Physique quantique : Lien probabilité Hamiltonien

[Antonium]

C'est pourquoi, à mon sens, la matrice représentative de H tilde est de taille (2^n, 1) et que l'opérateur Ĥ est carré de taille 2^n

Oui il y a 2^n valeurs propres, qui sont les éléments diagonaux d'une matrice carrée (2^n,2^n), forme sous laquelle peut être notée votre H tilde.

Personellement, je pense que le lien entre l'objectve function H tilde et l'opérateur Hamiltonien Ĥ est absolument pas trivial.

Il me semble que vous aviez dit que l'hamiltonien est définit dans votre problème comme un opérateur dont les valeurs propres sont données par H tilde appliquée aux vecteurs x, est-ce correct ?

Ce que je comprends de votre message #20 est que :
- Il y a une fonction h(x) =||Mx-y||^2
- les vecteurs x peuvent être encodés en binaire, suivant la procédure que vous avez décrite, tel que pour chaque vecteur x il correspond un nombre binaire a0 a1... a(n-1). On a alors un dictionnaire entre les deux notations que l'on pourrait écrire sous forme de fonctions x(a0,..,a(n-a)) ou son inverse a0(x),a1(x) etc.
- Vous définissez un hamiltonien H et une base canonique |a0...a(n-1)> tel que H |a0(x)...a(n-1)(x)> = h(x) |a0(x)...a(n-1)(x)>
- Vous voulez calculer le produit scalaire <k|H|psi> pour où |k> et |i> sont des vecteurs de la base canonique |a0,...,a(n-1)>.

Il y a sûrement une erreur dans ma compréhension parce que dans ce cas les |i> sont des vecteurs propres de H et ne sont pas mixés... Peut être pouvez vous clarifier lesquels de ces points sont erronés ?
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[Une petite question]

Je viens de voir votre message de 12h03, désolé.

Votre fonction H(x) donne les valeurs propres correspondant à un vecteur x, c'est juste ?

Pour moi H(x) ne donne une valeur propre que si ce vecteur x a son état correspondant dans la BON des vecteurs propres.

pour tout vecteur |a0....a(n-1)> vous avez un unique vecteur x

Oui, ça c'est vrai.

Mais surtout, je ne réussis pas à faire le lien entre le fait que la base canonique diagonalise l'Hamiltonien et le fait qu'on pourrait faire correspondre un x à tout vecteur |a0....a(n-1)>.

[Une petite question]

Peut être pouvez vous clarifier lesquels de ces points sont erronés ?

Oui oui bien sûr, merci de prendre ce temps, je vais reprendre point par point, ça sera pus clair :

Oui il y a 2^n valeurs propres, qui sont les éléments diagonaux d'une matrice carrée (2^n,2^n), forme sous laquelle peut être notée votre H tilde.

Sur ça je vous suis uniqument si Ĥ est exprimé dans sa base propre.

Il me semble que vous aviez dit que l'hamiltonien est définit dans votre problème comme un opérateur dont les valeurs propres sont données par H tilde appliquée aux vecteurs x, est-ce correct ?

Oui

l y a une fonction h(x) =||Mx-y||^2

Oui

les vecteurs x peuvent être encodés en binaire, suivant la procédure que vous avez décrite, tel que pour chaque vecteur x il correspond un nombre binaire a0 a1... a(n-1). On a alors un dictionnaire entre les deux notations que l'on pourrait écrire sous forme de fonctions x(a0,..,a(n-a)) ou son inverse a0(x),a1(x) etc.

Oui

Vous définissez un hamiltonien H et une base canonique |a0...a(n-1)> tel que H |a0(x)...a(n-1)(x)> = h(x) |a0(x)...a(n-1)(x)>

Là je ne comrends plus. Je pensais que cette relation n'était vraie que si x correspondait à un état |a0(x)...a(n-1)(x)> qui est dans une BON de valeurs propres de Ĥ.

- Vous voulez calculer le produit scalaire <k|H|psi> pour où |k> et |i> sont des vecteurs de la base canonique |a0,...,a(n-1)>.

Oui pour |i>, mais |k> n'est pas dans la base canonique. C'est un vecteur d'état quelconque qui représente seulement un état possible. Mais ca ne pose pas problème, j'ai juste à le décomposer dans la base canonique. Mais du coup les vecteurs de la BON de vecteurs propres de Ĥ sont des compinaisaons linéaires des vecteurs de la base canonique.

