Attracteur théorie du chaos

[Freezy2211]

Bonjour, j'ai regardé quelques vidéos sur la théorie du chaos mais sans plus. Comme je ne m'y connais pas du tout j'ai du mal à faire des recherches sur internet c'est pourquoi je viens ici. J'aimerai bien m'amuser à faire des simulations. Je me pose la question suivante : y a-t-il toujours un "attracteur" ? Sur le long terme, les systèmes étudiés mettent-ils toujours évidence des caractéristiques communes/globales ? Par exemple, si je m'amuse à faire rebondir des balles sur le fond d'une ellipse, est-ce que j'observerai une forme de régularité dans le temps ?
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[oualos]

Il y a un résumé intéressant ici sur ce qui est appelé communément le chaos déterministe
Fait par quelqu'un du CNRS
http://www.bourbaphy.fr/ghys.pdf

[ThM55]

Le texte de Bourbaphy est un excellent résumé. Pour faire des simulations, le plus facile est de commencer par quelques exemples simples de dynamique discrète. Il s'agit d'une simple itération d'une fonction continue f:R->R. Itérer la fonction veut dire calculer successivement f(x), f(f(x)), f(f(f(x))),... pour une valeur donnée x. Une fonction peut avoir un point fixe f(c)=c. Mais on peut aussi avoir des points périodiques tels que avec k > 1. On a des théorèmes très remarquables sur ces périodes, comme le théorème de Sarkowsky (https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%..._de_Charkovski).

Une fonction qui a été beaucoup étudiée est la fonction "logistique" définie par f(x) = r.x(1-x) où r est un paramètres (c'est donc une famille de fonctions). Si on étudie leur période quand r varie de 0 à 4, on voit apparaître à diverses valeurs de plus en plus rapprochées de r un doublement de la période, pour rapidement (entre 3.5 et 3.75) arriver à un comportement chaotique.

Les ensembles de Mandelbrot et de Julia sont aussi issus de la dynamique discrète par itération, mais dans le plan complexe.

Autre idée de simulation, tout à fait différente, que j'avais dû traiter dans un cours: dans un plan rapporté à des axes (x,y) on considère deux plans inclinés. Leur équation est par exemple y = a |x| (avec a > 0). On a un champ de gravitation vertical et on fait rebondir une balle (sans perte) au dessus du plan incliné depuis une certaine hauteur. L'énergie de la balle est conservée. La trajectoire est chaotique mais on peut observer des attracteurs comme suit: a chaque contact avec le plan incliné, on enregistre deux composantes de la vitesse: u et v , où u est la composante parallèle à la pente du plan incliné et v la composante perpendiculaire. On marque un point dans le plan (u,v) à chaque rebond. On peut recommencer pour plusieurs valeurs de la pente et plusieurs valeurs de l'énergie. On observe dans certains cas des bandes chaotiques séparées par des courbes parfaitement régulières.

L'intérêt de ces questions n'est pas purement mathématique. Il y a des applications à l'étude de système physiques, chimiques ou des systèmes complexes pouvant présenter des comportements critiques tels que de la turbulence, des transitions de phase, des changements brusques de régime, ou bien de la synchronisation, etc.

Il y a une section sur le sujet dans Arxiv ( https://arxiv.org/list/nlin.CD/current ) qui est certes moins active que l'astrophysique ou la physique quantique, mais qui est toujours régulièrement alimentée. Le focus a changé depuis les débuts, par exemple depuis quelque temps on voit apparaître des recherches en lien avec l'apprentissage machine, ou bien le chaos dans les réseaux de neurones.

