C'est quoi un mode propre d'un système ?

[Freezy2211]

Bonjour, je fais un sujet de physique (https://www.doc-solus.fr/prepa/sci/a...SIQUE_X_1_2015) et à la question 4, on nous parle de modes propres. J'ai ici un système de deux pendules couples d'angles respectifs θ1 et θ2. J'ai montré que dans l'approximation des petits angles (θ1,θ2) était solution d'un système matriciel du type X'' = A X où les valeurs propres de A sont deux pulsations notées w1,1 et w1,-1. On a alors θ1 et θ2 combinaisons linéaires de fonctions sinusoidales en w1,1 et w1,-1, appelés pulsations propres. Mon prof ne nous a jamais parlé de cela (pas au programme en même temps je suis en mp) et de ce que j'ai compris il s'agirait d'un caractère du système oscillant qui quantifie son spectre de fréquence.
J'ai deux questions :
-> d'abord je me place dans l'approximation des petits angles donc ce n'est qu'en première approximation que mon système évolue de façon sinusoidale mais en fait,
existe-il vraiment des équations qui donnent des mouvements parfaitement sinusoidaux sans excitation ? D'ailleurs, il me semble que les modes propres n'ont de sens que lorsque le système n'est pas excité et donc puisqu'il dissipe son énergie, l'approximation des petits angles va forcément arriver à la fin du mouvement et les fréquences d'oscillation à cet instant sont multiples des pulsations propres. Je me trompe ?
-> J'ai lu aussi qu'un mode propre était une pulsation où tout les points d'un système physique oscillait à la même pulsation. Est-ce bien ça ? Auquel cas, pourquoi les fréquences de ces dits modes propres sont exactement les valeurs propres du système matriciel ?

Merci de vos réponses !
-----

[gts2]

d'abord je me place dans l'approximation des petits angles donc ce n'est qu'en première approximation que mon système évolue de façon sinusoidale mais en fait,
existe-il vraiment des équations qui donnent des mouvements parfaitement sinusoidaux sans excitation ?

Un système masse ressort sans amortissement (ce qui est bien sûr une approximation ...)

D'ailleurs, il me semble que les modes propres n'ont de sens que lorsque le système n'est pas excité et donc puisqu'il dissipe son énergie, l'approximation des petits angles va forcément arriver à la fin du mouvement et les fréquences d'oscillation à cet instant sont multiples des pulsations propres. Je me trompe ?

C'est bien cela. La fin est bien alambiquée : fréquence ou pulsation c'est la même chose à 2 pi près.

J'ai lu aussi qu'un mode propre était une pulsation où tout les points d'un système physique oscillait à la même pulsation. Est-ce bien ça ? Auquel cas, pourquoi les fréquences de ces dits modes propres sont exactement les valeurs propres du système matriciel ?

Là il suffit de traduire "tous les points oscillent à la même pulsation", reporter dans la matrice et conclure.
C'est 1- plutôt les pulsations 2- élevées au carré.

[Freezy2211]

D'accord merci beaucoup désolé pour cette réponse tardive.