Physique quantique : Lien probabilité Hamiltonien

[Une petite question]

Bonjour,

Mon opérateur matriciel Hamiltonien est noté Ĥ et est defini pour un état |i> comme

Ĥ |i> = H(i)*|i> (1)

où H(i) est une certaine fonction de |i> à valeurs réelles. Cela traduit simplement le fait que |i> soit vecteur propre de Ĥ.

Je possède de l'expression de H en fonction de l'état |i> et je sais que la probabilité p d'avoir le système final dans l'état |i> après application de H est

p = <Ĥ psi|i>^2 (2)

avec psi la fonction d'onde du système.

J'aimerais savoir si l'expression (3) est vraie :

⟨Ĥψ|i⟩ = |c_i|^2 * H(i) * ||i||^2 (3)

avec

|psi> = somme_i(c_i |i>) (4)

avec les c_i des compexes tels que |c_i|^2 est la probabilité de trouver le système initial dans l'état |i>. Et si (3) est effectivement juste, j'aimerais savoir comment la démontrer --- j'ai un problème pour ``récupérer'' le conjugué du c_i --- .

J'espère que toutes les informations nécessaires sont écrites.

Merci d'avance !!
-----

[gts2]

je sais que la probabilité p d'avoir le système final dans l'état |i> après application de H est p = <Ĥ psi|i>^2

Les spécialistes répondront plus précisément, mais pour un physicien lambda, il y a déjà un problème : une probabilité est sans dimension et la partie droite a comme dimension une énergie au carré.
D'où sortez-vous le "je sais" ?

[Une petite question]

Merci pour votre réponse !

``D'où sortez-vous le "je sais" ?''
Par définition, on a que p = <Ĥ psi | P_i | Ĥ psi> avec P_i = |i> <i| avec |i> d'une base orthonormale sauf erreur de ma part. Donc p = <Ĥ psi | P_i | Ĥ psi> = <Ĥ psi|i> <i|Ĥ psi> et le résultat ( j'espère ne pas raconter de bêtises en tout cas ).

Autrement, concernant votre remarque sur l'énergie, je suis d'accord avec vous, et justement, je ne comprends pas non plus. Connaîtriez vous la ``bonne'' formule ? Ceci dit, la définition de probabilité en quantique est définie comme une norme de quelque chose ayant la dimensoin d'une énergie donc au moins sur ce point là, les calculs se suivent.

[gts2]

Par définition, on a que p = <Ĥ psi | P_i | Ĥ psi> avec P_i = |i> <i|

Idem, cette "définition" n'a pas grand sens, où l'avez-vous trouvée ?

la définition de probabilité en quantique est définie comme une norme de quelque chose ayant la dimensoin d'une énergie.

Idem.

Des références ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Une petite question]

Merci encore pour votre aide.

Oui, ici ( cf pièce jointe, tout à la fin de la page 17 ). C'est d'ailleurs une définition assez comune je dirais.

Qu'en pensez-vous ?

[gts2]

Le texte en bas de la page 17 dit :

"The probability of measuring |ψ> in the state |0> is Pr(0) =<ψlPo lψ> = Tr (Po lψ><ψl)" avec "Po = l0><0l"

Po est un projecteur pas un hamiltonien.

Vous cherchez à faire quelle opération précisément ?

En faisant <ψl H lψ> vous obtiendrez l'énergie moyenne

[Une petite question]

Aah peut qu'ici que je commets une erreur alors :

Pour moi la probabilité que le système se retrouve dans l'état |0> après perturbation ( représentée par H ici ) est <Hψ | P0 | Hψ> parce que :
1) Le système après perturbation est |Hψ>
2) la probabilité qu'un système ψ' se retrouve dans un état |0> est <ψ' | P0 | ψ'>
Puis j'utilise cette relation dans le cas d' un état |i> tel que P_i satisfasse toujours les conditions ( projecteur et "orthonormalité" )

Qu'en pensez vous ?

[coussin]

Et si Psi= a |0> + b |1> etc alors <ψlPo lψ> est juste |a|²... Un nombre...

[Une petite question]

Oui, exactement.
Auriez vous une réponse pour mon problème de formule sur la probabilité ? Ou une référence où ce genre de choses seraient traitées dans mon cas ?

[gts2]

Le problème réside dans le vocabulaire "perturbation".