[oualos]

Je n'ai pas le niveau pour comprendre les mathématiques -surtout qu'elles sont assez ardues- mais il semble qu'au moins un ou plusieurs modèles mathématiques existent, ce qui rassure un peu quelque part.
J'ai été surtout intéressé par la partie thématique -courte- avec ces 2 points:

1° Les questions d'attracteurs clivent en quelque sorte physique et mathématique, dans les sens où ce qui est physique n'a pas une description évidente en terme de lois mathématiques.
2° Cela est confirmé -mais l'auteur malheureusement passe rapidement par le fait- que l'on peut décrire l'attracteur par une équation différentielle avec les conditions initiales adéquates de façon à obtenir 2 attracteurs expérimentalement.
Si ces conditions initiales ne sont pas adéquates, on n'aura pas 2 attracteurs. Mais si on change les coefficients des dérivés successives dans l'équation différentielle qui sert de modèle, on aura généralement tout de même 2 attracteurs.
Ce qui en soi parait stupéfiant car les conditions initiales sont LE facteur déterminant de l'apparition de 2 attracteurs au détriment de l'équation différentielle censée décrire la loi
Et dont on peut changer les coefficients sans modifier l'expérience qui les met en évidence.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Bonjour,

Pourriez-vous préciser à quoi vous faites allusion : si c'est le lien du message #2, un numéro de page par ex. serait bienvenu.

Parce que pour le 2°) le principe même d'un attracteur est qu'il ne dépend pas des conditions initiales (enfin si le domaine de celles-ci détermine l'attracteur atteint).

[oualos]

Le pdf porte sur 2 attracteurs pas un seul mais il envisage aussi celui où un attracteur se forme lors de conditions initiales particulières que rien ne laisse prévoir: la question centrale tourne autour des conditions initiales en disant que l'on sait peut de choses sur certains attracteurs notamment en météorologie comme prévoir des ouragans, quand et où...
La phrase typique citée par l'auteur c'est que le battement d'ailes d'un papillon à Tokyo peut provoquer un ouragan au Texas.
Son texte ne porte pas sur un attracteur en général mais sur la formation d'un attracteur imprévisible car du à des conditions particulières.
Et aussi le cas de 2 attracteurs et les difficultés de le formaliser d'où une très longue partie sur les mathématiques pour conceptualiser ça et arriver à trouver un modèle.
Mais c'est au-dessus de mon niveau et j'aurais du mal à vous expliquer.
sinon si c'est pour parler d'une bille dans une surface convexe qui roule et finit forcément par s'arrêter au potentiel minimum bof...

[Sethy]

Je dirais en guise de préambule que je vais me limiter au cas où il n'y a pas de biffurcation possible, ce qui implique qu'un état du système ne peut amener qu'à un et un seul autre état du système.

A partir de là, il faut séparer deux types d'attracteurs. Les attracteurs normaux, tels que ceux rencontrés dans les modèles proies-prédateurs où on partir de n'importe quel point de l'attracteur et on va boucler la trajectoire. Voir par exemple ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...Lotka-Volterra et en particulier, le second graphique.

Si les équations sont plus complexes, on peut aboutir à des attracteurs étranges (ou anormaux) qui eux aussi respectent la non-biffurcation mais qui ne bouclent pas et qui de ce fait ne se croisent, ni ne repassent jamais deux fois au même point (sous-entendu, dans l'espace des phases). J'ai découvert il y a peu que c'était des fractals et ces attracteurs présentent (ou peuvent présenter ?) le fameux effet papillon, c'est à dire qu'une infime modification des conditions initiales impliquera (toujours ?) un effet cataclysmique à moyen ou long terme.

Un exemple est l'attracteur de Lorenz : https://fr.wikipedia.org/wiki/Attracteur_de_Lorenz

Dans la page wiki en anglais : https://en.wikipedia.org/wiki/Lorenz_system on peut voir dans la partie "Sensitive dependence on the initial condition" l'effet que j'évoquais. Au départ, les lignes jaune et bleue sont confondues et après un moment, les comportement dérivent completement.

une vidéo ici : https://youtu.be/aAJkLh76QnM?si=Oh2MEon_fR9fEw_M&t=193

[pachacamac]

Dans le texte de Ghys cité en #2, Il écrit en préambule : "Conformément à l’esprit de ce séminaire, ce texte n’est pas destiné aux mathématiciens."

Mon œil

Pour une très belle, simple, et assez complète introduction à la théorie du chaos avec des exemples d'attracteurs et d’expériences il y a le remarquable livre de James Gleick : La théorie du chaos

[Freezy2211]

Merci beaucoup pour vos réponses.

