Système quantique à deux niveaux

[Jon83]

Bonjour à tous!
On considère un système à deux niveaux dont l'observable hamiltonien s'écrit : Opérateur (H)=E0|1><1|+sqrt(2)E0|1><2|+s qrt(2)E0|2><1| où |1> et |2> sont deux vecteurs orthonormés qui forment une base et E0 une constante réelle positive.
A l'instant initial, le système se trouve dans l'état |1>.
1) écrire la matrice de l'observable hamiltonien dans la base {|1> ; |2>} .
j'ai trouvé ?
(nb: ma matrice n'est pas belle car je ne maîtrise pas encore le Latex...)
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[coussin]

Oui, ça me semble correct

[Jon83]

Merci pour ta réponse!
2) Chercher les valeurs propres et les vecteur propres de l'observable hamiltonien dans la base {|1> ; |2>}
j'ai trouvé:
-pour les valeurs propres l1=-Eo et l2=2E0
-pour les vecteur propres v1=(1;0) pour l1 et v2=(0,1) pour l2

3) C'est là où je commence à bloquer: réécrire les vecteurs |1> et |2> dans la base {|E1>; |E2>} ?

[coussin]

Les valeurs propres sont correctes, pas les vecteurs propres.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jon83]

Oui, effectivement, je me suis embrouillé avec mes données.
Je trouve v1=(-sqrt(2)E0/2;1) pour l1 et v2=(sqrt(2)E0,1) pour l2

[coussin]

Oui ça me semble correct (je n'ai pas vérifié...)
Pour votre question 3), j'imagine que |E1> et |E2> sont justement les états diagonalisés ?
Vous avez donc |E1> et |E2> dans la base |1>, |2> (ce sont ces vecteurs propres) et on vous demande l'inverse c'est à dire |1> et |2> dans la base |E1>, |E2>. C'est un système de 2 équations, 2 inconnus à résoudre. Ou alors prendre l'inverse d'une matrice 2x2 (la matrice des vecteurs propres).

[Jon83]

Bonjour!
J'ai trouvé: 1/3 {[-sqrt(2)/E0 ; 2] [[sqrt(2)/E0 ; 1] ?
(désolé, je ne retrouve plus les codes latex ...)

[gts2]

Bonjour,

Remarque de physicien béotien : ce n'est pas homogène ?

[Jon83]

Merci pour ta réponse, mais je ne la comprends pas ?

[gts2]

Dans, par ex., , la première coordonnée est une énergie, la deuxième sans dimension (cohérent)
Cela serait plutôt ?

[Jon83]

Dans ce cas, dès le départ (Hier, 14h08), la matrice de l'observable serait fausse ?

[gts2]

Non la matrice est correcte, il est normal qu'une matrice d'hamitonien ait comme dimension une énergie. Vous voyez d'ailleurs que E0 se met en facteur, donc E0 ne doit pas apparaitre dans les vecteurs propres.

[Jon83]

Si je mets E0 en facteur, la matrice d'hamiltonien devient {[1 ; sqrt(2)]; [sqrt(2) ; 0]}: c'est ça ?
Les vecteurs propres sont donc l1=0 et l1=1 : c'est bon ?
nb: peux tu me rappeler comment écrire une matrice en latex ?

[Jon83]

je me suis trompé: c'est l1=2 et l2=-1
Ce qui donne v1=(sqrt(2),1) et v2=(-1/sqrt(2), 1) : c'est bon ?

[gts2]

La matrice est obtenu par E_0\left(\begin{matrix}1&\sqrt {2}\\\sqrt{2}&0\end{matrix}\ri ght) mis entre balises [TEX] (avant dernier bouton (totalement blanc !) de la troisième ligne de boutons de l'éditeur)
La mise en facteur était juste là pour faire remarquer que E0 ne devait pas intervenir dans les vecteurs propres.
Le vecteur propre associé à 2E0 est

[Jon83]

En résumé:
la valeur propre l1=2 est associée au vecteur propre v1=(sqrt(2),1);
la valeur propre l2=-1 est associé au vecteur propre v2=(-1/sqrt(2), 1)
la matrice à inverser est donc
C'est correct ?

