Démonstration accélération repère frenet

[tauste]

Bonjours,
je souhaite comprendre d’où vient la formule de l'accélération dans le repère de frenet.
Pour rappelle c'est celle-ci:
a =

J'ai donc visionné cette vidéo: https://youtu.be/MFbWnT859aY?si=UiQzYxmgT2seL3HP

J'ai mis un commentaire pour expliquer mon problème (vous pourrez le lire, il y a les indicateurs temps de mes incompréhensions) mais étant donné que la chaine n'est plus actif je doute d'avoir une réponse.

Le problème est que dans la démonstration, il considère que la vitesse angulaire est une constante mais pas la norme de la vitesse. Or si la vitesse angulaire est une constante la norme de la vitesse devrait aussi l’être. Et si la norme de la vitesse est variable, la vitesse angulaire devrait aussi l’être.

J'ai donc l'impression que cette formule ne s'applique qu'à des mouvements dont la vitesse angulaire est constante et donc la norme de la vitesse aussi. En d'autres mots, qu'à des mouvements circulaires uniformes. Dans les autres cas, la formule ne serai pas appropriée.

Merci de m'éclairer.
-----

[coussin]

La formule que vous indiquez est simplement la dérivée d'un produit.
Plus généralement pour le reste de votre message : un vecteur possède une norme et une direction. Un vecteur varie donc si sa norme ou sa direction change. Ou les deux.

[Archi3]

Bonjours,
je souhaite comprendre d’où vient la formule de l'accélération dans le repère de frenet.
Pour rappelle c'est celle-ci:
a = Pièce jointe 485724

J'ai donc visionné cette vidéo: https://youtu.be/MFbWnT859aY?si=UiQzYxmgT2seL3HP

J'ai mis un commentaire pour expliquer mon problème (vous pourrez le lire, il y a les indicateurs temps de mes incompréhensions) mais étant donné que la chaine n'est plus actif je doute d'avoir une réponse.

Le problème est que dans la démonstration, il considère que la vitesse angulaire est une constante mais pas la norme de la vitesse. Or si la vitesse angulaire est une constante la norme de la vitesse devrait aussi l’être. Et si la norme de la vitesse est variable, la vitesse angulaire devrait aussi l’être.

effectivement la video est incorrecte , tu as bien mis le doigt sur une erreur (l'inconvénient d'une vidéo, c'est qu'on ne peut pas discuter de ses erreurs avec elle, ,contrairement aux humains, en tout cas à certains ). Si la vitesse v varie dans un mouvement circulaire, la vitesse angulaire varie et on ne peut pas écrire . En revanche la démonstration peut se faire sans cette hypothèse. Dans la démonstration, on dérive la fonction pour avoir la dérivée des fonctions et . Ca donne le résultat et . On peut poser vitesse angulaire "instantanée" sans avoir à supposer qu'elle est constante (et en général elle ne l'est pas).

La démonstration est aussi particulière parce qu'elle suppose un mouvement circulaire mais là encore ça se généralise en introduisant le "cercle osculateur" le plus proche de la trajectoire et le rayon de courbure = rayon de ce cercle osculateur.

[stefjm]

Bonjour,
Comme les sin et cos sont pénibles, c'est plus cool directement en complexe.

On pose , nombre complexe isomorphe à un vecteur du plan.
x est porté par . (car )
On dérive le produit par rapport au temps (noté point comme les mécaniciens).

Le premier terme est porté par et le second par (Une multiplication par i fait tourné de .)

On dérive encore



On retrouve ainsi tous les termes de l'accélération. (centripète, entrainement, Coriolis)

Il faut juste savoir dériver un produit et une exponentielle complexe.

Si et sont constants, on retrouve bien le résultat de la vidéo.

[A voir en vidéo sur Futura]

[tauste]

Merci ! C'est compris ! J'aurais du y penser au : !
Merci ça fait du bien de comprendre ce point qui me gênait.

[tauste]

Par contre les complexes c'est encore récent pour moi. Je les ai vu en math expert mais j'ai pas tout vu encore. Hâte de pouvoir comprendre cette autre méthode.

[stefjm]

Un point du cercle x trigonométrique est donné par , module et argument .
Cela permet d'éviter les cosinus et sinus, grâce à la relation de Moivre

Il suffit de savoir dériver l'exponentielle complexe :

Ainsi que les dérivées composée :

Tellement pratique!