Calcul de la résistance électrique théorique " d'un volume donnné"

[THJMK]

Bonjour,
Je souhaiterais être capable de calculer la conductivité d'un objet en ayant connaissance de sa forme (par exemple parallélipipède rectangle 110mm x 20 mm x 50 mm) et les points de mesures ( cercle de rayon de 1mm par exemple) centré sur chaque face de 20mm x 50 mm. Conductivité rho donnée.

Je pense qu'il faut calculer une intégrale, de façon exacte ou par détermination numérique.
Je souhaiterais déterminer la forme de cette intégrale pour la calculer par l'une des deux façons possibles.

Du coup de viens chercher des billes ici...

pour un fil de cuivre j'ai trouvé 57xlongeur en mètres xsurface en mm2par exemple mais ici ce n'est pas un cylindre mais un lingot a base carrée ( éventuellement trapézoïdal pour corser la chose...)

Application :
Calculer la résistance théorique d'un lingot de cuivre de forme donnée.

L'étape suivante etant une mesure en grandeur reelle
( de type "aval" avec ampèremètre et voltmètre placé derrière un amplificateur de gain) pour une estimation du "Rho".

Merci d'avoir pris le temps de m'avoir lu et aussi à ceux qui voudrons bien prendre du temps pour m'orienter dans mes recherches et vers des lectures si possible disponible en telechargement (je ne cherche pas forcément qu on le lâche le travail...) Ou tout simplement m'encourager.

J'ai des anciennes bases de spé qui ne demandent qu'à être stimulées de nouveau

Bonne journée à la communauté !
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[gts2]

Bonjour,

Pour un calcul à la louche, la formule du cylindre peut convenir.
Si vous voulez quelque chose de plus précis, avant de calculer l'intégrale, il faudra résoudre l'équation aux dérivées partielles dans votre lingot.

Sinon, une autre possibilité, placer deux électrodes proches au milieu d'une grande face et utiliser les méthodes type conductivité de terrain.

Ou encore une méthode en quatre points, ce qui rendra la méthode à la louche un peu plus proche de la réalité. cf. www.worldscientific.com

[THJMK]

Bonjour a vous, et merci beaucoup pour votre réponse. J'en profite pour m'excuser au sujet des fautes d'orthographes et coquilles dans mon message initial.

Je trouve intéressant le papier sur la mesure en 4 points je vais lire plus en détail et voir si cela pourrait me convenir au niveau expérimental. Mon but c'est de comparer le rho experimental que j'obtiens sur une éprouvette certifiée et sur des lingots de provenance non certifiée pour voir si les deux rho mesurés son proche ce qui pourrait me donner une indication de la pureté du lingot sans appareil coûteux ( spectrométrie ,etc, auxquels je n'ai pas accès...), le but est de se retrouver à un Rho mesuré sur le lingot non certifié au moins équivalent a 90% du Rho de l'éprouvette certifiée.

Pour revenir à mon problème initial, j'aimerais effectivement du coups suivre la résolution de l'équation aux dérivées partielles dans le lingot
... ce qui correspondrait à la solution "exacte". Peut être y a t il des sujets d'annales de concours traitant de ce thème ou bien des exercices ? TP ? Cours ? De sorte à m'aider a la poser correctement ?

Merci a vous.

[THJMK]

Je ne sais plus si le double post est puni ici. Desolé dans ce cas, mais j'ai relu les instructions avant de poster et ce ne semble pas interdit...

Donc j'ai lu plus en détail la note sur la mesure en 4 points. En fait c'est la même mesure que la mesure de terre. Donc effectivement au niveau de la mesure ça semble être ce que je vais devoir faire.
Il va falloir que je me fabrique un banc de test basé sur ce principe.

Sur l'influence de la taille de la surface a mesure il n'y pas trop de problème pour avoir une approximation bonne, selon le papier. C'est a dire que si la distance de mesure est suffisamment petite par rapport aux dimensions de la surface sur laquelle se fait la mesure en 4 points, et épaisseur donnée, alors les mesures de la resistance seront "comparables".
Cependant c'est au niveau de l'épaisseur que ça va poser problème, parce ce que j'en ai lu ailleurs il va y avoir une importance significative avec des échantillons d'épaisseur differente.
Et comme je cherche une estimation du Rho relatif de l'échantillon a tester par rapport à l échantillon de référence ( d épaisseur différente) mesuré avec une erreur de l'ordre de 1% seulement, de grosses approximation seront limites ...

