Bonjour,
Je suis en train d'essayer de comprendre l'équation de Dirac.
Il est dit que le problème est que l'équation de l'énergie est du second ordre comme ceci :
et non pas du premier ordre et qu'il faut utiliser une écriture avec des matrices pour l'écrire au premier ordre.
Or si j'écris ceci :
avecmasse relativiste j'obtiens une équation du premier ordre sans matrices.
Je ne comprends pas pourquoi on ne peut pas se servir de cette expression plutôt que d'utiliser des matrices.
Salut,
Bon, tout d'abord, il est tout à fait possible d'écrire une équation sans matrice. C'est l'équation de Klein-Gordon : https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...e_Klein-Gordon
La formulation avec gamma que tu donnes, il faudrait peut-être essayer (en remplaçant vitesse par impulsion d'abord). Mais il y a quand même un point important.
L'équation que tu donnes n'est pas la seule, tu as aussi E = - .... (la même expression)
Dans l'expression de départ le signe de E peut être aussi bien positif que négatif et ne plus l'avoir ensuite c'est sélectionner un signe arbitrairement, sans motif.
C'est vrai qu'en physique classique on ne se gêne pas, on prend E=mc² au repos par exemple et pas E = -mc². Et ça marche très bien (car les solutions sont totalement découplées).
Malheureusement en MQ il y a des surprises. La résolution de l'équation montre que les états quantiques d'énergie positive et négative sont couplés. Pour un électron seul on a un continuum d'énergies possibles (ou quantifié, s'il y a un potentiel) de +mc² à l'infini, et de -mc² à -l'infini. Donc avec un "gap" de 2mc². Mais l'électron peut parfaitement sauter cette barrière par effet tunnel (en émettant un photon). Ou si suffisamment d'énergie est fournie (collisions). On ne peut plus ignorer ces états d'énergie négative.
Je présume qu'en prenant ta formule et l'autre avec le signe -, en remplaçant la vitesse par l'opérateur impulsion, puis par ces bon vieux gradients et dérivées temporelles, puis après pas mal de jonglerie, on retombe sur l'équation de KG (je n'ai pas vérifié, mais ça me parait évident puisque cette formule se déduit de la générale, ce n'est que la même chose dans l'autre sens). Mais même si ça marche, bon, mieux vaut une équation simple (KG) que deux équations alambiquées
Ces états d'énergie négative sont ennuyant puisque cela donne un atome instable (plus d'état d'énergie minimale) ou des paradoxes (comme le joli https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Klein )
C'est pour cette raison que Dirac a essayé de trouver une formulation différente, du premier ordre avec des matrices (pour retrouver KG, c'est inévitable).
En fait, c'était une bonne idée mais pour une mauvaise raison :
- d'une part ce problème d'énergie négative subsiste avec l'équation de Dirac
- d'autre part, l'équation de KG ne marche pas bien car le spin de l'électron n'est pas négligeable (mais l'équation de KG décrit bien des mésons par exemple, c'est des bosons scalaires)
Et on sait qu'en faisant cette opération le spin s'est manifesté spontanément (on sait facilement généraliser d'ailleurs à des spins plus élevés).
On connait la suite : la mer de Dirac, un truc bizarre pour éviter les "mauvais états", et qui ne marche pas avec KG (la mer de Dirac ne "marche" que pour des fermions). Mais qui a permis quelques réflexions fructueuses.
Puis le passage à la théorie des champs (c'est con comme la Lune, enfin, au début en tout cas, Psi n'est plus une fonction d'onde mais un champ classique et on le quantifie. Pour des champs libres c'est assez simple, avec quelques "détails" techniques comme l'utilisation d'une métrique indéfinie dans le cas des particules de masse nulle comme pour le champ EM, c'est avec les interactions que les difficultés apparaissent). Et l'utilisation de la symétrie CPT pour faire disparaitre ces "méchants états" et les remplacer par de l'antimatière.