Si vous entendez par là mesure de l'énergie, le système sera dans l'état li> avec la probabilité |c_i|²

[Une petite question]

Ah non non non je n'ai pas été assez précis désolé. Par ``perturbation'', j'entends par là un apport d'énergie. Si vous voulez plus de contexte, c'est dans le cadre de la modification de l'`energy landscape' ( je travaille en anglais et n'ai pas les mots en français désolé ) avec tunneling et dans les hypothèses du théorème adiabatique afin d'obtenir un état fondamental bien différent des états excités, dépendant de l'energy landscape justement. Et cet energy landscape est justement représenté par mon Hamiltonien. C'est là ce que j'entends par ``perturbation''.

[gts2]

OK, alors là je laisse les spécialistes répondre.

[Une petite question]

Oh j'ai ! J'ai trouvé deux erreurs :

Déjà |i> doit absolument être dans une base orthonormée ce que j'oubliais dans mes calculs une fois sur deux, manque de rigueur, désolé.

Secondement, quand je fais ce calcul-ci

Par définition, on a que p = <Ĥ psi | P_i | Ĥ psi> avec P_i = |i> <i| avec |i> d'une base orthonormale sauf erreur de ma part. Donc p = <Ĥ psi | P_i | Ĥ psi> = <Ĥ psi|i> <i|Ĥ psi> et le résultat ( j'espère ne pas raconter de bêtises en tout cas ).

, je commets une erreur dans l'étape directement après celle là : j'ai complètement zappé le conjugué quand j'utilise la symétrie hermitienne sur le produit scalaire <i|Ĥ psi>. Encore la rigueur.

Je relirai mes calculs demain à tête reposée et je relancerai mes algorithmes. Si j'obtiens des réponses plausibles, je clorais la discussion ( est-ce possible ? ). Sinon, je reviendrai ici si le problème est du même sujet.

En tout cas, MERCI POUR VOTRE AIDE !!!

[Antonium]

Bonjour,

Je ne suis pas certain de comprendre le problème mais il me semble que les soucis de dimensions sont dans des "facteurs cachés". Je m'explique :

J'imagine que le lien avec les perturbation est qu'à partir de l'hamiltonien vous ajoutez un apport d'énergie tel que l'hamiltonien total est .
Si on part de l'état fondamental d'énergie nulle (sans perturbation) tel que , alors l'évolution temporelle de cette état avec la perturbation serait (avec hbar=1)

où l'approximation est valide tant que est "petit" par rapport à (à définir correctement) mais grand par rapport à "1", et que sinon il faut utiliser Baker–Campbell–Hausdorff pour séparer les exponentielles.

Dans ce cas on a bien un état après perturbation qui serait de la forme " ", mais le vrai état est accompagné d'un facteur t/hbar qui rend le tout sans dimension, comme il le faut (le i est sans importance ici car il disparaît lorsqu'on prend la norme).

Ensuite effectivement, si vous connaissez les états propres de alors votre calcul donnera les probabilités |c_i|^2 de se trouver dans l'état |i> (à condition que le spectre soit discret).

Il y a quand même beaucoup d'hypothèses à vérifier, ou alors peut être que je suis complètement à côté de la plaque... Si c'est le cas je m'excuse pour la perte de temps.

Bonne journée

[Une petite question]

Bonjour !

Merci pour vos réponses !

1)

J'imagine que le lien avec les perturbation est qu'à partir de l'hamiltonien vous ajoutez un apport d'énergie tel que l'hamiltonien total est

Oui, exactement !

2)

(avec hbar=1)

Juste pour être sûr, le hbar est bien au dénomonateur dans l'exponentielle ?

3)
Je n'arrive pas bien à conmprendre l'approximation que vous faites. En plus, si je prend la norme de l'exponentielle multipliée par |psi0>, j'obtiens la norme de |psi0>. Mais si je prends celle de -i t deltaH |psi0>, j'ai deltaH |psi0>, ce qui n'est pas la même chose puisque deltaH est grand par rapport à 1 comme vous l'écriviez. Je me trompe ?

4)

le vrai état est accompagné d'un facteur t/hbar qui rend le tout sans dimension

Aaaah ça résoud déjà au moins un problème, merci !

