Oscillateur harmonique quantique

[Dymelo]

Bonjour,
je travail sur ce cours : http://www.eleves.ens.fr/home/bolgar...0quantique.pdf

et je bloque sur une démonstration page 41, concernant l'oscillateur harmonique quantique.
J'ai X= 1/sqrt(2)*sqrt(h(barre)/mw)*(a^*+a) avec "*" représentant l'adjoint.
J'ai aussi les expressions de l'adjoint et a écrit plus haut dans le pdf.

Je n'arrive pas à démontrer que la moyenne de <X>=0... J'ai remplacer l'expression de X ci dessus en fonction de a et l'adjoint mais après je ne sais pas comment trouver que cela est égal à 0.

Quelqu'un pourrait m'éclairer ?
Merci.
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[van_fanel]

<X> est proportionnel à <a>+<a*>.

les kets |n> sont orthogonaux. Comme on en déduit que .

un raisonnement strictement analogue donne <a*>=0 et donc <X>=0.