Est-ce un peu plus clair ?

[Antonium]

Pour moi H(x) ne donne une valeur propre que si ce vecteur x a son état correspondant dans la BON des vecteurs propres.

C’est la que j’ai du mal à comprendre ce que vous essayez de faire… si h(x) donne une valeur bien définie pour un vecteur x, pour lequel il existe un unique élément de la base canonique, je ne vois pas pourquoi cette base canonique ne diagonaliserait pas H.

Vous avez dit qu’il n’y a pas de restriction sur H, autre le fait que ses valeurs propres soient les h(x) ? Si c’est vrai alors je vois pas de contre indication à ce que la base canonique soie vecteur propres de H, mais cela rendrait le problème trivial…

[Une petite question]

si h(x) donne une valeur bien définie pour un vecteur x, pour lequel il existe un unique élément de la base canonique

je ne suis pas sûr de ce que vous voulez dire : dans cette phrase vous choisissez juste un x tel que son vecteur d'état correspondant est dans la base canonique de l'Hilbert et tel que H(x) soit bien définie c'est ça ?

mais cela rendrait le problème trivial…

En effet, Ĥ serait diagonale dans ce cas là

si h(x) donne une valeur bien définie pour un vecteur x, pour lequel il existe un unique élément de la base canonique, je ne vois pas pourquoi cette base canonique ne diagonaliserait pas H.

Je ne saisis pas pourquoi est-ce que la base canonique diagonaliserait Ĥ. Le seul lien qu'on puisse faire entre l'opératuer Ĥ et la fonction H tilde est la relation avec les vecteurs propres. Mais pour toute autre vecteur qu'un vecteur propre, il n'y a a priori pas de lien entre la fonction H tilde et l'opérateur Ĥ. Ainsi, même si H est définie pour d'autres vecteurs que ceux de la base de vecteurs propres de Ĥ, il n'y a pas de lien entre H et Ĥ pour ces autres veteurs-ci. Je me trompe ?

[Une petite question]

Je pense que je m'exprime mal, désolé de vous faire perdre ainsi votre temps.

Je vous ai mis en pièce jointe, une publication où tout ça est expliqué par quelqu'un d'autre. Si vous préferrez, vous pouvez ainsi jeter un oeil en particulier aux pages 4 ( dès la ligne 5 de la page ), 6 ( dès la ligne 4 de la page ) puis aux pages 16 et 17 ( c'est du calcul, tout lire en détail n'est pas nécessaire, d'autant qu'il y a des erreurs dans ce papier, mais ça aide actuellement à comprendre qui est quoi ).

[Antonium]

Ah s’il y a une référence c’est super, utilisons la pour fixer la notation.

Pourriez vous re exprimer votre question en utilisant la notation de cette référence ? Ça permettrait d’y voir plus clair.

[Une petite question]

Oui, bien sûr, je le fais tout de suite !

J'ai une fonction H qui prend en entrée un vecteur de réels x. Elle calcule ||Mx-y||, la matrice M et le vecteur y connus.
On developpe puis linéarise cette fonction afin d'avoir un problème d'interation entre qubits, qui vont chercher à minimiser leur énergie, correspondant à l'image de H. Le ``problème'' est que dans le papier, ils ont donné le même nom à cette forme développée qu'à la fonction de départ. Personellement, je préfererais appeler la forme developpée Htilde ou quelque chose dans ce goût là, dites moi ce que vous en pensez. On a donc H qui prend en entrée un vecteur de réel de taille n et de matrice représentative une matrice de taille (1,n) et qui ressort un réel ( énergie ). Et on a aussi Htilde qui prend en entrée le vecteur d'état de taille 2^n correspondant à x et qui ressort en théorie le même réel que si on calculait H(x). Les termes dans Htilde correspondent à des potentiels et des interactions entre qubits. C'est ce qu'on minimise et c'est ce qu'on implémente via un graph dans l'annealer ( minor embding ). Tout ça c'est pages 6, 16 et 17.

Page 4 on définit opérateur Hamiltonien dans l'équation (1.2) et à l'équation (1.3) on a le lien entre l'Hamiltonien et la fonction H. L'opératuer est appelé Ĥ.