5)

les probabilités |c_i|^2 de se trouver dans l'état |i>

Actuellement j'avais plutot écrit c_i pour l'état initial

6)

à condition que le spectre soit discret

Oui, il l'est ( c'est dans le comaine de l'annealing quantique odnc on a un nombre fini d'états finalement ).

7)

Il y a quand même beaucoup d'hypothèses à vérifier

Il faudra que je regarde plus en profondeur, mais j'ai l'impression qu'étant dans le cadre adiabatique elles le sont toutes.

8)
J'ai relancé mes calculs avec la forumle suivante : pour un état |i> = |a0 a1 ... an-1> avec les ai = 0 ou 1 ( i = somme_i(ai*2^i), i allant de 0 à n-1, n la taille du vecteur |i> ), et avec un Hamiltonien réel, j'ai que la probabilité p d'avoir |psi> dans un état |i> après perturbation vaut
p = somme_k( a_k module[ somme_ j{ c_ j H(|j>) <b_k|j> } ]^2 )
avec la somme sur k allant de 0 à n-1, j de 0 à 2^n ( tous les états possibles quand on a des vecteurs de taille n dont les composantes peuvent valloir 0 ou 1 ) et b_k les vecteurs de la base canonique de |R^n.
Mais j'obtiens de proba plus grandes que 1. Vous veriez une erreur ? Où connaîtriez vous une formule pour cela ?

Merci d'avance !

[Une petite question]

Pour le point 8) :
J'ai commis des erreurs : j'obtiens finalement la formule suivante :
somme_k( a_k*|c_k|^2 H(|k>) ), k allant de 0 a n-1

[Antonium]

Juste pour être sûr, le hbar est bien au dénomonateur dans l'exponentielle ?

Oui exactement.

Je n'arrive pas bien à conmprendre l'approximation que vous faites

En effet j'ai été un peu vite. Plus en détails on veut évaluer



En premier lieu on peut utiliser la formule de Baker–Campbell–Hausdorff pour écrire l'exponentielle d'opérateurs

,

où les "..." contiennent des termes avec encore plus de commutateurs, du type . L'approximation tient donc si le commutateur est "petit", ou bien c'est même exacte si H_0 et delta H commutent (il me semble que vous n'avez pas donné d'expression pour ces opérateurs donc pas évident de vérifier à priori).

En assumant qu'on peut négliger ces commutateurs on doit ensuite calculer

,

où j'ai utilisé que l'état fondamental a énergie zéro (attention il y a beaucoup de systèmes avec une énergie du point zéro non nulle, c'est aussi à vérifier. Ensuite en assumant la perturbation petite on peut développer l'exponentielle au premier ordre



où la deuxième approximation vient si on assume delta H bien plus grand que "1" (encore à définir proprement avec les normes d'opérateur etc.....)

------------------------------------------

Jusqu'ici c'était juste une tentative de ma part de comprendre en quoi un état du type "H psi" serait une perturbation de l'état fondamental. Si vous avez confiance en votre formule j'imagine que ce n'est pas trop important...

J'ai relancé mes calculs avec la forumle suivante : pour un état |i> = |a0 a1 ... an-1> avec les ai = 0 ou 1 ( i = somme_i(ai*2^i), i allant de 0 à n-1, n la taille du vecteur |i> ), et avec un Hamiltonien réel, j'ai que la probabilité p d'avoir |psi> dans un état |i> après perturbation vaut
p = somme_k( a_k module[ somme_ j{ c_ j H(|j>) <b_k|j> } ]^2 )
avec la somme sur k allant de 0 à n-1, j de 0 à 2^n ( tous les états possibles quand on a des vecteurs de taille n dont les composantes peuvent valloir 0 ou 1 ) et b_k les vecteurs de la base canonique de |R^n

Pas facile à lire sans LaTeX...

Pour avoir la probabilité p(i) d'être dans l'état |i> on doit calculer où



Puis



Et donc en utilisant que les états propres de l'hamiltonien sont orthonormaux



D'où la proba

Je ne comprends pas trop où votre développement entre en compte... Si vous précisez je peux corriger ce que j'ai écris qui pour l'instant n'a pas l'air identique à votre résultat...

