjour et bienvenue sur le forum,

Je ne suis pas sur de bien avoir compris ce que vous voulez calculer (la trajectoire de quoi ?).

Toutefois, pour votre information, le calcul de la trajectoire d'un point matériel soumis à la force gravitationnelle se faire à l'aide de la formule de Binet : https://fr.wikipedia.org/wiki/Formules_de_Binet on trouve l'équation d'une conique, sous forme polaire, donc pas forcément niveau terminale, en effet. Mais rien ne vous empêche de vous en servir si vous le maîtrisez.

Sinon, avez-vous pensé à une simulation informatique ?
Par exemple : une planète en orbite autour du soleil considéré comme fixe. Puis l'influence d'une 2ème planète sur la trajectoire de la première ?

[azed00]

Bonjour, merci pour votre réponse et désolé pour le retard... Je cherche donc à calculer la trajectoire de Neptune, à expliquer comment Le Verrier a réussi a calculer sa trajectoire ne connaissant aucune information sur cette planète. Pour la formule de Binet, je vais essayer de comprendre et chercher à savoir si j'ai le droit de l'utiliser pour mon grand oral. En ce qui concerne la simulation, je n'ai le droit a aucun support donc ce n'est malheureusement pas possible, mais merci !
Donc voilà, merci beaucoup pour votre message.

[pm42]

Le Verrier a réussi a calculer sa trajectoire ne connaissant aucune information sur cette planète

Il avait au contraire des informations : les perturbations qu'elle exerçait sur la trajectoire d'Uranus.

Ce qui peut vous faire votre plan : vous expliquez que toute seule, une planète comme Uranus a une trajectoire très régulière, parfaitement prévisible. Et que si on détecte des petites différences par rapport aux prévisions, c'est la preuve qu'une autre masse la perturbe ce qui a été le raisonnement de Le Verrier & co.

[A voir en vidéo sur Futura]

[alphanet]

page 126 - 127.pdf
page 128 - 129.pdf

En m'appuyant sur ces quatre pages du cours de Feynman, j'avais fait un programme python calculant le trajectoire de planète.

Avec une planète

from pylab import *
import array

valx = []
valy = []
dt = 0.05
x = 0.5
y = 0
vx = 0
vy = 1.63
ax = -4
ay = 0
r = sqrt(x**2 + y**2)
r_cube = r**3
t=0

plot(0,0,linestyle = 'none', marker = 'o', c = 'lime', markersize = 10)

while (t<4.2):
    t=t+dt
    valx.append(x)
    valy.append(y)
    ax = -x / (r_cube)
    ay = -y / (r_cube)
    vx = vx + ax*dt
    vy = vy + ay*dt
    x = x + vx*dt
    y = y + vy*dt
    r = sqrt(x**2 + y**2)
    r_cube = r**3

plot(valx, valy)


show() # affiche la figure a l'ecran

Avec deux planètes

x1 = 1.5
y1 = 0
vx1 = 0
vy1 = 1
ax1 = -2
ay1 = 0
r1 = sqrt(x1**2 + y1**2)
r_cube1 = r1**3

plot(0,0,linestyle = 'none', marker = 'o', c = 'lime', markersize = 10)

while (t<4.2):
    t=t+dt
    valx.append(x)
    valy.append(y)
    ax = -x / (r_cube)
    ay = -y / (r_cube)
    vx = vx + ax*dt
    vy = vy + ay*dt
    x = x + vx*dt
    y = y + vy*dt
    r = sqrt(x**2 + y**2)
    r_cube = r**3

t = 5

while (t<50):
    t=t+dt
    valx1.append(x1)
    valy1.append(y1)
    ax1 = -x1 / (r_cube1)
    ay1 = -y1 / (r_cube1)
    vx1 = vx1 + ax1*dt
    vy1 = vy1 + ay1*dt
    x1 = x1 + vx1*dt
    y1 = y1 + vy1*dt
    r1 = sqrt(x1**2 + y1**2)
    r_cube1 = r1**3

