Oscillateur harmonique quantique

[invitef6757cc3]

Bonjour,

Je suis en train de lire un bouquin sur la mécanique quantique, et je sèche sur un problème. Sachant qu'il est dans la partie introduction, je suppose qu'aucune notion de mécanique quantique n'est demandé. Ce problème concerne un oscillateur harmonique, voici l'énoncé :

"On considère une particule d'énergie E piégée par potentiel confinant (j'imagine que c'est analogue à une bille lâché dans un bol sur l'une des pentes en négligeant les forces de frottement). On note a et b>a les deux points tournant. Montrer que la période des oscillations est donnée par :

Tcl(E) = 2 int (a->b) {(dx)/(sqrt((2/m)(E-V(x)))}

Donner la relation entre cette période et l'action S(b|a;E). Appliquer le résultat dans le cas d'un oscillateur harmonique."

Sachant que E est l'énergie mécanique de la particule, V son énergie potentielle (j'imagine) et m sa masse (sans déc ^^). Bon ça c'est pour le cadre.

Pour la première partie je gère à peu près (avec l'aide de la correction), il suffit d'écrire la l'énergie mécanique telle que E= (1/2)mv²+V(x), donc on a :

(dx/dt)²=(2/m)(E-V(x))

dt = dx/(sqrt((2/m)(E-V(x)))

Soit, T= 2 int (a->b) {(dx)/(sqrt((2/m)(E-V(x)))}

Ca ok. Ensuite, la deuxième partie, il faut savoir que S(b|a; E) = S(b|a) + E t (là j'ai du mal à saisir la différence entre les deux actions). Donc on en arrive à dS(b|a; E)/dE= T. Et la dernière partie je comprends plus. Dans la correction il précise que dans le cas de l'oscillateur harmonique V(x) = 1/2 mw²x² (soit...), et qu'ils arrivent à démontrer que T = 2 * pi / w, en passant par int(-1 -> 1) {dx / sqrt (1- x²)} = pi, via la fonction Beta d'Euler. Mais même en cherchant sur le net, je ne comprends pas comment ils passent de l'intégrale de la période à celle de la fonction de Beta. En gros, par changement de variable, soit j'obtiens les bornes (-1;+1) mais la fonction à intégrer ne corresponds pas, soit l'inverse. Quelqu'un a une idée ?

P.S. : J'ai essayé de faire par analogie avec un ressort unidirectionnelle sans frotemment, je trouve un résultat incohérent physiquement (En gros, j'ai essayé de déterminer la raideur équivalente du système (k) pour déterminer la vitesse par un PFD, pour ensuite résoudre l'intégrale par Ec= E-V(x). Mais ça n'a pas l'air bon, la validité dépends de la valeur de a, ce qui n'a pas de sens).
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[invite0fa82544]

Pour l'action réduite et . Pour l'oscillateur harmonique, on obtient une intégrale qui, par un changement de variable, se ramène à celle indiquée, non ?

[invitef6757cc3]

Ben justement, par changement de variables, soit j'obtiens les bonnes bornes et la mauvaise fonction, soit les mauvaise bornes et la bonne fonction. Bon, pour l'action réduite, je crois qu'il va falloir que je comble mes lacunes en mécanique lagrangienne, j'en ai vue en école d'ingé, mais c'était beaucoup trop succinct. Pour la dernière question, par changement de variables j'obtiens :

Tosc=(sqrt(m/(2E))*int(sqrt(m/(2E)*a->sqrt(m/(2E)*b)){du/(sqrt(1-u²))}

Donc je ne comprends pas du tout. Je ne peux pas refaire une changement sans toucher la fonction, on dirait le serpent qui se mord la queue.

[invite0fa82544]

L'abscisse maximale étant , on a :

L'intégrale vaut , d'où

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef6757cc3]

Bonjour,

Merci pour vos réponses. J'ai finis par trouver la solution à mon problème.
Je vous donne ce que j'ai rédigé.

"On se place dans le cas d'un oscillateur harmonique, variant de a à b, ce qui donnes :
V(x)=(1/2)*m*w²((b-a)/2)²

On a donc :

T=2*int(a->b){dx/sqrt(w²(((b-a)/2)²-(x-((b+a)/2)))²))}

Après un premier changement de variable (u=x-(b+a)/2) :

T=(2/w)*int(alpha->beta){du/sqrt((b-a)/2)²-u²)} (alpha= (a-b)/2 et beta=(b-a)/2)

On effectue aussi le changement de variable suivant (p=2u/(b-a)):

T=(2/w)*int(-1->+1){dp/sqrt(1-p²)}

L'intégrale est paire sur [-1;+1], donc on a :

T=(4/w)*int(0->+1){dp/sqrt(1-p²)}

En utilisant la fonction beta d'Euler, on aboutit à :

T=(2/w)*gamma(1/2)²/gamma(1) (gamma étant la fonction gamma d'euler)

T=2*pi/w"

Voilà, si vous trouvez une erreur, n'hésitez. En tout cas merci pour tout, je n'aurais jamais trouvé seul .