[Une petite question]

Merci pour vos réponses encore une fois !

delta H bien plus grand que "1"

J'imagine par ``1'' que vous entendez la matrice identité ? Puisque delta H est une matrice.
Alors j'ai malgré tout un problème avec cela. J'ai l'impression que vous comparez deux matrices. Et je n'ai jamais entendu parler des approximations du style ``équivalents en +oo'' comme on peut avoir dans |R. Mais peut-être utilisez vous une norme matricielle pour les comparer ? ||| . |||_2 par exemple ? Mais même là je ne sais pas trop comment faire ça rigoureusement. Mais je vais me renseigner !
Ensuite, en admettant l'histoire de delta H grand devant 1, j'ai l'impression que vous négligez un réel devant un imaginaire pur, je me trompe ? Je n'ai peut-être pas bien saisi.

Mais anyway ! Je vais y réfléchir pour voir ce que je peux faire avec ces idées, merci !

(il me semble que vous n'avez pas donné d'expression pour ces opérateurs donc pas évident de vérifier à priori)

En fait, je ne connais pas l'opérateur. Je connais la fonction qui donne ses valeurs propres ( l'objective function ) mais je ne connais ni Ĥ, ni ses vecteurs propres. J'aimerais néanmoins calculer la probabilité de trouver le système après application de Ĥ dans un état |i> qui n'est pas dans la base canonique. Si vous voulez, je peux vous donner l'objective function dans un cas particulier, ainsi que le |i> dont je veux calculer la proba.

Jusqu'ici c'était juste une tentative de ma part de comprendre en quoi un état du type "H psi" serait une perturbation de l'état fondamental.

Je fais peut-être encore une erreur ici mais pour moi, dès qu'on a un operateur, son ``effet'' sur un vecteur ( son application à un élément, son application à un état, ... ) est le produit matrice-vecteur de l'opérateur et du vecteur, non ?

Si vous avez confiance en votre formule j'imagine que ce n'est pas trop important...

Je pense qu'on pourrait l'admettre, au moins pour le moment. J'en suis presque sûr, mais je vais vérifier.


-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Pas facile à lire sans LaTeX...

Désolé, je n'avais pas trouvé comment faire.


La première formule pour p(i) que vous avez donnée, est-elle valable si |i> n'est pas dans une base orthonormée ( celle dans laquelle psi est exprimé ) ? Car si je reprends la définition de la probabiité, j'ai besoin d'un projecteur, or si |i> n'est pas dans une base orthnormée, |i><i| n'est pas un projecteur, si ?


J'ai un problème aussi avec votre simplification dans la somme en passant par les états propres : psi est exprimée dans une base, souvent la base canonique. Mais les vecteurs propres de Ĥ ne sont pas forément ceux de la base choisie pour psi, si ? À mois que psi ne soit exprimée dans la base de l'opérateur Ĥ. Est-ce le cas ?

donc en utilisant que les états propres de l'hamiltonien sont orthonormaux

Ah peut-être que là je vais comprendre : quels qont les états propres de l'Hamiltonien Ĥ ? Est-ce que par exemple n'importe quel état classique possible est état propre ? Par exemple, dans le cas d'un 2-qubit, les états classiques possibles sont |00>, |01>, |10> et |11> ( ce sont d'ailleurs les a0, a1, ... que j'utilisais ). Pourtant, je ne suis pas sûr que ces quatre états sont toujours états propres de l'Hamiltonien, quel qu'il soit ( je suis même plutot sûr du contraire ). Donc je me demande comment faire quand mon |i> n'est pas dans cette base des états propres ? La décomposition de |i> dans cette base est possible, et c'est ce calcul qui aboutit à ma dernière formule dans mon massage de 13h44 ( d'où les a_i ) --- d'ailleurs il manque un carré sur le H ---. Mais si je ne connais pas cette base, ce qui est mon cas, alors comment faire ?

[Antonium]

J'imagine par ``1'' que vous entendez la matrice identité ? Puisque delta H est une matrice.
Alors j'ai malgré tout un problème avec cela. J'ai l'impression que vous comparez deux matrices. Et je n'ai jamais entendu parler des approximations du style ``équivalents en +oo'' comme on peut avoir dans |R. Mais peut-être utilisez vous une norme matricielle pour les comparer ? ||| . |||_2 par exemple ? Mais même là je ne sais pas trop comment faire ça rigoureusement. Mais je vais me renseigner !