plot(valx, valy)

plot(valx1, valy1)

show() # affiche la figure a l'ecran

Avec deux planètes en interaction

import array

valx = []
valy = []
valx1 = []
valy1 = []
dt = 0.05
x = 0.5
y = 0
vx = 0
vy = 1.63
ax = -4
ay = 0
r = sqrt(x**2 + y**2)
r_cube = r**3
t=0

x1 = 1.5
y1 = 0
vx1 = 0
vy1 = 1
ax1 = -2
ay1 = 0
r1 = sqrt(x1**2 + y1**2)
r_cube1 = r1**3

plot(0,0,linestyle = 'none', marker = 'o', c = 'lime', markersize = 10)

while (t<50):
    t=t+dt
    valx.append(x)
    valy.append(y)
    ax = -x / (r_cube) - 0.003*(x-x1)/(abs((r-r1)**3)) 
    ay = -y / (r_cube) - 0.003*(y-y1)/(abs((r-r1)**3)) 
    vx = vx + ax*dt
    vy = vy + ay*dt
    x = x + vx*dt
    y = y + vy*dt
    r = sqrt(x**2 + y**2)
    r_cube = r**3


    valx1.append(x1)
    valy1.append(y1)
    ax1 = -x1 / (r_cube1) - 0.003*(x1 -x)/(abs((r1-r))**3)
    ay1 = -y1 / (r_cube1) - 0.003*(y1-y)/(abs((r1-r))**3)
    vx1 = vx1 + ax1*dt
    vy1 = vy1 + ay1*dt
    x1 = x1 + vx1*dt
    y1 = y1 + vy1*dt
    r1 = sqrt(x1**2 + y1**2)
    r_cube1 = r1**3

plot(valx, valy)

plot(valx1, valy1)

show() # affiche la figure a l'ecran

Tout est mâché! Reste à produire un exposé!

[alphanet]

Mais ce n'est pas le calcul de le Verrier

[alphanet]

Il manque une partie du programme avec deux planètes

from pylab import *
import array

valx = []
valy = []
valx1 = []
valy1 = []
dt = 0.05
x = 0.5
y = 0
vx = 0
vy = 1.63
ax = -4
ay = 0
r = sqrt(x**2 + y**2)
r_cube = r**3
t=0

x1 = 1.5
y1 = 0
vx1 = 0
vy1 = 1
ax1 = -2
ay1 = 0
r1 = sqrt(x1**2 + y1**2)
r_cube1 = r1**3

plot(0,0,linestyle = 'none', marker = 'o', c = 'lime', markersize = 10)

while (t<4.2):
t=t+dt
valx.append(x)
valy.append(y)
ax = -x / (r_cube)
ay = -y / (r_cube)
vx = vx + ax*dt
vy = vy + ay*dt
x = x + vx*dt
y = y + vy*dt
r = sqrt(x**2 + y**2)
r_cube = r**3

t = 5

while (t<50):
t=t+dt
valx1.append(x1)
valy1.append(y1)
ax1 = -x1 / (r_cube1)
ay1 = -y1 / (r_cube1)
vx1 = vx1 + ax1*dt
vy1 = vy1 + ay1*dt
x1 = x1 + vx1*dt
y1 = y1 + vy1*dt
r1 = sqrt(x1**2 + y1**2)
r_cube1 = r1**3

plot(valx, valy)

plot(valx1, valy1)

show() # affiche la figure a l'ecran

[pm42]

Reste à produire un exposé!

Pour un grand oral de 5 min sans support ?
Et cela permet de trouver une planète à partir des perturbations d'une autre ?

[alphanet]

C'est une base de départ pour produire un oral, je ne connais pas les modalités !

[pm42]

C'est une base de départ pour produire un oral, je ne connais pas les modalités !

Donc tout est mâché sans connaitre les modalités en donnant quelque chose d'inexploitable qui ne correspond pas au format ni au vrai sujet du dit oral.