Vous pouvez voir des ``G'' en indice qui disparaissent après la page 5, ainsi que des Q majuscules qui se transforment en q minuscules. C'est en fonction de si on travail avec des qubits logiques ou physiques. Je pense que pour nous, ici, cela ne nous importe pas, qu'en pensez-vous ? Garde-t-on la notatin sans le G en indice ?



En gros, j'ai une matrice ( numérique ) et un y. J'ai calculé l'objective function et ai validé le code. Je fais des expériences sur l'influence du nombre de qubits, de la précision, du conditionnement de la matrice, et du nombre de sampling sur les différents types de solutions ( exacte, numérique et effective ) dans le cadre d'un procédé itératif et j'ai remarqué qu'un état particulier qui devrait sortir ne sort jamais à une itération fixée. Je voulais donc calculer la probabilité de l'évènement ``cet état ne sort jamais'' pour voir si en fait ce ne serait pas tout à fait normal. On en arrive à ma question sur ce forum.


J'espère avoir pu éclaircir un peu ma question.

[Antonium]

Et quel calcul exactement essayez-vous de faire ?

Dans votre message #1 je ne pense pas que l'équation (3) soie correcte car je ne comprends pas pourquoi vos |i> ne seraient pas une base orthonormée. Ne correspondent-ils pas aux |Q> de la référence ?

[Une petite question]

Non en effet elle n'est pas correcte finalement. C'est justement cette expression que je voudrais corriger maintenant. Mais oui, (3) est fausse à 100%.

Ne correspondent-ils pas aux |Q> de la référence ?

Ils devraient correspondre mais je ne l'avais pas encore compris au moment où j'avais posté le message.

[Antonium]

Mais dans ce cas pourquoi n'a-t-on pas simplement



d'où



où E_i est calculé avec votre fonction objectif en convertissant le vecteur |i>= |a0...a(n-1)> en un vecteur x pour lequel H(x) donne un nombre ?

Il peut sembler étrange que la probabilité a l'air d'augmenter avec E_i, mais il faut se rappeler que noter l'état final H|psi> était une approximation.

[Une petite question]

Bonjour,

Ici on est d'accord que |i> est dans la base canonique n 'est-ce pas ?

Mais dans ce cas pourquoi n'a-t-on pas simplement



d'où



où E_i est calculé avec votre fonction objectif en convertissant le vecteur |i>= |a0...a(n-1)> en un vecteur x pour lequel H(x) donne un nombre ?

De mon point de vu c'est parce que l'égalité Ĥ|k>=H(|k>) |k> n'est vraie que si |k> est vecteur propre et parce que la base canonique n'est pas, a priori, base propre de Ĥ.

[Antonium]

Mais s’ils correspondent aux |Q> de votre référence (comme indiqué dans votre message #40) alors l’éq (1.3) dit qu’ils sont vecteurs propres.

[Une petite question]

Mais s’ils correspondent aux |Q> de votre référence (comme indiqué dans votre message #40) alors l’éq (1.3) dit qu’ils sont vecteurs propres.

Mon message #40 n'était pas clair : je pensais que |i> et |Q> corresponent mais il n'y a pas de raison que ce soit le cas. Dans la référence, les |Q> de (1.3) sont des vecteurs de la base propre mais qui n'ont rien à voir avec les Q_r de (1.2) par exemple.
Pour moi il fixe une notatin générale dans (1.1) avec ecs variables Q_r et Q_s, il précise un abus de langage dans (1.2). Pour préciser cet abus, il a besoin de préciser une notation et de faire le lien entre différentes notations ( à savoir le Ĥ t le H ) et pour cela il utilise un nouveau Q générique qui ne correspond à rien dans ce qu'il disait précédemment. En tout ca cest ainsi que je vois les choses.

J'espère avoir bien compris ce que vous disiez.


Je me suis rendu compte que j'avais oublié de répondre à

Et quel calcul exactement essayez-vous de faire ?

Ce que je veux calculer c'est la probabilité qu'après application de l'Haimiltonien le système sois dans un état |k> ( pas forcément dans la base canonique, mais dans un premier temps c'est plus simple de le prendre comme tel ).

[Antonium]

Les Q_r sont les opérateurs dont les vecteurs |Q> sont les vecteurs propres, l’ Hamiltonien est supposé être une fonction de ces Q_r et pas d’autres variables, donc les |Q> sont aussi vecteurs propres de l’hamiltonien, où est le problème ?