Oui la définition rigoureuse passe par les opérateurs bornés hermitiens sur un espace de Hilbert. Ici c'est sûrement plus simple vu que l'espace est de dimension finie. Mais encore une fois j'essayais juste de comprendre votre affirmation que H psi est l'état perturbé... Peut être que vous avez une autre approximation qui revient au même résultat...

Je fais peut-être encore une erreur ici mais pour moi, dès qu'on a un operateur, son ``effet'' sur un vecteur ( son application à un élément, son application à un état, ... ) est le produit matrice-vecteur de l'opérateur et du vecteur, non ?

Oui vous avez raison, j'essaye juste de comprendre pourquoi vous dites qu'ajouter une énergie H au système transforme un état |psi> en un état H |psi>. C'est peut être juste moi qui suis stupide mais ça ne me paraît pas trivial... Du moins pas sans les approximations évoquées ci dessus.

La première formule pour p(i) que vous avez donnée, est-elle valable si |i> n'est pas dans une base orthonormée ( celle dans laquelle psi est exprimé ) ? Car si je reprends la définition de la probabiité, j'ai besoin d'un projecteur, or si |i> n'est pas dans une base orthnormée, |i><i| n'est pas un projecteur, si ?

Si |i> sont les états propres de la perturbation H, qui est représentés par un opérateur hermitien, alors le théorème spectral garantit que les états propres peuvent être choisis tels qu'ils forment une base orthonormée. Dans ce cas on peut expandre psi dans cette base et |i><i| est un projecteur. Dans le cas général en effet ça pourrait être plus compliqué, mais je ne vois pas pourquoi il faudrait compliqué ici...

À mois que psi ne soit exprimée dans la base de l'opérateur Ĥ. Est-ce le cas ?

psi peut être exprimé dans la base que vous voulez, si vous connaissez les coefficients c_i de son expression dans la base des états propres de la perturbation H alors c'est bon.

Ah peut-être que là je vais comprendre : quels qont les états propres de l'Hamiltonien Ĥ ? Est-ce que par exemple n'importe quel état classique possible est état propre ? Par exemple, dans le cas d'un 2-qubit, les états classiques possibles sont |00>, |01>, |10> et |11> ( ce sont d'ailleurs les a0, a1, ... que j'utilisais ). Pourtant, je ne suis pas sûr que ces quatre états sont toujours états propres de l'Hamiltonien, quel qu'il soit ( je suis même plutot sûr du contraire ). Donc je me demande comment faire quand mon |i> n'est pas dans cette base des états propres ? La décomposition de |i> dans cette base est possible, et c'est ce calcul qui aboutit à ma dernière formule dans mon massage de 13h44 ( d'où les a_i ) --- d'ailleurs il manque un carré sur le H ---. Mais si je ne connais pas cette base, ce qui est mon cas, alors comment faire ?

J'avais cru comprendre que les |i> représentaient les états propres de H, cf votre equation (1) dans votre premier message... J'ai toujours un peu de mal à comprendre votre problème je m'en excuse, j'espère que je ne vous fait pas perdre du temps.

[Une petite question]

ça ne me paraît pas trivial... Du moins pas sans les approximations évoquées ci dessus.

Hmmm OK je pense que je vais trop vite. J'oublie le côté dépendance temporelle, qui par ailleurs est introduite par votre exponentielle.
OK, je viens de regarder la page wikipédia et du peu que j'en ai lu, vous avez bien plus raison que moi.

si vous connaissez les coefficients c_i

Alors malheureusement, je ne connais pas directemment les coefficints c_i, mais je connais leur module au carré. Mais la plupart du temps, j'arrive à m'en sortir comme ça. Plus ou moins. Bref.

J'avais cru comprendre que les |i> représentaient les états propres de H, cf votre equation (1) dans votre premier message... J'ai toujours un peu de mal à comprendre votre problème je m'en excuse, j'espère que je ne vous fait pas perdre du temps.

Non non non absolument pas c'est moi qui m'excuse, déjà vous prennez du temps pour m'aider, vous ne me faites pas perdre mon temps.
Oui, mon premier message n'est pas clair, et j'ai compris des choses entre temps : je préfère écrire maintenant que
et que l'état dont je veux calculer la proba est |i>. Les |j> on les prend dan sla base qui nous arrange, une BON de vecteurs propres de Ĥ du coup. Mais |i> n'est pas dans cette BON.