Du coup mesurer par 4 points effectivement ça semble s'imposer.
Mais aussi réaliser le calcul théorique de la résistance constatée entre les deux points de mesure semble nécessaire pour tenir compte des géométries différentes entre les lingots, et corriger la mesure avec une coefficient correctif théorique de sorte à pouvoir comparer les mesures entre échantillons de géométries différentes.

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Antoane]

Bonjour,

Les éprouvettes on-elles toutes les mêmes dimensions, ou du moins géométries ?

Est-il possible d'avoir un échantillon de référence, et de comparer les résistances mesurées sur celui-ci et sur l'échantillon ?
Une simulation FEM de l'échantillon peut donner une valeur de réssiatnce attendue.

Dans tous les cas, la mesure de résistance & résistivité de faible valeur n'est pas triviale (thermocouples parasites, tensions induites, éventuellement résistances de contact mal gérées).

La résistivité va dépendre des traitements physiques (metcanique, thermique) appliqué au matériau. Le bulk et l'échantillon peuvent alors avoir des réssitaivités différentes -- mais j'ignore dans quel ordre de grandeur.

> Je ne sais plus si le double post est puni ici.
Il ne l'est pas

[Resartus]

Bonjour,
Mathématiquement, le problème à résoudre est une équation de Laplace, c'est à dire trouver pour le potentiel dans le matériau une fonction harmonique (de laplacien nul), avec des conditions aux limites particulières aux frontières (potentiel imposé sur les électrodes*, et flux de courant nul à travers les autres surfaces) . C'est une équation qu'on retrouve dans beaucoup de questions en physique (électromagnétisme, gravitation, equation de la chaleur etc.)
Il existe des logiciels pro qui résolvent cela numériquement par éléments finis, mais très couteux. Je ne sais pas s'il en existe des gratuits.
Mais vous n'avez peut-être pas besoin de tant de précision?
Si votre barreau est plutôt long (comme dans votre exemple), on peut estimer que les équipotentielles seront pratiquement perpendiculaires au barreau sur une grande partie de sa longueur, et un calcul de résistance tranche par tranche donnera une bonne approximation.
Ensuite, le fait que les électrodes de mesure n'occupent qu'une partie de la surface de chaque extrémité va rajouter un excès de résistance par rapport à ce calcul. Pour avoir une idée de cet excès, vous pourriez par exemple mesurer l'effet sur un barreau de composition connue avec la même géométrie (mesurer le delta de résistance entre une électrode sur tout le coté, et votre électrode de surface réduite)

*On suppose que la conductivité de ces électrodes est sensiblement meilleure que celle du matériau mesuré, et en outre que l'interface ne rajoute pas d'effet bizarre (résistance, semi conduction, etc.).

[THJMK]

Bonjour,

Les éprouvettes on-elles toutes les mêmes dimensions, ou du moins géométries ?

La géométrie des éprouvettes n'est pas connue à l'avance. Elles peuvent ressembler à un cube avec trois dimensions de même ordre de grandeur, ou plutot ressembler à une tige de section carrée avec une dimension bien plus grande que les deux autres, ou même ressembler à un plat avec deux dimensions bien supérieures à la trosième.

Est-il possible d'avoir un échantillon de référence, et de comparer les résistances mesurées sur celui-ci et sur l'échantillon ?
Afin d'annuler divers facteur influençant la mesure (par exemple la température qui semble jouer un rôle important dans la conductivité du cuivre, j'ai noté quelque part 0,5% par degrès) le but est de faire systématiquement une mesure sur l'échantillon de référence, et le lingot a tester.
Mais il faudra, compte tenu de ce que je viens dire au dessus, trouver un moyen d'annuler l'influence des géométries différentes qui immanquablement vont se présenter.


Une simulation FEM de l'échantillon peut donner une valeur de réssiatnce attendue.
Le but c'est effectivement de simuler la valeur de la resistance des différentes géométries pour passer de l'une à l'autre par un coefficient correctif théorique calculé préalablement.

Dans tous les cas, la mesure de résistance & résistivité de faible valeur n'est pas triviale (thermocouples parasites, tensions induites, éventuellement résistances de contact mal gérées).
Il faudra effectivement le vérifier et avoir ça a l'esprit

La résistivité va dépendre des traitements physiques (metcanique, thermique) appliqué au matériau. Le bulk et l'échantillon peuvent alors avoir des réssitaivités différentes -- mais j'ignore dans quel ordre de grandeur.
La zone de mesure sera systématiquement polie préalablement pour essayer de diminuer les influences diverses.