[alphanet]

j'ai dû aller un peu vite dans la lecture du sujet, désolé, mais les équation du cours que je donne correspondent finalement aux formules de Binet données plus haut.

[gts2]

Bonjour,

Oui mais pour les deux planètes en interaction, abs(r-r1) n'est pas la distance entre les deux planètes.

[alphanet]

Exact.

J'ai donc modifié le programme en conséquence.

Merci de la correction.

from pylab import *
import array

valx = []
valy = []
valx1 = []
valy1 = []
dt = 0.05
x = 0.5
y = 0
vx = 0
vy = 1.63
ax = -4
ay = 0
r = sqrt(x**2 + y**2)
r_cube = r**3
t=0

x1 = 1.5
y1 = 0
vx1 = 0
vy1 = 1
ax1 = -2
ay1 = 0
r1 = sqrt(x1**2 + y1**2)
r_cube1 = r1**3

plot(0,0,linestyle = 'none', marker = 'o', c = 'lime', markersize = 10)

while (t<50):
    t=t+dt
    valx.append(x)
    valy.append(y)
    ax = -x / (r_cube) - 0.03*(x-x1)/(sqrt((x1-x)**2+(y1-y)**2))**3 
    ay = -y / (r_cube) - 0.03*(y-y1)/(sqrt((x1-x)**2+(y1-y)**2))**3 
    vx = vx + ax*dt
    vy = vy + ay*dt
    x = x + vx*dt
    y = y + vy*dt
    r = sqrt(x**2 + y**2)
    r_cube = r**3


    valx1.append(x1)
    valy1.append(y1)
    ax1 = -x1 / (r_cube1) - 0.03*(x1 -x)/(sqrt((x1-x)**2+(y1-y)**2))**3 
    ay1 = -y1 / (r_cube1) - 0.03*(y1-y)/(sqrt((x1-x)**2+(y1-y)**2))**3 
    vx1 = vx1 + ax1*dt
    vy1 = vy1 + ay1*dt
    x1 = x1 + vx1*dt
    y1 = y1 + vy1*dt
    r1 = sqrt(x1**2 + y1**2)
    r_cube1 = r1**3

plot(valx, valy)

plot(valx1, valy1)

[Archi3]

En théorie tu peux calculer l'orbite théorique qu'aurait du avoir Uranus, et comparer à son mouvement réel. La différence de vitesse au cours du temps te donne la différence d'accélération : en portant l'accélération résiduelle en chaque point de la trajectoire, tu as la direction de la planète perturbatrice : si tu supposes que Neptune a un mouvement nettement plus lent et peut être considérée comme immobile , l'intersection des droites portant l'accélération te localisera la planète, et l'importance de l'accélération te donnera sa masse.

Mais bon à l'époque des méthodes plus complexes avaient été mises au point pour calculer les perturbations des planètes sur les autres, en calculant l'influence sur les paramètres orbitaux plutot que l'accélération instantanée. Il faudrait que tu creuses la façon dont Le Verrier a calculé la position de Neptune, mais si c'est des méthodes de perturbations ça peut dépasser largement ton programme.

[ThM55]

Je me demande si le sujet n'est pas un brin trop avancé pour la terminale. Il s'agit d'un calcul de perturbation d'équations différentielles. Pardon, mais ça me semble un peu hors de portée. Je crois qu'il faut procéder par étape en commençant par maîtriser les bases.

Par contre, décrire les paramètres d'une orbite dans les systèmes de coordonnées utilisés en astronomie est un travail assez conséquent et déjà abordable.

Ensuite, pourquoi ne pas étudier la méthode de Gauss pour la détermination d'une orbite à partir de l'observation des positions comme il l'a fait pour Cérès? Ce n'est pas facile, cela fait intervenir beaucoup de géométrie dans l'espace et de propriétés des coniques, mais pas d'équations différentielles.

La méthode est décrite sur Wikipedia en anglais: https://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_method .