J'ai l'impression que ce serait plus facile si je clarifiais un peu le sujet :
Tout se déroule dans le cadre du quantum annealing.
Je cherche à minimiser une fonction. Cette fonction est appelée objective function H et dans mon cas, elle vaut H(x)=||Mx-y||^2 où M est une matrice connue, y un vecteur connu et x à trouver. Finalement, c'est une sorte d'Hamiltonien ( la fonction qui donne des valeurs propres en fait ), d'énergie à minimiser. Pour cela, je crée un energy landscape dont l'état fondamental est celui qui minimise H, grâce à un Hamiltonien Ĥ. Le lien entre H et Ĥ est pour les états propres de Ĥ notés |j>

où est la fonction H mais dont l'argument est l'état correspondant à un vecteur x. Par exemple, pour x0=(0.25, 1.125), en notation fractionnaire binaire, 0.25 c'est [0.010] ( 0*1+0*1/2+1*1/4+0*1/8 ) et 1.125 c'est [1.001] ( 1*1+0*1/2+0*1/4+0*1/8 ) ( 4 bits de precision et deux composantes : 8 qubits ) et on a donc ( c'est comme ça que j'ai choisi de définir mes états ) que l'état |k> correspondnat à x0 est |k>=(00101001) ( concaténation ). C'est |k> qui va en argument de .

En developpant H, on obtient , fonction de qubits. Ça j'ai.

J'ai donc un certain état, disons le |k> d'avant corrrespondant au x0, dont je voudrais calculer la probabilité que psi soit dans son état après application de l'énergie landscape qui correson à Ĥ. Je connais donc H, , mais pas Ĥ ni aucun de ses vecteurs propres ou valeurs propres. Mais si je connaissais les vecteurs propres, je pourrais avoir les valeurs propres sans connaître Ĥ, grâce à H. Je ne conais pas c_i mais je connais |c_i|^2 ( dans mon de travail ils valent tous la même chose et dans le cas présent ils valent tous 1/2^8 ).
Comment puis-je faire ? Suis-je obligé de calculer Ĥ ? Si oui, comment faire ?

Merci d'avance !

[Antonium]

Les |j> on les prend dan sla base qui nous arrange, une BON de vecteurs propres de Ĥ du coup. Mais |i> n'est pas dans cette BON.

Ah ! La notation est un peu déconcertante, je m'étais emmêlé.

Le lien entre H et Ĥ est pour les états propres de Ĥ notés |j>

où est la fonction H mais dont l'argument est l'état correspondant à un vecteur x

Autrement dit, vous savez comment Ĥ agit sur vos vecteurs de type |a(0)...a(n-1)>, car vous pouvez convertir la séquence binaire a(0)...a(n-1) en un vecteur x=(x_0,...,x_m), est-ce correct ?
Vous pouvez donc écrire la matrice Ĥ dans la base des |a(0)...a(n-1)>, puis la diagonaliser. Vous obtiendrez ainsi les vecteurs propres |E_i> et leurs valeurs propres E_i. En particulier vous aurez la matrice de changement de base qui permet de passer de la base des |a(0)...a(n-1)> à la base des |E_i>.

Maintenant pour calculer <k| Ĥ | psi>, avec , où j'imagine que vous pouvez choisir les c_i réels et positifs, de telle manière que vous les connaissez si vous connaissez c_i^2. Le but est juste d'avoir une superposition équiprobable des états |E_i> si je comprends bien, est-ce correct ? Si oui alors il n'y a pas de contre-indication à choisir les c_i réels et positifs.

On a donc



Il reste à calculer les élements <k|E_i>, mais puisque vous avez diagonalisé Ĥ initialement donné dans la base des |a(0)...a(n-1)>, avec |k> donné lui aussi dans cette base, vous connaissez la matrice de changement de base pour passer à celle des |E_i>, ce qui peut être noté sous la forme

.

Vous prenez le carré de tout ça et le tour est joué (encore une fois, sauf si j'ai oublié quelques subtilités...)

[Une petite question]

Haha oui, désolé pour cette notation !