[bdemo42]

Bonjour
personnellement, je n'ai pas trop apprécié le livre de Gleick je lui ai préféré celui de Ruelle "Hasard et chaos" et celui plus technique de KATHLEEN T ALLIGOOD "An introduction to dynamical systems" et bien sur celui de mes anciens professeurs Pommeau et Vidal " L'ordre dans le chaos"

[oualos]

Ah flute ! Sur les conseils ici j'ai commandé le livre de Gleick
Mais je pense qu'il doit valoir le coup néanmoins et il a été réactualisé depuis sa version initiale je pense datant des années 60

[pachacamac]

Je pense que tu regretteras pas ton achat. Si ce livre de vulgarisation est moins technique que d'autres, il a l'avantage d'aborder aussi le contexte et des anecdotes autours des principaux protagonistes responsables de l'essor de la théorie. (à la manière de son autre best-seller "Le génial professeur Feynman" )

Aussi concernant les attracteurs, est ce que à tous les processus chaotiques correspond un attracteur ?

[oualos]

Aussi concernant les attracteurs, est ce que à tous les processus chaotiques correspond un attracteur ?

si c'est une question que tu me ou nous poses, à mon avis, non: à moins de trouver une modélisation mathématique qui réponde à ta question.
Et là ça va être vachement compliqué vu la partie mathématique assez ardue donnée dans le pdf ci-dessus que j'ai cité.
comme le dit l'auteur les mathématiques des attracteurs qui se forment dans un chaos dépendent fondamentalement de la condition initiale et là, c'est un point de clivage entre physique et maths.
La physique l'observe ce phénomène à maintes occasions -en dehors des ouragans- mais le modèle mathématique général, je crois qu'il n'est pas encore trouvé!

de toute façon pour répondre à ta question si on considère un gaz enfermé dans un récipient, le seul à être capable de former un attracteur pourrait être joué par le démon de Maxwell.
ou alors dans un laps de temps vraiment très très court. Le hasard... Je vois mal dans le chaos brownien des molécules comment un attracteur pourrait se former!
Un mélange liquide de plusieurs composants et soudain sans rien faire, ni rajouter un composant ou changer la pression la température un de ces composants remonterait et se retrouverait à la surface du fluide ? Quoiqu'en thermodynamique il y a des phénomènes étranges aussi

[pachacamac]

C'est effectivement une question que je vous pose.
D'après ce que j 'ai lu , la réponse me semble plutôt oui, et les modélisations mathématiques la dessus ce n'est pas ce qui manquent (mais je souhaiterais confirmation ou infirmation)


" Cette théorie ( la théorie du chaos) affirme que, même si des événements sont divergents, au final et statistiquement, ils s'accumulent sur un noyau de trajectoires nommé attracteur.

La solution de tels systèmes est attirée par un attracteur étrange géométriquement très complexe (objet fractal) et l’évolution de la solution vers cet attracteur a un comportement erratique imprévisible. De plus, elle est très sensible aux conditions initiales : d’infimes modifications de ces dernières provoque une évolution très différente de la solution vers l’attracteur. On dit que le comportement de la solution est chaotique ou que le système engendre le chaos.

L'attracteur étrange sert à « élucider les mécanismes fondamentaux de la turbulence, les réactions chimiques, les prévisions météorologiques, la génétique des populations bactériennes ».


source et compléments : http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Chaos/Chaos.htm

Le terme « attracteur étrange » a été forgé par David Ruelle et Floris Takens (en) pour catégoriser les attracteurs créés à la suite de bifurcations d'un système décrivant l'écoulement d'un fluide (wikipedia) .

[oualos]

Lorenz cherchait à modéliser donc à prévoir des phénomènes météorologiques.
Du coup est née cette théorie du chaos. Et l'attracteur est un objet fractal mais sa théorisation reste complexe.

Une figure fractale, ou « fractale », est en première approximation une courbe, une surface, un volume de forme irrégulière ou morcelée qui se crée en suivant des règles déterministes ou stochastiques impliquant une homothétie interne.