[gts2]

Cela me parait correct.

[coussin]

Bonjour!
J'ai trouvé: 1/3 {[-sqrt(2)/E0 ; 2] [[sqrt(2)/E0 ; 1] ?
(désolé, je ne retrouve plus les codes latex ...)

Ça me semble correct mais sans les E0 donc

[Jon83]

Cela me parait correct.

Merci pour ta réponse!
Voici ce que je trouve pour la matrice inverse:

4 ) En sachant qu'à l'instant initial le système se trouve dans l'état |1>, calculer le vecteur d'état |psi(t)> dans la base {|E1> ; |E2>} pour t=0, et calculer ensuite la probabilité de trouver le système dans un état |1> après un temps t ?
Là je sèche ...

[coussin]

Oui... Savez-vous écrire l'expression pour ?
Si je vous dit , est-ce que c'est du charabia ?

[Jon83]

Oui... Savez-vous écrire l'expression pour ?
Si je vous dit , est-ce que c'est du charabia ?

Non, ce n'est pas du charabia: c'est ce que je recherchais dans mes cours ...

[coussin]

Très bien.
On vous demande de travailler dans la base (E1,E2). Il vous faut H dans cette base, vous l'avez. Ayant H dans cette base, vous pouvez calculer .
Il vous faut , on vous le donne. On vous dit que c'est |1>. Mais il faut l'exprimer dans la base (E1,E2). Vous l'avez fait, c'était une question précédente.
Vous multipliez les 2, ça vous donne . À ce point, vous avez donc une expression du type .
Mais vous êtes dans la base (E1,E2) et on vous demande la probabilité d'être dans |1>...
Un dernier changement de base vous donnera .
Finalement, la probabilité d'être dand |1> que l'on vous demande est .

C'est calculatoire mais pas de difficultés particulières.

[coussin]

Ce n'est que histoire de ne pas s'emmêler les pinceaux entre exprimer |E1> et |E2> dans la base |1>, |2> et exprimer |1> et |2> dans la base |E1>, |E2>

[Jon83]

Merci pour ta réponse; ça me paraît bien compliqué pour une simple question de QCM dont voici le contenu exact que je n'ai peut être pas bien compris?

[gts2]

Si c'est un QCM c'est autre chose, il faut éliminer les cas improbables.
Vous pouvez aussi vérifier la valeur pour t=0.

[coussin]

Oui, c'est la 1ère réponse qui est correcte si je ne me suis pas planté.
Il y a un "truc" : cette proba doit en effet osciller en 3 E0 t/hbar et seule la première réponse vaut 1 en t=0.

[Jon83]

Si c'est un QCM c'est autre chose, il faut éliminer les cas improbables.
Vous pouvez aussi vérifier la valeur pour t=0.

J'ai essayé de suivre les suggestions . Mais là, je suis largué ...
Comment vérifier la valeur pour t=0?

[Jon83]

Oui, c'est la 1ère réponse qui est correcte si je ne me suis pas planté.
Il y a un "truc" : cette proba doit en effet osciller en 3 E0 t/hbar et seule la première réponse vaut 1 en t=0.

Comment savoir à priori pour un béotien que cette proba doit osciller en 3E0.t/hbar ?

[coussin]

Un béotien ne pourra pas le savoir. Je ne pense pas que ce QCM s'adresse à un béotien, si ?

[Jon83]

Un béotien ne pourra pas le savoir. Je ne pense pas que ce QCM s'adresse à un béotien, si ?

Effectivement, béotien n'est pas le bon terme au sens propre : je dirais débutant de 1ère année de Licence qui à suivi environ 6h de cours de physique quantique