Hmmm pour l'action de H, ce n'est pas vraiment ça :

x est bien un vecteur de réels. Mais un "ordinateur quantique" ne comprends pas ça, je dois le lui "traduire" en états.
Je "transforme/convertit" donc x en état grâce à une écriture binaire classique. Cela n'a rien à voir avec l'opérateur H. Jusque là, c'est du pré processing. Une fois que c'est fait, j'applique l'opérateur H ( apport d'énergie, théorème adiabatique ) et là le système quantique change. Après il y a mesure, j'obtiens un état, un vecteurs de 0 et de 1 que je transforme en vecteur de réels ( poste processing ).

Donc finalement, l'opérateur H s'applique à un état avec des 0 et des 1 ( l'écriture binaire a0 a1 ... an-1 ). C'est pour ça que j'ai fait la différence entre la fonction H et la fonction "h tilde" ( désolé je ne peux pas accéder à un ordinateur pour le moment, je vous répondrais plus en détail au besoin demain matin ).

Est ce que c'est un peu plus clair ?

[Antonium]

Donc finalement, l'opérateur H s'applique à un état avec des 0 et des 1 ( l'écriture binaire a0 a1 ... an-1 )

Oui mais si vous savez convertir cet état en un vecteur x en convertissant les nombres binaires en nombre non binaires, et que vous connaissez la fonction qui donne un nombre à partir de ces vecteurs de nombres non binaires, c'est bon non ?

[Une petite question]

Non parce que je ne connais pas les vecteurs justement. Je ne connais pas la décomposition en vecteurs propres de l'opérateur H.
Ou bien je passe à côté de quelque chose ?

Edit :
Mais je vais relire tout va demain à tête reposée et surtout avec une feuille et un crayon.

[Une petite question]

OK je suis effectivement passé à côté de ce que vous aviez dit, c'est ma faute.
Ce que vous avez écrit me paraît vraiment bon finalement ! Merci !

Je vous confirmerai demain quand j'aurai effectué les calculs de À à Z.

[Une petite question]

Bonjour !

Je suis en train de refaire les caculs :
J'aimerais juste avoir confirmation d'une chose : Déjà, j'ai 2^n états pour la base canonique, où n est le nombre de qubits impliqués. Donc ma probabilté d'avoir un état parmis ceux de la base canonique est de 1/2^n. Mais celle d'avoir un autre état est différente puique c'est un état composé. En particulier pour les états propres de Ĥ. Je ne dis pas de bêtises jusque là ?

Je définis les notations siuvantes :

où la famille de n vecteurs (|i>) est la base canonique de R^{n} et la famille (|E_i>) un base orthonormée de vecteurs propres de Ĥ. Et j'ai bien ici que comme contient n termes, la somme des c_i vaut 1.

J'ai la formule suivante

Est-ce juste jusqu'à là ?

Ensuite, plutôt que de supposer les c_i réels positifs ( j'ai du mal à voir pourquoi, car les coefficients sont sans doutes fixés lors de l'élaboration du quantum annealer et je ne trouve pas de documentation sur çà ), je pensais à une hypothèes un peu plus faible : je veux les mêmes pobabilités à la fin avec superposition donc peut-être que ça pourrait justifier de les prendre simplement égaux. J'ai ainsi en identifiant tout c_i à c_0 que

Le problème est que je ne vois pas pourquoi ça serait plus petit que 1. Donc il doit y avoir une erreur quelque part. Sauriez-vous où ?

Merci d'avance !

[Une petite question]

Oui mais si vous savez convertir cet état en un vecteur x en convertissant les nombres binaires en nombre non binaires, et que vous connaissez la fonction qui donne un nombre à partir de ces vecteurs de nombres non binaires, c'est bon non ?

Je ne vois pas comment faire :
Oui je peux convertir tout vecteur de Hilbert en vecteur de flottants( l'inverse n'est pas tout le temps possible d'ailleurs, mais ici ce n'est pas ce qui pose problème en premier lieux ).
En effet, la fonction H prend en argument un vecteur de flottants mais elle renvoie un réel. De même pour qui prend en argument un vecteur d'état de Hilbert ( binaire pour la base canonique ). Ça implique que la matrice associée à ma fonction H est de taille (n,1) et celle associée à ma fonction est de taille (2^n,1). Donc je ne peux pas la digonaliser.

Où j'ai encore loupé un truc ?