[pachacamac]

Les objets fractals c'est plutôt facile à voir ce que c'est et même à les construire. Ils sont aussi couramment utilisé en images de synthèse

Une très très belle animation sur les objets fractals avec grossissement (zoom) infini=> https://www.josleys.com/index.php

Les processus chaotiques doivent être étudiés un par un...chacun presentant ses particularités

Par contre ma question est plutôt simple (mais faut bien connaitre ) pour pouvoir répondre par oui ou par non :

Est ce que d'après la définition d'un processus chaotique, à chaque processus correspond un attracteur ?

[Sethy]

Est ce que d'après la définition d'un processus chaotique, à chaque processus correspond un attracteur ?

Pour moi, la réponse est non. La meilleure preuve, c'est justement qu'il existe des biffurcations ... ce qui exclu donc l'attracteur (en tout cas le classique). Maintenant est-ce que toutes les biffurcations peuvent donner lieu à un attracteur étrange ... l'attracteur étrange réuni certaine propriétés.

Une très belle page sur le sujet qui est subdivisé en 3 parties :
Les 40 premiers pourcents très chimiques
Les 40 pourcents suivants très thermodynamique "Un peu de thermodynamique" (mais super intéressant)
Et enfin les 20 dernier pourcents consacrés aux "Systèmes dans un état éloigné de l'équilibre" et qui s'atterdent sur les biffurcations.

Lien : https://www.faidherbe.org/site/cours/dupuis/joupord.htm

[pachacamac]

Merci.

Dans un premier temps la relation entre le chaos et la réaction de Belousov-Sabotinsky ne semble pas évidente. En effet celle ci correspond à une oscillation régulière dans le temps entre deux etats. La mise en evidence des trains d'ondes chimiques semble intuitivement s'en approcher..

Mais G. Dupuis écrit aussi (sans détailler ) :
Des expériences menées en 1977 par Schmitz et Hudson ont permis de mettre en évidence l'apparition du chaos dans la réaction BZ. La réaction BZ a ainsi permis de tester certains aspects de la théorie des systèmes dynamiques

Après une petite recherche sur ces travaux j'ai trouvé ceci ici :

Experimental results obtained with the Belousov–Zhabotinskii reaction in a continuous stirred reactor are analyzed in order to distinguish between periodic and chaotic behavior. Power spectra and stereoscopic three‐dimensional state space trajectories are presented for both periodic oscillations and for chaos. A next amplitude map is constructed for the chaotic case and from it a Liapunov characteristic exponent of +0.62 is calculated.

On a pas accès au texte entier, mais ce coefficient de Liapunov est la signature d'une structure fractale.

et là on peut lire dans l'abstract (donc sans les détails) qu'ils parlent d'un attracteur pour cette réaction

a propos de

La meilleure preuve, c'est justement qu'il existe des bifurcations ... ce qui exclu donc l'attracteur

Heuu.. ce que j'ai cru comprendre a propos des bifurcations, en tout cas de celles qui montrent des doublements de période caractérisés par les nombres de Feigenbaum (comme dans le cas de la suite logistique pour certaines valeurs ou l' apparition de la turbulence en convection de Rayleight -Bebard c'est que ces bifurcations étaient une première phase avant l’apparition du régime chaotique ..

[pachacamac]

Petits suppléments de lecture :

Bifurcation Theory of Chaotic and Quasiperiodic Systems

Bifurcation theory has intensively investigated varied topics that bear on chaotic and quasiperiodic dynamics. Much of this theory has been developed in the context of discrete time dynamical systems defined by iteration of mappings. The bifurcation theory described above has analogous results for this setting. In some areas, bifurcation theory of discrete systems goes farther than that for continuous time systems. In particular, an extensive, deep theory describing the properties of iterations of one dimensional mappings was developed over the last quarter of the twentieth century. This theory characterizes universal sequences of bifurcations and the existence of chaotic attractors. Some of this theory carries over to the setting of invertible mappings in higher dimensions and to continuous time dynamical systems via Poincar\'e maps. There are also results that are specific to continuous time systems, especially those that apply to homoclinic orbits of equilibrium points. Early results in this area include the theory of the Lorenz Attractor and Silnikov's analysis of systems with a homoclinic orbit of a saddle-focus in three dimensional systems. Methods originating in KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser) theory describe how quasiperiodic invariant sets arise naturally in families of vector fields. Sophisticated numerical methods have been developed based upon this theory to compute invariant tori with (quasi)periodic motion in families of vector fields.