[Une petite question]

Je suis perdu.

Je ne comprends pas bien ce que vous faites mais j'ai malgré tout lancé un calcul numérique de probabilité pour un vecteur de la base canonique.Le résultat est 228765928.68174997, ce qui n'est pas bon. Mais peut-être est-ce l'approximation qui n'est plus du tout vérifiée. Le calcul que j'ai fait était avec p(i)=|c_i|^2 E_i^2 pour une matrice 4*4 avec une solution en précision 4 et le vecteur d'état est |k>=[1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0, 0].

Mais en reprennant vos premier messages, ne faudrait il pas que je divise le tout par la constante de Plack réduite en fait ? Et multiplier par un ( interval de ) temps ?


Par contre je n'arrive pas du tout à interpreter les opérateurs Q_r chapeau. Quelle action représentent-ils ?

[coussin]

Un résultat "tellement faux" devrait être facile à débugger. Ça n'a probablement rien à voir avec la physique...
Par contre, débugger votre code sur un forum de discussion me paraît difficile...

[Antonium]

Mais en reprennant vos premier messages, ne faudrait il pas que je divise le tout par la constante de Plack réduite en fait ? Et multiplier par un ( interval de ) temps ?

Probablement oui, je ne suis vraiment pas convaincu d'approximer l'état final par H |psi>, mais vous aviez l'air d'avoir confiance dans ce résultat.

Par contre je n'arrive pas du tout à interpreter les opérateurs Q_r chapeau. Quelle action représentent-ils ?

ça dépend de quel système physique est utilisé pour réaliser l'hamiltonien. Si vous utilisez le modèle d'Ising qui semble être le plus commun alors ce sont les opérateurs de spin sigma(x).

[Une petite question]

Bonjour @coussin,

Ça n'a probablement rien à voir avec la physique...

Vous confirmez donc la physique dans ce qu'on a fait ? À savoir que p(i)=|c_i|^2 E_i^2 ? Car pour moi ce résultat à tout à voir avec la physique. Je ne sais pas ce que vous entendez par ``physique'' exactement, mais en prennant H(|i>) comme valeur de E_i, ça ne m'étonne absolument pas physiquement d'obtenir des valeurs de l'ordre de 10^9 ou plus. Avez vous une ideé des valeurs de l'Hamltonien dans ce cas là ( cas de la minimisation de ||Mx-y||^2 ) ? Car elles sont justement de cet ordre là. C'est pourquoi ce résultat ne m'étonne pas. Ayant une idée des valeurs de l'Hamiltonien dans mon cas, je savais avant de lancer le calcul à quoi m'attendre. Et pour moi c'est de la physique. Mais peut-être vous ai-je mal compris. Et je reste évidemment ouvert toute idée. En particuier, auriez-vous une iterprétation pour l'opérateur Q_r chapeau de la référence ?

débugger votre code

Ce ``code'' dont ous parlez n'est qu'une bête application numérique. Ce sont des calculs multiplication/addition entre réels, rien de plus. Et même si la fonction de l'hamiltonien semble ``complexe'', le code qui en est à l'origine a été proprement validé et réutilisé de façon conclusive sur littéralement des centaines de cas. Mais je vais encore le relire, évidemment.

Néanmoins, merci pour vos remarques.

[Une petite question]

@Antonium

Probablement oui, je ne suis vraiment pas convaincu d'approximer l'état final par H |psi>, mais vous aviez l'air d'avoir confiance dans ce résultat.

Abslument, j'en étais convaincu, et je le suis de moins en moins.

le modèle d'Ising

Plutôt un model QUBO, donc principalement plus d'interaction permises. Vous auriez une interpretation pour cela ?

[gts2]

Bonjour @coussin,
Vous confirmez donc la physique dans ce qu'on a fait ? À savoir que p(i)=|c_i|^2 E_i^2 ? Car pour moi ce résultat à tout à voir avec la physique.

p(i)=|c_i|^2 E_i^2 est tout à fait à l'opposé de la physique comme je l'ai déjà indiqué (à moins de multiplier par (t/h)², mais quel t ?
Pour que avec , proba(i)=|c_i|^2, il faut que ψ soit normalisé, sinon il faut diviser par or n'est pas normalisé.
Mais ce sont des réflexions de principe, sur le détail je suis incapable de répondre.