[Antonium]

Bonjour,

Déjà, j'ai 2^n états pour la base canonique, où n est le nombre de qubits impliqués

où la famille de n vecteurs (|i>) est la base canonique de R^{n}

N'est-ce pas contradictoire ? Je croyais que cette base était la base canonique de qbits



qui comporte 2^n états, que vient faire la base canonique de R^n la dedans ? Ou peut être voulez vous dire la base de R^(2^n) ?

la somme des c_i vaut 1

Petite coquille, c'est la somme des |c_i|^2

J'ai la formule suivante

Est-ce juste jusqu'à là ?

Attention aux indices, il vaudrait mieux écrire

Pour calculer <i|E_j> il faut diagonaliser H afin de trouver ses vecteurs propres |E_j> exprimés dans la base des |i> . Pour votre dernier calcul les vecteurs propres sont normalisés donc la réponse est juste 1/2^n.

Où j'ai encore loupé un truc ?

H devrait être une matrice de taille (2^n, 2^n). Pour calculer l'élément H_ij il vous faut calculer <i|H|j>, où |i> et |j> font parties des 2^n vecteurs |a0,...,a(n-1)>. Il devrait être possible de calculer cela avec votre fonction H(x) en convertissant la notation, sauf encore une fois si je comprends mal le problème...

[Antonium]

En relisant je crois qu'en effet j'ai mal compris...

Votre fonction H(x) donne les valeurs propres correspondant à un vecteur x, c'est juste ? Mais alors la base canonique diagonalise déjà le hamiltonien puisque pour tout vecteur |a0....a(n-1)> vous avez un unique vecteur x, en faisant l'inverse de la procédure que vous aviez décrite plus haut :

Par exemple, pour x0=(0.25, 1.125), en notation fractionnaire binaire, 0.25 c'est [0.010] ( 0*1+0*1/2+1*1/4+0*1/8 ) et 1.125 c'est [1.001] ( 1*1+0*1/2+0*1/4+0*1/8 ) ( 4 bits de precision et deux composantes : 8 qubits ) et on a donc ( c'est comme ça que j'ai choisi de définir mes états ) que l'état |k> correspondnat à x0 est |k>=(00101001) ( concaténation )

Du coup c'est beaucoup plus simple...

[Une petite question]

Oui désolé, j'ai fait trois coquilles, my bad ... : C'est bien une base de |R^(2^n), la somme des |c_i|^2 et vous avez raisons pour les indices.

Pour votre dernier calcul les vecteurs propres sont normalisés donc la réponse est juste 1/2^n.

Oui mais normalisée pour la norme 2, pas la norme 1. J'ai identfié la somme à la norme 1 actuellement. Mais de toute façon j'ai fait une erreur avec cette identification : la norme 1 comporte des valeurs absolues sur chacun de ses termes, que je n'ai pas ici. Je ne comprends donc toujours pas pourquoi les |d_i|^2 sont plus petits que 1.


Pour la taille de Ĥ : Je pense qu'il y a une différence entre la matrice associée à la fonction H ( ou à H tilde qui prend en argument un vecteur de binaires, n'importe ) et l'opérateur Ĥ. En effet, je sais simplement quel est le lien entre Ĥ et H vis à vis des valeurs propres de Ĥ. Mais je n'ai pas d'informations pour les autres états. C'est pourquoi, à mon sens, la matrice représentative de H tilde est de taille (2^n, 1) et que l'opérateur Ĥ est carré de taille 2^n. Comme je vois les choses actuellement, H tilde donne l'énergie d'un état après transformation, tandis que Ĥ transforme les états, uniquement. Ils ne représentent pas la même chose. Sauf si je me trompe. Personellement, je pense que le lien entre l'objectve function H tilde et l'opérateur Hamiltonien Ĥ est absolument pas trivial. Peut-être que je m'avance trop mais de la fonction H tilde que j'encode dans l'annealer, un Hamiltonien Ĥ est créé mais qui ne match H tilde que dans le cas de la modification de valeurs propres. Pour les autres états, on ne peut pas s'en sortir seulement aec Ĥ. Ce qui m'empêche de calculer

<i|H|j>, où |i> et |j> font parties des 2^n vecteurs |a0,...,a(n-1)>. Il devrait être possible de calculer cela avec votre fonction H(x)

puisuqe les |i> et |j> ne sont pas vecteurs propres a priori.