Composantes covariantes et contravariantes des vecteurs et tenseurs

[Maxh81]

Bonjour,
Je me demande si j'ai bien compris ce que sont des composantes covariantes ou contravariantes d'un vecteur ou d'un tenseur. Est-il vrai de dire :


Lors d’un changement de système de coordonnées, une composante d’un vecteur ou d’un tenseur qui est notée en indice – appelée composante covariante –, se transforment en utilisant les coefficients de transformation (les coefficients de transformation sont généralement des matrice qui permettent de passer d’un système de coordonnées à un autre).
En outre, un vecteur ou un tenseur dont toutes les composantes sont covariantes est appelé vecteur ou tenseur covariant.

Lors d’un changement de système de coordonnées, une composante d’un vecteur ou d’un tenseur qui est notée en exposant – appelée composante contravariante –, se transforment en utilisant l’opposée des coefficients de transformation.
En outre, un vecteur ou un tenseur dont toutes les composantes sont contravariantes est appelé vecteur ou tenseur contravariant.

Un tenseur qui possède à la fois des composantes covariantes et contravariantes est appelé tenseur mixte.

En bref, un tenseur peut, sous un changement de système de coordonnées, se transformer de deux manières différentes : de manière covariante ou de manière contravariante. S’il se transforme de manière covariante, il se transforme de la même manière que le vecteur de base. Au contraire, s’il se transforme de manière contravariante, il se transforme de manière opposé au vecteur de base.


Merci beaucoup d'avance pour votre aide !
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[ThM55]

Bonjour. C'est correct, mais pour que ce soit vraiment clair il faut relier cela aux vraies définitions des vecteurs et tenseurs.

En fait du point de vue des transformations, il n'y a conceptuellement rien de plus dans un tenseur que dans un vecteur. On peut définir cela avec les vecteurs pour commencer, le reste se fait automatiquement via le produit tensoriel.

Donc si j'ai des vecteurs de base (i = 1,...,n où n est la dimension), un vecteur sera donné par (avec la convention d'Einstein, où l'indice i est répété et implique une somme pour i de 1 à n). Si on passe à une autre base

, la matrice a est inversible et on a .

Le vecteur v s'écrit donc dans la nouvelle base .

Par identification (puisque les e'_j forment une famille libre), les composantes contravariantes de v sont .

On peut ensuite considérer le dual de l'espace vectoriel, qui est l'espace vectoriel des formes linéaires qui sont ce que vous appelez les "vecteurs covariants": (je me limite ici aux espaces réels, la généralisation complexe est aisée). A une base donnée correspond la "base duale" telle que . Un "vecteur covariant" est en fait un élément de l'espace dual. On . L'action de la forme w sur un vecteur v est ce qu'on appelle la contraction:



On peut relier les "composantes contravariantes" et les "composantes covariantes" d'un vecteur v si on définit un produit scalaire sur l'espace vectoriel, autrement dit une structure euclidienne. On aurait par exemple . L'exemple canonique est , le delta de Cronecker, mais il n'est pas inutile de rester un peu plus général. Cela permet de définir une application canonique de l'espace sur son dual et de faire ainsi correspondre un "vecteur contravariant" avec sa forme "covariante", autrement dit un vecteur avec la forme linéaire associée par le produit scalaire.

Cela se généralise d'ailleurs aux espaces de Hilbert de dimension infinie grâce au théorème de Riesz-Fréchet: https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...%A9chet-Riesz).

[Morrslieb]

Bonjour

S’il se transforme de manière covariante, il se transforme de la même manière que le vecteur de base. Au contraire, s’il se transforme de manière contravariante, il se transforme de manière opposé au vecteur de base.

Je sais que c'est ce qui est écrit dans l'article en français de Wikipedia, et ce n'est pas faux, mais extrêmement misleading. En effet, cela n'est vrai que si on exprime le vecteur et son vecteur dual dans la même base, ce qui n'est pas le cas, du moins pas si on veut obtenir un objet invariant. Le vecteur dual est exprimé dans la base duale, qui se transforme de façon opposée à la base, ceci pour garantir l'invariance globale de l'objet géométrique.
Si on exprime un vecteur donc en termes de composantes et sa base (voir le message de ThM55), alors un vecteur est covariant lorsque ses composantes sont covariantes et sa base contravariante, et un vecteur est contravariant si ses composantes sont contravariantes et la base covariante. Donc, normalement un vecteur (il serait plus correct de dire "les composantes du vecteur", car le vecteur en soi est invariant) se transforme toujours de manière opposée aux vecteurs de base.

En fait, je vous conseille de jeter un coup d'oeil à l'article en anglais de Wikipedia: Covariant transformation
A mon avis, il est plus complet et plus clair que l'article en français. Il faut dire qu'en général il y a pas mal de confusion sur ses sujets, puisque les physiciens dans la littérature ne font pas de distinction entre le vecteur en soi et ses composantes.

[stefjm]

Et souvent confusion entre coordonnées et composantes d'un vecteur ce qui ne simplifie pas l'affaire...

[A voir en vidéo sur Futura]