Bonjour à tous
En theorie de la diffusion, la condition d'unitarité de la matrice S s'écrit.
Il est facile de se convaincre que le fait que éléments diagonaux de
Existe-t-il une signification physique au fait que les éléments non-diagonaux de
Merci d'avance
Bonne question. Cela résulte du fait que cette matrice est définie pour des ensembles d'états orthogonaux formant des bases complètes.
Chaque colonne de la matrice S représente toutes les amplitudes pour des états possibles "out" |b> qui peuvent être obtenus à partir d'un état "in" |a>:
Mais comme c'est seulement une amplitude, pour obtenir une probabilité il faut prendre le carré du module de l'élément. Si on additionne toutes ces probabilités, on doit obtenir 1 (la somme des probabilités de toutes les issues doit donner 1). Cela revient à multiplier le vecteur colonne par la ligne obtenue par transposition et conjugaison complexe.
Mais ceci ne montre que les éléments diagonaux du produit
Si maintenant je reprends la somme ci-dessus avec un état |a'> différent mais orthogonal à |a>, j'obtiens
Cela résulte seulement du fait que les états |b> forment aussi une base et vérifient la relation de complétude.
Si un élément non diagonal n'était pas nul, on n'aurait pas une base complète. Cela se produit par exemple quand on choisit des états cohérents; ils forment une base surcomplète.
Dernière modification par ThM55 ; 08/09/2023 à 17h31.
Merci pour cette réponse.
Une question me vient alors : peut-on définir une matrice S pour des états non orthogonaux ? Et si oui, quid de la condition d'unitarité alors ?
Je ne sais pas. Je ne l'ai jamais vu faire.
J'ai parlé des états cohérents. Ce sont des états propres de l'opérateur d'annihilation de l'oscillateur harmonique qui sont aussi des états propres approximatifs des opérateurs de position et d'impulsion atteignant un minimum de l'incertitude. Glauber les a utilisés pour définir la notion de cohérence en optique quantique. En fait, bien que formant une base surcomplète, mais ils vérifient malgré cela une relation de fermeture (différente). On pourrait donc peut-être les utiliser dans des problèmes de diffusion et définir un matrice S mais je ne connais pas de travaux qui fassent cela.
Cela dit, Google rend des liens sur le sujet "S matrix coherent states". A creuser.
Dernière modification par ThM55 ; 08/09/2023 à 19h03.
Je connais au moins 1 exemple où c'est fait (c'était d'ailleurs la raison de ma question...) : c'est dans le domaine des collisions atomiques à 3 corps.
Soit une collision atome sur molécule diatomique. Si l'énergie de l'atome incident est supérieure à l'énergie de dissociation de la molécule, eh bien on peut justement dissocier cette molécule et avoir un état final avec 3 atomes libres.
Or, les états asymptotiques correspondant à atome+molécule liée et 3 atomes libres sont fondamentalement différents et ne sont certainement pas orthogonaux entre eux...
Pour cette situation, je connais des relations (assez complexes...) exprimant que les éléments diagonaux de
Maintenant, si la relation sur les éléments diagonaux expriment la conservation de l'énergie, c'est normal qu'il y ait une telle relation dans cette situation (qui bien évidemment conserve l'énergie). Également, si la relation sur les éléments non-diagonaux expriment une propriété d'orthogonalité des états asymptotiques comme vous le suggérez, c'est aussi normal que je n'ai pas rencontré de telle relation dans cette situation (où les états asymptotiques ne sont pas orthogonaux).
C'est intéressant en tout cas et merci encore pour votre réponse
Je relance un peu ce sujet
Je pense, et j'aimerais savoir si c'est correct, que la manière la plus générale de dire qu'un processus de diffusion est "unitaire" est de dire que le flux sortant est égal, en valeur absolue, au flux entrant. Cela revient à dire que "tout ce qui rentre, sort".
Le flux dont je parle est le flux de la densité de courant de probabilité
Or, la condition d'unitarité que j'ai énoncé précédemment
Ce qui donne finalement
Ouf !
Je pense donc que la condition sur les flux est la plus générale possible et reste vraie même si les états asymptotiques ne sont pas orthogonaux et/ou complets...