D'un point de vue "pédagogique", je conseille de potasser d'abord KG. C'est plus simple. Dirac n'est que l'étape suivante (assez facile quand on connait bien KG).
Dernière modification par Deedee81 ; 04/12/2023 à 08h21.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Oui, il y a peut-être confusion...
En partant de
C'est en partant de) Mais on a en fin de compte des dérivées spatiales et temporelles d'ordre 1 ce qui était recherché.
Votre expression de départ
J'ai vu ça autrement. On pose une relation du premier ordre et on élève au carré. Mais je suppose que ça revient au-mêmeEnvoyé par coussin
C'est en partant de
Par contre ce que tu expliques montre plus explicitement ce que j'avais supposé plus haut (on retrouve KG ou Dirac). Avec juste des complications de calcul.
Merci
Ce que je proposerais bien à TricTrac (mais pas une obligation, c'est quand même pas mal de chipo) est d'essayer.
- prendre l'expression qu'il donne
- remplacer v par p
- remplacer par les opérateurs habituels pour l'énergie et l'impulsion
- combiner les deux équations et montrer qu'on retrouve KG
Ca peut être instructif.
Dernière modification par Deedee81 ; 04/12/2023 à 08h59.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Le truc de Dirac avec les matrices c'est pour éviter de devoir remplacer p dans
Mais la meilleure manière d'aborder cette question est d'étudier les représentations spinorielles du groupe de Lorentz. Toutes les équations (Dirac, KG, Rarita-Schwinger, Einstein linéarisée,...) en découlent de manière immédiate. J'entends déjà des voix qui disent que je suis élitiste
Dernière modification par ThM55 ; 04/12/2023 à 11h17. Motif: Typos
Holà oui, je n'avais pas pensé à la racine carrée. Merci Thm55.
Pour la fin, j'ai vu l'inverse. On développe Dirac et après on vérifie l'invariance de Lorentz (ce qui n'est pas tout à fait trivial !)
Par contre, je ne dirai pas que c'est élitiste car passer par les représentations est souvent très utile (c'est le cas avec l'étude de SU(2) et SU(3) (*), qui sont d'ailleurs lié au groupe de Lorentz via SL(2, C) et SO(1,3).
(*) lorsque j'ai potassé la théorie quantique des champs, à un moment donné j'ai fait une "pause" mathématique pour potasser ces groupes et leurs représentations. C'est extrêmement fécond.
Ceci dit, si on aborde juste Dirac c'est à mon avis une grosse artillerie, on peut faire plus simple.
"Il ne suffit pas d'être persécuté pour être Galilée, encore faut-il avoir raison." (Gould)
Dirac recherchera alors une autre équation relativiste du premier ordre en temps et en espace. Il commencera par essayer d'établir une relation de dispersion du type :
or cette formule :entre l'énergie, la masse et l'impulsion. Il réussira et, après quantification canonique, obtiendra finalement une équation qui porte aujourd'hui son nom, l'équation de Dirac, et qui décrit très bien les fermions de spin un-demi comme l'électron. Le cadre pertinent pour interpréter cette équation quantique relativiste sans difficultés est encore celui de la théorie quantique des champs.
https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89...che_na%C3%AFve
correspond bien à la formule recherchée par Dirac.
De plus, cette expression, si on écrit la quantité de mouvement sous forme d'un vecteur, n'est rien d'autre qu'un quaternion, et les spineurs en 3 dimensions sont équivalents aux quaternions. (https://en.wikipedia.org/wiki/Spinor#Three_dimensions)
Il semble donc l'équation de l'énergie s'écrive naturellement sous la forme d'un quaternion.
Ce n'est pas tout de trouver une équation pour l'énergie. Il faut ensuite en faire une équation du mouvement via les règles usuelles de canonisation.
Si vous le faites à partir de votre équation, vous aurez des termes faisant intervenir
C'est ce qu'évite l'équation de Dirac.
