Bonjour,
le Theorème de Shannon, Fmax<Fe/2 tient compte des fréquences négatives des transformée de Fourier, mais il me semblait que ces fréquence négatives n'avaient pas de réalité physique, du coup je ne vois pas pourquoi ce n'est pas plutôt: Fmax<Fe.
Merci d'avance.
Je n'ai pas étudié en détails, mais il s'agit peut-être d'un phénomène similaire au spectre en modulation d'amplitude (par exemple).
Des fréquences négatives par rapport à une référence non nulle ne sont pas forcemment dénuées de réalité physique.
L'électronique c'est comme le violon. Soit on joue juste, soit on joue tzigane . . .
Bonjour.
Plus exactement, il faut considérer la bande de fréquence occupée par le signal à échantillonner.
Si on appelle Delta F cette bande de fréquence, Fe > 2 x Delta F.
Question intéressante que j'ai déjà posée ici et où les réponses de physiciens ne m'ont guère convaincu.
Pourquoi le 2?
Dommage que gatsu, qui s'intéressait à ce problème, ne fréquente plus ces lieux.
Reste coussin qui répondra peut-être 9 ans après à cette même question...
Dernière modification par stefjm ; 29/05/2023 à 15h14.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Le 2 est expliqué là :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorè...chantillonnage
Concrètement parlant, en considérant la bande fréquence occupée par un signal allant du continu à une certaine fréquence F, la composante à la fréquence la plus élevée possible est une sinusoïde de fréquence F.
En prenant exactement 2 points par période sur ce signal, il y a la possibilité de prendre les passages à zéro, ce qui ne permet pas de reconstituer une sinusoïde.
Mais, dès qu'il y a un peu plus de points, il y aura forcément des points différents de zéro, et sachant qu'il s'agit d'une sinusoïde, il est possible de reconstituer le signal.
Bonjour,
Il n'y a pas de fréquences négatives dans la formulation historique du théorème de Shannon de 1948, et il y a le 2:
"If a function of time f(t ) is limited to the band from 0 to W cycles per second it is completely determined by giving its ordinates at a series of discrete points spaced 1/2W seconds apart in the manner indicated by the following result: [...]"
ShannonSampling.PNG
ShanSuite.PNG
Source: https://people.math.harvard.edu/~ctm...py/entropy.pdf
Dernière modification par GBo ; 29/05/2023 à 15h52.
C'est sûr qu'on peut faire avec ou sans fréquences négatives.
Une explication "à la physicienne" m'irait bien.
Je connais et comprend le théorème d’échantillonnage.
Juste que ce 2 est plus facile à comprendre et à faire apparaitre avec des fréquences négatives que sans, de mon point de vu.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Curieusement, l'article de Wikipedia affirme :
Et considère les fréquences négatives.Démonstration de Shannon
La démonstration qui suit reprend celle de Shannon formulée en 1949
Du coup j'ai une explication, mais par rapport au repliement du spectre.
Le spectre d'un signal échantillonné par une fréquence fe est périodique (en theorie, si l'instant d'échantillonnage =0+) .
Si le signal a un spectre compris entre 0 et fmax, le spectre echantillonné est une suite de n spectres compris entre n.fe-fmax et n.fe + fmax, comme l'a dit Antek pour la modulation d'amplitude.
Pour éviter le repliement du spectre, il faut n.fe+fmax<(n+1).fe-fmax, donc fmax<fe/2;
Maintenant, ce qui est étrange, c'est que le critère d'avoir au mois deux points par période pour restituer le sinus de frequence max amène a la même formule.
@Gwinver: sorry sa démonstration du théorème n'est pas dans le papier que j'ai donné ci-dessus, mais dans celui-ci:
"Communication in the Presence of Noise"
https://fab.cba.mit.edu/classes/S62....nnon_noise.pdf
Voir à partir de:
"II. THE SAMPLING THEOREM
Let us suppose that the channel has a certain bandwidth W in cps starting at zero frequency, [...]"