source : http://www.scholarpedia.org/article/Bifurcation

More complex regimes such chaotic (Schmitz et al., 1977) oscillations have been found when the BZ reaction was run in CSTR. Later various modes of complex periodic and chaotic BZ oscillations have been studied. The CSTR allows fine tuning of parameters of a chemical oscillator that makes it possible to trace bifurcation sequences, which connect such regimes (Epstein and Pojman, 1998).

source :http://www.scholarpedia.org/article/...insky_reaction

[bdemo42]

la turbulence en convection de Rayleight -Bebard est présentée et exploitée dans le livre de Ruelle " "Hasard et chaos"

[pachacamac]

Dans le livre de Gleick, la realisation de l'experience à l'ENS qui a mis en évidence l'apparition des premiers rouleaux de convection est présenté avec beaucoup de détails (plus sur le contexte que sur la technique bien que celle ci soit abordée (de manière simple) ).

Sinon j''ai continué quelques recherches sur :The Belousov–Zhabotinskii reaction in a continuous stirred reactor

J'y ai trouvé ici un schéma de l'attracteur sous certaines conditions

Although various routes to chaos have been found for the BZ
reaction, period-doubling and intermittency were frequent phenomena found in this simulation....

[pachacamac]

deux petites images en plus issues de cet article

[oualos]

Tu voudrais pas si ça te dérange pas mettre juste 2 ou 3 mots d'explication sur ces schémas ?
J'ai acheté le livre de Gleick mais j'ai à peine commencé. Quant au pdf il faut déjà connaître la terminologie donc avoir lu plein de trucs avant
en gros faire de la vulgarisation...

[pachacamac]

C'est pas que je veux pas, c'est plutôt que j'en suis incapable.

J'ai été bien content en suivant la piste de la réaction de Belousov- Zabotinsky ( dont je connaissais deja l'existence après avoir lu le livre de Prigogine sur les systèmes dissipatifs ) d 'arriver jusqu à la "Bifurcation Theory of Chaotic and Quasiperiodic Systems" dans ce .pdf et j'y ai vu pour la première fois ces attracteurs qui sont liés à la réaction de BZ réalisé dans certaines conditions ( dans un "continuous stirred reactor" )

Après si je suis un peu familier du vocabulaire de base de la théorie du chaos et de ces grandes lignes dés que c'est abordé d'un point de vue trop technique ou mathématiques comme dans ce .pdf j'y comprend plus grand chose.

En plus dans ces textes anglais il y a certains nombre de mots techniques dont je connais pas le sens et j'ai la flemme de rechercher le traduction

[pachacamac]

Aussi au niveau vulgarisation, tu peux trouver sur cette page web la recette pour faire apparaitre simplement sur un beau graphique les dédoublements de période de la fonction logistique et de trouver une des constantes de Feygenbaum( faut juste savoir un peu programmer.)

et sur cette autre page quelques liens sur les fractales et l'ensemble de Mandelbrot

[Sethy]

Tu voudrais pas si ça te dérange pas mettre juste 2 ou 3 mots d'explication sur ces schémas ?
J'ai acheté le livre de Gleick mais j'ai à peine commencé. Quant au pdf il faut déjà connaître la terminologie donc avoir lu plein de trucs avant
en gros faire de la vulgarisation...

Pour moi, ces graphiques sont des illustrations du comportement du système dans l'espace des phases. Est-ce que tu comprends le sens du 2nd graphique de cette page wiki ?
https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...Lotka-Volterra

J'ai linké aussi deux autres pages. Si là tu as des questions, je peux essayer d'aider.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Attracteur_de_Lorenz
https://www.faidherbe.org/site/cours/dupuis/joupord.htm

[oualos]

En effet lorsque les paramètres σ, ρ et β prennent les valeurs suivantes : σ = 10, ρ = 28 et β = 8/3, le système dynamique différentiel de Lorenz présente un attracteur étrange en forme d'ailes de papillon, représenté sur la figure ci-contre.