Bref, si la solution était juste d'ajouter et retrancher
Dernière modification par coussin ; 09/12/2023 à 14h46.
Il est possible que cela ait déjà été fait par LanczosCe n'est pas tout de trouver une équation pour l'énergie. Il faut ensuite en faire une équation du mouvement via les règles usuelles de canonisation.
Si vous le faites à partir de votre équation, vous aurez des termes faisant intervenir
C'est ce qu'évite l'équation de Dirac.
Bref, si la solution était juste d'ajouter et retrancher
Lanczos était avec Einstein à Berlin, travaillant avec le grand homme à qui, en 1919, il dédia sa thèse : une théorie des champs quaternioniques de l'électrodynamique classique [40]. Seulement un an après que Dirac eut découvert son équation d’onde relativiste pour l’électron, Lanczos publia une série d’articles sur l’équation de Dirac [41,42]. Il a montré comment dériver l’équation de Dirac à partir d’un système plus fondamental. Il prédit que les particules de spin ½ devraient se présenter par paires, ainsi que la forme correcte de l'équation d'onde des particules massives de spin 1 qui serait redécouverte par Proca en 1936. Il prévoyait la possibilité d'une théorie non linéaire et l'origine de la masse exactement de le genre qui sera développé près de trente ans plus tard. En 1933, dans sa nouvelle dérivation [43], le nombre de solutions double, de quatre dans la théorie de Dirac (deux pour le spin et deux pour la particule/antiparticule) passe à huit, une caractéristique que nous pouvons aujourd'hui interpréter comme isospin. . Le partenaire isospin du proton, le neutron, a été découvert en 1932. Personne n’a jamais pensé à utiliser le doublement de Lanczos pour expliquer l’existence des particules isospins. Son article, plus de quatre-vingts ans plus tard, contient encore un certain nombre d’idées qui restent à l’avant-garde de la théorie fondamentale.
Malheureusement, les quaternions n'étaient pas populaires et les articles de Lanczo étaient ignorés par la grande majorité de ses contemporains. Lanczos lui-même a abandonné les quaternions et n'est jamais revenu à la théorie des champs quaternioniques pour le reste de sa vie. Il ne fit brièvement référence à ses articles quaternion de 1929 qu'à deux reprises [44]. Plus de quatre-vingts ans plus tard, ses articles contiennent des idées qui restent à l’avant-garde de la théorie fondamentale. Toute la série d’articles de Lanczos constitue une discussion remarquable sur les problèmes fondamentaux de la matière, des champs et de l’origine de la masse, dont la plupart sont encore d’actualité aujourd’hui. Le premier problème d’interprétation physique vient du fait que l’équation de Lanczos est beaucoup plus générale que celle de Dirac. Le problème avec le système fondamental de Lanczos (dont l'équation de Dirac peut être dérivée comme cas particulier) est qu'il permet des solutions de spin 12 (comme l'électron), ainsi que des solutions de spin 0, 1 et 32. Lanczos, comme n'importe qui à à l’époque, ignorait totalement l’abondance des particules élémentaires. Il semble que Lanczos n'était pas non plus conscient de l'idée selon laquelle la covariance par rapport à l'inversion spatiale devait également être incluse afin d'obtenir une invariance relativiste totale.
https://www.mdpi.com/2073-8994/15/9/1672
Je n'ai aucun avis sur cette "quaternionic quantum mechanics" dont il est question dans ce lien mais ce qui est sûr c'est que l'utilisation de l'algèbre des quaternions en Relativité ne date pas d'hier. Ça découle presque naturellement du fait que l'on est en 4D avec des signatures (+,-,-,-).
Voici une vidéo récente, très bien faite, sur l'origine de l'équation de Dirac en tant que "racine carrée de Klein-Gordon" : https://youtu.be/CbYFanAGsSM?si=J6a6YuwNGz3cbC88Oui, il y a peut-être confusion...
En partant de
C'est en partant de
Votre expression de départ