Dernière modification par GBo ; 29/05/2023 à 17h39.
Les deux sont fortement liés, puisqu'en cas d’échantillonnage insuffisamment rapide, il y a repliement de spectre.Envoyé par chris28000
A se demander si le 2 ne vient pas du 2 du 2pi qui passe des cycles aux angles.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Dans ce papier, il y a clairement -W,+W et démo en complexe donc avec fréquence négative.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Oui, c'est ce que je constate aussi (ça date dsl...) mais c'est parce qu'il utilise Fourier pour la démonstration mathématique.
Les fréquences négatives n'ont pas d'existence physique, d'ailleurs pour W il parle en cycles par seconde "démarrant à 0".
Dernière modification par GBo ; 29/05/2023 à 18h21.
Le 2 vient simplement de la symétrie (voir lien wikipedia en réel positif) A(fe-f)=A(f), donc si on ne veut pas que A(f) "rencontre/télescope" A(fe-f), il faut n'utiliser que la moitié de l'intervalle [0,fe]A se demander si le 2 ne vient pas du 2 du 2pi qui passe des cycles aux angles.
Bonjour,
Cette moitié 1/2 me va aussi, juste que cette symétrie me semble bien plus naturelle autour de zéro.
Vu que l'existence physique n'est pas définie proprement, cela ne te coute rien de le dire.
Tu vas cependant avoir du mal à justifier le fait qu'une modulation d'amplitude sans porteuse d'un sinus présente deux raies en f0-f1 et en f0+f1.
Je fais tendre la porteuse f0 vers 0 et on se retrouve avec une raie à fréquence négative -f1 et une à fréquence positive +f1 pour une bête sinusoïde.
Cordialement
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Bonjour,
Si on est pragmatique, je pense que c'est l'approche qui convient.
On échantillonne pour quoi faire ? Pour garder tout l'information du signal d'origine. Et donc, il faut se poser la question de la façon dont on peut reconstituer le signal à partir de ses échantillons.
J'ai eu la change d'avoir Jean Auvray comme professeur en DEA au siècle dernier (un magicien de l'électronique et très pédagogue, on avait l'impression de tout comprendre), on trouve quelques pdf de ses cours sur le net, en particulier http://avrj.cours.pagesperso-orange...._du_signal.htm (il a aussi écrit des livres).
Dernière modification par albanxiii ; 30/05/2023 à 08h09.
Not only is it not right, it's not even wrong!
Oui les calculs, raisonnements, graphes ... sont plus simples mais c'était pour répondre à la question initiale : "Le théorème de Shannon ... tient compte des fréquences négatives".
On n'a pas "besoin" des fréquences négatives pour le théorème de Shannon.
Je tente : les fréquences que l'on peut analyser avec un analyseur de spectre analogique.Bonjour,
Vu que l'existence physique n'est pas définie proprement, cela ne te coute rien de le dire.
Je pense que le "on" dépend pas mal des personnes.
C'est clair qu'on peut se passer des complexes pour l'étude des ondes, mais c'est chiant.
On peut se passer des complexes en MQ, mais c'est chiant (matrice par exemple).
Et en fait, quand on analyse les objets utilisés, on se rend compte qu'ils sont isomorphes aux complexes (Matrice en MQ, sin cos pour exp complexe, etc...)
Ici, j'ai toujours mieux compris avec les fréquences négatives que sans. M'en passer me demande un effort intellectuel.
Et ici, on ne fait que du Fourier. Quand on passe en Laplace, on a carrément des fréquences imaginaires qui correspondent aux atténuations (comme pour les nombres d'onde complexe).
Le principe classique d'un analyseur analogique est justement la translation de fréquence.
Si on translate le spectre d'un sinus, on aura deux raies qui vont passer dans la fenêtre du passe bande et bon courage pour expliquer d'où vient la seconde pô physique.
C'est en gros ce que je disais en #15 https://forums.futura-sciences.com/p...ml#post7096811
Tu vas cependant avoir du mal à justifier le fait qu'une modulation d'amplitude sans porteuse d'un sinus présente deux raies en f0-f1 et en f0+f1.
