Energie minimum oscillateur quantique

[chris28000]

Bonjour,
Sur un cours de PCSI j'ai lu la détermination suivante de l'énergie minimum d'un oscillateur:

on a : 1/2*<px²>/m+1/2*w²<x²>=E

et on applique le principe d’indétermination de Heisenberg <px²> > h²/(4 <x²>) (puisque <px> =0 et <x> =0)

en injectant dans l'équation et en cherchant un minimum on trouve E> hw/2.

Ce qui me gène, c'est qu'en principe on applique le principe d'indétermination pour des mesures à un instant donné de x et px, alors qu'ici, on fait plusieurs mesures à des instants différents pour trouver <x>=0 et <px> =0.

Si quelqu'un peut m'éclairer, merci!
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[ThM55]

En fait ce principe énonce une propriété de l'état quantique. Il ne dit pas que l'on doit faire des mesures simultanées des grandeurs conjuguées. Ce qu'il dit est que si on prépare 2N systèmes identiques dans cet état quantique, stationnaire et d'énergie minimale, et si on fait N mesures de x sur la moitié d'entre eux et N mesures de p sur les autres, si enfin on calcule les variances, elles vérifient la contrainte d'Heisenberg.

La méthode utilisant ce principe est heuristique. On peut utiliser la même méthode pour trouver l'énergie de l'état fondamental de l'atome d'hydrogène. Il est toutefois plus correct et à peine plus compliqué de résoudre l'équation aux valeurs propres pour H donnant les états stationnaires. On obtient alors un spectre discret avec les niveaux .

[chris28000]

Ce qu'il dit est que si on prépare 2N systèmes identiques dans cet état quantique, stationnaire et d'énergie minimale, et si on fait N mesures de x sur la moitié d'entre eux et N mesures de p sur les autres, si enfin on calcule les variances, elles vérifient la contrainte d'Heisenberg

Mais justement, il peut y avoir plusieurs états px, x qui correspondent à une énergie donnée dans un oscillateur, et on a chaque état à des instants différents...

[ThM55]

Mais justement, il peut y avoir plusieurs états px, x qui correspondent à une énergie donnée dans un oscillateur, et on a chaque état à des instants différents...

Désolé mais je ne comprends pas ce que vous voulez dire. Que signifie "état px, x"? Pour autant que je sache, l'oscillateur harmonique à une dimension a un spectre non dégénéré, il y a un seul état stationnaire pour chaque valeur de l'énergie, il n'y en a pas plusieurs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[chris28000]

l'espace des phases (x,px) de l'oscillateur harmonique à une dimension est de dimension 2. chaque point de l'espace des phase près de l' ellipse d'énergie est un état, me semble t'il.

[ThM55]

OK. Je comprends, merci pour l'explication.

On cherche un état qui est stationnaire, avec une énergie fixée qui minimise l'énergie. Cette énergie est exprimée par une forme quadratique en x et p, un paraboloïde, elle a un minimum en x=p=0 et il est clair qu'en mécanique classique cette ellipse est réduite à un point pour l'énergie minimum, qui est nulle. Mais ce minimum nul ne peut être atteint en mécanique quantique, cela violerait l'inégalité d'Heisenberg. La grandeur la plus petite que l'on puisse obtenir est atteinte en supposant que x et p ont chacun une dispersion autour de cette valeur nulle et que l'inégalité de Heisenberg devient une égalité. On donne alors pour x et p des valeurs égales à ces dispersions. On en tire p en fonction de x et on calcule le minimum en annulant la dérivée dE/dx.

Il faut se rappeler aussi que la notion d'espace de phase est une notion de mécanique classique et qu'elle doit être profondément modifiée en mécanique quantique. Un état en mécanique quantique est autre chose qu'un état en mécanique classique. En mécanique quantique, les états de l'oscillateur qui ont une énergie précise sont les état stationnaires et ils n'ont pas une valeur précise de x ni de p. Par exemple pour la valeur de x (comme pour celle de p), la fonction d'ondes est donnée par un polynôme d'Hermite multiplié par une gaussienne, ce qui donne une gaussienne pour l'état fondamental. Si on envisage comme vous le supposez un état localisé dans l'espace de phase par des valeurs et , avec le produit le plus petit possible pour les incertitudes (hbar/2), cet état n'a pas une énergie bien définie: c'est une superposition de plusieurs (en général une infinité) d'états d'énergies différentes. L'état fondamental est une exception. Pour l'oscillateur, ce qui se rapproche le plus des états classique est ce qu'on appelle les "états cohérents".

[coussin]

Même en classique, un point de l'espace des phases ne représente pas un état. Celui-ci représente un état à un instant donné.
Une bille oscillant au fond d'un bol convertit en permanence son énergie cinétique en énergie potentiel. Au cours du temps, l'état est représenté par un point qui parcourt l'ellipse à l'énergie ad hoc dans l'espace des phases.
C'est toujours la même généralisation pour passer du classique au quantique : en quantique l'état est "délocalisé" partout dans l'ellipse de l'espace des phases. Ainsi, une valeur précise de x ou p n'a plus de sens. Quand on augmente les nombres quantiques, on transitionne petit à petit vers le classique en se localisant de plus en plus dans l'espace des phases.

[chris28000]

donc, pour un état d'énergie définie, il m'est impossible de savoir avec quelle probabilité il sera autour d'une position x donnée?

[coussin]

Étant donné un état, vous pouvez calculer <x> et éventuellement <x^2>. Pour les états stationnaires de l'oscillateur harmonique quantique, <x>=0 par symétrie...

[coussin]

donc, pour un état d'énergie définie, il m'est impossible de savoir avec quelle probabilité il sera autour d'une position x donnée?

J'ai peut-être mal compris votre question : est la probabilité d'être entre et . Là, ce sont les bases de la MQ.

[chris28000]

merci a vous deux!