> Je ne sais plus si le double post est puni ici.
Il ne l'est pas

bonsoir, merci de votre réponse

en bleu mes réponses à vos interrogations

[THJMK]

Bonjour,
Mathématiquement, le problème à résoudre est une équation de Laplace, c'est à dire trouver pour le potentiel dans le matériau une fonction harmonique (de laplacien nul), avec des conditions aux limites particulières aux frontières (potentiel imposé sur les électrodes*, et flux de courant nul à travers les autres surfaces) . C'est une équation qu'on retrouve dans beaucoup de questions en physique (électromagnétisme, gravitation, equation de la chaleur etc.)
Il existe des logiciels pro qui résolvent cela numériquement par éléments finis, mais très couteux. Je ne sais pas s'il en existe des gratuits.

Je pense qu'il doit exister des ensembles de packages R, Python ou Julia pour réaliser cela, il va falloir que je me penche dessus une fois que j'aurais bien défriché le problème.

Mais vous n'avez peut-être pas besoin de tant de précision?
Je pense que ça va être nécessaire vu les premiers élements. Idéalement je souhaiterais arriver à une erreur la plus faible possible, de l'ordre d'un point de pourcentage...

Si votre barreau est plutôt long (comme dans votre exemple), on peut estimer que les équipotentielles seront pratiquement perpendiculaires au barreau sur une grande partie de sa longueur, et un calcul de résistance tranche par tranche donnera une bonne approximation.
Ensuite, le fait que les électrodes de mesure n'occupent qu'une partie de la surface de chaque extrémité va rajouter un excès de résistance par rapport à ce calcul. Pour avoir une idée de cet excès, vous pourriez par exemple mesurer l'effet sur un barreau de composition connue avec la même géométrie (mesurer le delta de résistance entre une électrode sur tout le coté, et votre électrode de surface réduite)

Les géométries seront différentes de façon quasi systématiques. En tout cas je pense suffisament différentes pour justement faire sortir l'incertitude de la mesure de mon point de pourcentage de tolérance...
*On suppose que la conductivité de ces électrodes est sensiblement meilleure que celle du matériau mesuré, et en outre que l'interface ne rajoute pas d'effet bizarre (résistance, semi conduction, etc.).

Bonsoir, merci de vos questions et réponses. Mes précisions en bleu.

[THJMK]

Bonsoir, dans la ligne de la publication que gts2 m'a conseillé, j'ai trouvé celle là https://four-point-probes.com/smits.pdf , à ce qu'il semblerait cela pourrait me donner de bonne indications pour la mesure de la résistance sur un parallélipipede rectangle, mais j'ai encore un peu de mal à identifier la fonction C(a/d;d/c) dont il est question.
Je poursuis mes recherches.

[THJMK]

Dans cette publication "Technique of Specific Conductivity Measurement of Anisotropic Semiconductor Plates and Films V.V. Filippova,b,∗, S.V. Mitsuka, S.E. Luzyanina and V.P. Tigrova" , il semble qu'il y ai la formule générale de la tension de la méthode des 4 points sur ce qui ressemblerait à un lingot...(mais pour mon usage en la simplifiant, je considérerais le lingot isotrope).
Cependant dans le calcul de la tension souhaité (9) p760 , je n'arrive pas à comprendre comment l'expression (7) p760 de theta(i){k=i;n} s'applique à la formule 9 pour calculer le theta(n) nécessaire à l'évaluation de la formule...
Si des personnes ont l'habitude de cette notation je voudrais bien qu'elle puisse me l'expliquer de sorte à ce que je puisse déterminer les premiers termes de la somme (9)
Screenshot 2023-10-26 00.20.05.png

[Antoane]

Bonjour,

Je n'ai pas étudié en détail, mais ces formules me sembles développées pour des mesures sur feuilles minces, ie. des échantillons fins. Pas pour des échantillons massifs ("bulk").

[gts2]

Bonjour,

Attention dans le lien du message #9, smits.pdf, cela concerne la résistivité de surface d'une tole cette "résistivité" a d'ailleurs comme dimension une résistance.
Les méthode 4 points pour les matériaux que l'on trouve concerne le plus souvent ce cas.

Le lien du message #10 idem (with the ratio value d/s<0,7 ...) sauf que le début concerne bien le cas général d'un parallélipipède.

Sinon et ; signifie \theta(i) quand (i vaut k) ou (i vaut n), autrement dit en plus clair tout simplement avec i variable muette.

[gts2]

Sinon un lien : https://www.sciencedirect.com/scienc...11379723002383