Je fais tendre la porteuse f0 vers 0 et on se retrouve avec une raie à fréquence négative -f1 et une à fréquence positive +f1 pour une bête sinusoïde.
En jouant avec f0, on fait passer f1 et -f1 devant la fenêtre passe bande à f0 de l'analyseur de spectre.
C'est quand même compliqué d'admettre qu'une modulation d'un sin par un sin présente deux raies si le sin lui même n'en a qu'une.
Que ce soit par produit de sinus ou par convolution de spectre.
De mon point de vu.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Oui, mais je pensais que la question initiale sous-entendait "on est obligé d'utiliser des fréquences négatives". et donc le "on" signifiait que ce n'est pas nécessaire.
Bonsoir.
Je ne comprends pas très bien:
Un analyseur de spectre analogique moderne ne montre qu'une seule raie s'il n'y en a qu'une à l'entrée.Si on translate le spectre d'un sinus, on aura deux raies qui vont passer dans la fenêtre du passe bande
Les anciens analyseur de spectre avaient une fonction "identifier" (comme par exemple les HP141T. C'était une petite modulation de l'une des fréquences de transposition et il suffisait de vérifier le saut de fréquence du signal observé pour savoir si c'était le signal ou un artefact.
@stefjm : je pensais pour ma part à ces analyseurs analogiques de spectre là, des "Parallel Filter bank analyzers":
https://www.electronicsandcommunicat...k-diagram.html
https://rfmw.em.keysight.com/wireles...es_spec_an.htm
cdlt,
GBo
Oui. C'est un peu comme tous les outils puissants : Leur usage n'est jamais nécessaire car on peut toujours faire sans.
Je vous avoue que j'ai déjà eu cette conversation il y a quelque année.
https://forums.futura-sciences.com/p...amplitude.html
2014, ça ne me rajeunit pas.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Bonjour,
Hier, j'ai méchamment merdé les croisements en rédigeant en avance et en postant sans vérifier vos interventions entre temps.
Ma réponse théorique au dessus était pour gts2, mais elle s'applique aux exemples techniques évoqués par GBo et Gwinver.
Je vous présente mes excuses pour le binz!
Dès qu'il y a des systèmes périodiques où interviennent des sinus et/ou cosinus, il y a une indétermination sur le sens de rotation qui peut être positif ou négatif sans qu'on puisse choisir le "vrai sens". C'est un choix arbitraire et comme nos cerveaux préfèrent éviter les nombres négatifs, on préfère définir la période par un nombre positif, d'où des pulsations et fréquences positives.
Un sinus ou un cosinus ont d'ailleurs un comportement pénible de ce point de vu car cos(-x)=cos(x) pair et sin(-x)=-sin(x) impair. En fait sin et cos décrive mal le sens de rotation qu'il faut choisir arbitrairement. Cela se voit particulièrement bien sur un moteur asynchrone monophasé qui ne peut pas démarrer car le cosinus crée un champ qui tourne dans un sens et un autre qui tourne dans l'autre sens (Il faut du triphasé pour déterminer un sens unique ou une spire de Frager pour dissymétriser. https://fr.wikipedia.org/wiki/Spire_...rs_asynchrones ).
La problématique devient beaucoup plus claire quand on passe en complexe.
On a alors(relation d'Euler) avec une exponentielle qui tourne dans un sens et une autre qui tournent dans l'autre dans le plan complexe (on obtient la même chose évidement en combinant cosinus et sinus dans le plan de phase d'un oscillographe en mode XY).
Et quand on prend la transformée de Fourier d'un cosinus, on obtient les deux raies en +-1
1/2 (δ(w - 1) + δ(w + 1))
https://www.wolframalpha.com/input?i...s+x%2Cx%2Cw%5D
On peut évidement replier la raie négative sur la positive, mais je trouve cela maladroit quand il est question de repliement de spectre justement! Le fameux 2 ou 1/2 sur la bande passante de la question de départ.