[Une petite question]

Mais en reprennant vos premiers messages, ne faudrait il pas que je divise le tout par la constante de Plack réduite en fait ? Et multiplier par un ( interval de ) temps ?

En fait, je me suis trompé, faire cela rendrait simplement le réusltat encore plus énorme, ce n'est sans doute pas la cause.

[Une petite question]

à moins de multiplier par (t/h)2, mais quel t ?

Pour moi le t est en fait un delta t et est le temps d'une opération de sampling en annealing quatique donc de l'ordre de la dizaine de microseconde dans mon cas particulier.

il faut que ψ soit normalisé

Donc ce cas là, en admettant que p(i)=|c_i|^2 E_i^2 soit juste à une normalisation près, en divisant par norme de psi, je divise finalement par la somme des |c_i|^2, exact ? ( sur la papier ça me plaît car je retrouve une sorte de barycentre j'ai l'impression ).

P.S : quand je disais que

ce résultat à tout à voir avec la physique

je pensais plus à ``si c'est faux c'est pour moi que l'on fait une erreur dans les calculs théoriques plutôt qu'une erreur d'application numérique''

[Une petite question]

or n'est pas normalisé.

C'est totalement vrai. Je n'ai pas de solution.

[coussin]

Bonjour @coussin,
Néanmoins, merci pour vos remarques.

Je suis incapable de vous aider dans les details car c'est trop technique, je n'y comprends rien.
Mais je persiste à dire que si vous manipulez des probabilités qui valent 1e9, c'est une erreur facile à trouver.
Je jette des éléments de réponse au hasard d'après ce que j'ai vu sur ce fil : H Psi n'est pas une fonction d'onde (si tant est que H est un hamiltonien...), |c_i|^2 E_i^2 n'est pas une probabilité (si tant est que les E_i sont des énergies). Tout cela d'un point de vue dimensionnel seulement...
Après, j'en sais rien peut-être que vous travaillez en unités atomiques (ce qu'on fait tout le temps, on ne traîne pas des facteurs 1e-34 quand on fait des calculs numériques...)...

[Antonium]

Ce n'est pas normalisé car vous faites l'approximation que l'état final est H|psi> au lieu de



qui conserverait la norme

[Antonium]

Après quelques lectures sur ces méthodes de quantum annealing, c'est un peu plus compliqué. L'hamiltonien change en fonction du temps, et dans le cas d'Ising il passe de l'hamiltonien avec les variables de spin le long de z à l'hamiltonien avec les variables de spin le long de x. Donc l'état initial qui est état propre de l'hamiltonien initial n'est pas état propre de l'hamiltonien final. (voir par exemple eq 1, 2 et 3 dans https://arxiv.org/pdf/2112.07491.pdf)

Utiliser un hamiltonien de type QUBO est pareil car il est équivalent à celui d'Ising en changeant de variables (voir eqs 2 à 6 dans https://arxiv.org/pdf/1903.06559.pdf)

L'état final est donc calculé en utilisant la solution de l'eq de Schrödinger avec un hamiltonien dépendant du temps, ce qui donne une série de Dyson (cf https://en.wikipedia.org/wiki/Dyson_series). C'est non trivial, je ne sais même pas s'il y a une solution analytique pour ce problème, ce qui équivaudrait à évaluer exactement la série de Dyson...

[coussin]

Je pensais avoir compris qu'on approximait l'opérateur d'évolution au premier ordre i.e. et que c'était le sens de "l'état final est H Psi".
On peut toujours faire cette approximation (qu'elle soit pertinente, c'est une autre histoire...) et ça ne donnera pas des probabilités de l'ordre de 1e9 si c'est fait correctement...

[Une petite question]

L'état final est donc calculé en utilisant la solution de l'eq de Schrödinger avec un hamiltonien dépendant du temps, ce qui donne une série de Dyson

OK effectivement ça me semble vraiment complexe, et sans doute trop long pour ce que je veux en faire ( c'était simplement un calcul annexe que je pensais intéressant physiquement mais qui n'est pas fondamental pour mon rapport, surtout comparé à d'autres choses qui doivent encore être faites en priorité ).



J'espère ne pas vous avoir fait perdre trop de temps à tous.
Je vous remercie tous pour vos remarques, vos réponses, vos corrections, vos recherches, ... et pour le temps passé sur ce problème, en particulier @Antonium !