Pour presque toutes les conditions initiales (différentes de celles des points fixes), l'orbite du système s'approche rapidement de l'attracteur, la trajectoire commençant par s'enrouler sur une aile, puis sautant d'une aile à l'autre pour commencer à s'enrouler sur l'autre aile, et ainsi de suite, de façon apparemment erratique.

tiré de la page https://fr.wikipedia.org/wiki/Attracteur_de_Lorenz
Donc il y a une et une seule forme du système différentiel qui donne un attracteur étrange

Ils ont l'air de dire que ça se passe quelle que soit la condition initiale, ce qui me laisse perplexe.
J'avais cru comprendre que c'était la condition initiale (une et une seule) qui déterminait l'apparition d'un attracteur et que peu importait les coefficients du système différentiel.
Là ils ont l'air de dire que c'est le contraire en fait. Donc je suis un peu perdu.

[Sethy]

tiré de la page https://fr.wikipedia.org/wiki/Attracteur_de_Lorenz
Donc il y a une et une seule forme du système différentiel qui donne un attracteur étrange

Ils ont l'air de dire que ça se passe quelle que soit la condition initiale, ce qui me laisse perplexe.
J'avais cru comprendre que c'était la condition initiale (une et une seule) qui déterminait l'apparition d'un attracteur et que peu importait les coefficients du système différentiel.
Là ils ont l'air de dire que c'est le contraire en fait. Donc je suis un peu perdu.

Pour moi, c'est la page wiki qui a raison. Tu as un système à coefficients. Dans certains cas, le système évolue de manière classique mais pour un certain jeu de paramètres, il peut donner lieu à un attracteur étrange.

Et dans ce cas, quelques soient les conditions initiales, le système s'approche "très vite" de l'attracteur (d'où son nom). Par contre, quelles que soient les conditions initiales la forme finale sera a peu près la même, mais jamais la même. Pire encore, jamais les différents branches ne se croiseront sauf si bien sûr, les conditions initiales sont "justement" dans le futur d'autres conditions initiales (sur la même trajectoire car alors bien sûr, c'est le même système qui est pris à un moment différent).

C'est comme ici, dans le cas des réactions de Benhard-Raleigh où il faut que les conditions soient respectées pour avoir la biffurcation - mais - à chaque nouvelle itération les cellules apparaitront à un autre endroit (mais les figures finales auront un air de famille).

https://www.youtube.com/watch?v=gSTNxS96fRg

[pachacamac]

la forme finale sera a peu près la même, mais jamais la même.

C'est pour ça qu'on aura jamais deux fois strictement les mêmes conditions météorologiques sur toutes la planète.

[Sethy]

C'est comme dans le modèle plus simple de proie-prédateur.

Pour obtenir un attracteur (même normal dans ce cas-ci), il faut (par exemple) 100 couples de lièvres pour 3 couples de renards. Là tu auras un attracteur car si tu fais varier la population de lièvres de 100 à 99 ou de 100 à 102, globalement les systèmes vont se ressembler et tu repasseras par le système 99/3 ou 102 lièvre /3 renards dans le futur. Une fois que tu es sur ta courbe, tu n'en sors plus et tu reviens donc au même point tôt ou tard.

Par contre, si tu imagines de renards mutants qui devraient manger 1 lièvre par année (là je joue sur les paramètres, pas sur les conditions initiales), c'est évident que la population de lièvre (si elle la nourriture et l'espace infini) va se multiplier à l'infini. Même exemple si les renards mutants ont des supers-pouvoirs et détectent les lièvres à coup sûr et qu'ils doivent en plus en manger 20 par jours. Là aussi, je modifie les paramètres et on voit très bien qu'en 3 jours, il n'y a plus un seul lièvre et que quelques semaines plus tard, il n'y a plus un seul renard. Dans ces deux exemples, il n'y a pas d'attracteurs alors que dans le premier, il y a en avait un.

Conseil : maitrise bien les attracteurs normaux avant de t'attaquer aux attracteurs étranges ...