Il y a encore une indétermination entre i et -i et le choix arbitraire du sens de rotation (car i^2 et (-i)^2 donne -1 tous les deux), mais je trouve que c'est plus clair de reporter ce non-choix sur +-i.
On ne va pas se battre sur un signe parce que les uns regardent la rotation vu de dessus et les autres vu de dessous. Du coup, on ne choisit pas et on fait la moyenne des deux points de vu (relation d'Euler) en passant en complexe.
Une autre confirmation de ce point de vu est donnée par la transformée de Laplace d'un cosinus qui est p/(1+p^2), dont les pôles sont i et -i.
https://www.wolframalpha.com/input?i...s+x%2Cx%2Cp%5D
Voici pour l'aspect théorique.
Un analyseur à balayage montre les deux raies du sinus et cela pose (ou posait) des soucis si on ne le savait pas. D'où le qualificatif d'artéfact ou de non physique de cette fameuse raie négative.
Et évidement, une solution technique pour distinguer la "bonne", donc la positive (parce que le cerveau préfère et que c'est la définition de la période en math).
Cala pose aussi le soucis de ces deux 1/2 raies pour l'amplitude 1/2 de chaque coté qui donne 1/2+1/2=1 quand on replie. C'était facile de se tromper d'un facteur 1/2.
Donc les analyseurs intégraient ce fois deux dans leur calibration et cachaient la raie parasite, artéfact, non physique etc...
Pour ces types d'analyseurs, à priori sans l'artéfact vu avant, il n'est pas possible de dire s'ils affichent des fréquences positives ou négatives. En fait, il affichent les deux repliées. Assez normal donc de dire que les fréquences affichées sont positives.@stefjm : je pensais pour ma part à ces analyseurs analogiques de spectre là, des "Parallel Filter bank analyzers":
https://www.electronicsandcommunicat...k-diagram.html
https://rfmw.em.keysight.com/wireles...es_spec_an.htm
A noter que les signes sont escamotés en électronique par l'usage des échelles logarithmiques.
log10(abs(w)) et 20.log10(module(H))
Mais un diagramme de Black qui porte le gain en dB en ordonnée et la phase en abscisse garde toute l'information complexe de la fonction de transfert étudiée (ici l'oscillateur qui donne le sinus).
Je trouve très intéressant ces liens entre mathématiques, physique, traitement du signal et technologie.
Cordialement
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Bonjour.
+1.Je trouve très intéressant ces liens entre mathématiques, physique, traitement du signal et technologie.
Mais il y a toujours des éléments un peu difficiles à comprendre, en particulier les fréquences négatives.
Je n'arrive pas à voir à quoi correspond physiquement une fréquence négative.
Par exemple, supposons un schéma générant un signal avec deux fréquences, une négative et une positive. Que se passe t'il si on rejette la fréquence positive par un filtre passe bas?
Autre exemple, lors de l'utilisation des les programmes tels que Python pour faire des FFT, il est courant de retirer les fréquences négatives pour ensuite visualiser le spectre.
Pour l'analyseur de spectre analogique, un bon plan de fréquence allié à de bons filtres élimine la raie indésirable.
Il suffit de bien choisir la première fréquence de transposition pour que la seconde raie n'apparaisse pas.
Salut, le développement de stef est mathématique (merci à lui pour ces rappels), mais je ne lis rien de physique dans son post sauf l'expérience avec l'analyseur de spectre à glissement, mais il faut voir son schéma, il doit y avoir une transpo à une fréquence intermédiaire comme dans certains transceiver radio, ou une astuce du genre non ?
Car pour moi (mais je veux bien être détrompé par un exemple) on ne peut pas générer des fréquences exclusivement négatives sur un signal réel, par exemple un signal électrique généré par une roue d'orgue électrique aura le même signe (positif puisque c'est une grandeur en "cycles par seconde") quelque soit le sens de rotation de la roue. Désolé de prendre un exemple trivial mais au moins on voit de quoi on parle, c'est physique (et électrique):
(Tonewheel Hammond Organ)
Même pour un signal complexe (I et Q) que l'on génère par exemple pour une modulation QAM, il y aura en fait deux signaux réels à analyser dans l'émetteur, le I et le Q, mais chacun contiendra des fréquences positives.
Dernière modification par GBo ; 31/05/2023 à 13h09.
Une autre vision du problème, voici un extrait d'un textbook parmi tant d'autres:
A1.PNG
A2.PNG
Source: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/...471221090.app1
-> l'analyse d'un signal du monde physique ("actual signal") ne voit que la projection sur l'axe horizontal, il n'a pas accès au sens de la rotation du "phasor".
J'espère que ça ne contredit pas ce que j'ai dit plus haut
Dernière modification par GBo ; 31/05/2023 à 14h19.
Cela se fait c'est de la BLU : https://fr.wikipedia.org/wiki/Bande_...%A9rale_unique
On gagne de la place sur le spectre puisqu'on vire la moitié redondante donc, inutile.
Oui, parce que c'est redondant.
Cela n'apporte pas d'information en plus.
Il suffit de dire que l'amplitude de la fréquence positive a un poids double et on oublie la fréquence négative.
Mais cette fréquence négative n'est pas moins physique que la positive.
Oui.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
C'est tout à fait cela.
Plutôt que de faire varier la fréquence centrale du filtre passe bande, on déplace le spectre du signal à étudier en le multipliant avec un sinus pour faire passer le résultat du produit devant une fenêtre passe bande de fréquence centrale fixe.
Cela revient à faire une convolution des signaux coté fréquentiel et c'est donc juste un décalage de spectre.
Dans ce cas là, on voit bien passer la partie négative du spectre d'origine (vu comme un artéfact, un truc pas physique).
Si on ne décale pas, on reste avec le spectre d'origine avec sa partie négative en miroir de la partie positive. Ce serait très bizarre de voir passer cette partie négative comme un artéfact quand on la translate coté positif (devant la fenêtre du filtre) et ne pas lui reconnaitre la même existence physique que la partie positive.
On peut tout à fait générer un signal de fréquence négative, sans fréquence positive. C'est juste conventionnel. On préfère le positif.Car pour moi (mais je veux bien être détrompé par un exemple) on ne peut pas générer des fréquences exclusivement négatives sur un signal réel, par exemple un signal électrique généré par une roue d'orgue électrique aura le même signe (positif puisque c'est une grandeur en "cycles par seconde") quelque soit le sens de rotation de la roue. Désolé de prendre un exemple trivial mais au moins on voit de quoi on parle, c'est physique (et électrique):
(Tonewheel Hammond Organ)
Le dessin du sinus de donne pas le signe de sa fréquence.
De même que le dessin du cercle obtenu à l'oscillo en XY représente le même signal sans qu'on sache dans quel sens il tourne.
Je désigne le même signal physique avec sin t ou e^(it).
Un signal physique "n'est" pas plus réel que complexe. C'est un choix de modélisation.
Avec deux roue de ce type et décalées de 90° on peut avoir le sens de rotation avec le déphasage relatif entre les deux.
Ben là, non seulement, il y a possiblement du négatif, mais en plus de l'imaginaire.
On peut toujours revenir à R^2 plutôt que C, mais c'est quand même un peu se faire ch*er pour rien.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
En fait tout le débat est là. pas d'observation directe (le décalage n'est pas une observation directe car il transforme le signal sous test, le sampling et FFT non plus puisqu'on bascule dans les maths avec des possibilités infinies). Mais on s'est compris et je suis d'accord que ce serait bizarre, défiant le bon sens.
Si on parle d'un signal analogique réel (ex électrique), et non complexe (en "bande de base" comme on dit dans le jargon des DSP-guys que je côtoie au boulot), je ne vois pas comment.
Dernière modification par GBo ; 31/05/2023 à 15h40.
