mouvement Brownien et resultante des forces

[legyptien]

Bonjour,

Pourquoi la résultante des forces sur un "gros" atome (par de petit atome : eau par exemple) n est pas nul ? La raison de ce mouvement brownien est l agitation thermique des atomes d'eau. Si on parle de bruit blanc et gaussien en electronique (du a l'agitation thermique des electrons) la MOYENNE de ce bruit blanc est nulle (meme si la puissance ne l est pas). Donc je m attendrais a ce que la resultante de la force soit nulle. J'ai deux hypotheses mais ne les lisez pas la suite avant de donner votre reponse svp (je ne veux influencer personne):















1) on fait pas la moyenne sur un temps assez long donc il y a ce biais, ce n est donc pas uen vraie moyenne
2) Ca a peut etre rapport avec le phenomene de diffusion qui se produit dans le mouvement brownien mais pas dans le cas du bruit blanc et gaussien (peut etre)
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[gts2]

Bonjour,

La résultante des forces est bien nulle en moyenne, mais cela n'empêche pas la force instantanée d'être non nulle.

[Deedee81]

Salut,

La résultante des forces est bien nulle en moyenne, mais cela n'empêche pas la force instantanée d'être non nulle.

D'où le mouvement erratique d'ailleurs. Et certains simulations assez sympa qui montre qu'en cas de moyenne nulle on a un mouvement qui s'écarte de la position initiale avec une distance variant en racine de t si ma mémoire st bonne.

(par de petit atome : eau par exemple)

L'eau n'est pas un atome Mais je suppose que tu t'es juste mal exprimé.

1) on fait pas la moyenne sur un temps assez long donc il y a ce biais, ce n est donc pas uen vraie moyenne

C'est qui "on". "on" fait ses moyennes comme il veut. Mais ton (1) exprime en fait (très mal) ce que gts2 a dit.

2) Ca a peut etre rapport avec le phenomene de diffusion qui se produit dans le mouvement brownien mais pas dans le cas du bruit blanc et gaussien (peut etre)

C'est pas clair ça. Tu peux démontrer que si la probabilité des chocs est un bruit blanc gaussien il n'y a pas de diffusion ? J'en doute fortement.

[legyptien]

Bonjour,

La résultante des forces est bien nulle en moyenne, mais cela n'empêche pas la force instantanée d'être non nulle.

Ca depend de quelle moyenne on parle, c est de ma faute j aurais du preciser. Soit on fait une moyenne temporelle. Soit on considere la moyenne INSTANTANEE se faisant sur toutes les forces produites par les (petites) molecules d'eau sur la (grosse) molecule qu'on verse dans l'eau

[A voir en vidéo sur Futura]

[legyptien]

C'est qui "on". "on" fait ses moyennes comme il veut. Mais ton (1) exprime en fait (très mal) ce que gts2 a dit.



C'est pas clair ça. Tu peux démontrer que si la probabilité des chocs est un bruit blanc gaussien il n'y a pas de diffusion ? J'en doute fortement.

Je me suis essayer sur des hypotheses mais c'est pas comparable. Dans le cas du mouvement Brownien (MB), c'est une moyenne intantannee sur le nombre de molecules d eau qui viennent perturber la trajectoire de la molecule d'un collorant par exemple. Et dans le cas d'un bruit blanc et gaussien c est une moyenne temporelle.
Je pense tout de meme avoir un argument pour la gausianarite dans le cas du MB. En c'est la somme des effets de plein de petites molecules sur une grosse molecule donc en invoquant le theoreme centrale limite on peut dire que qu on est en presence d une Guassienne non ?

[gts2]

Soit on considère la moyenne INSTANTANEE se faisant sur toutes les forces produites par les (petites) molécules d'eau sur la (grosse) molécule qu'on verse dans l'eau.

Les molécules d'eau autour de la particule ont une répartition aléatoire, en moyenne (temporelle ou d'ensemble) la résultant des forces est nulle, mais à un instant donné, le côté aléatoire de la distribution des molécules (par exemple les fluctuations de densité) est tel que la résultante est non nul.

[MissJenny]

Ca depend de quelle moyenne on parle, c est de ma faute j aurais du preciser. Soit on fait une moyenne temporelle. Soit on considere la moyenne INSTANTANEE se faisant sur toutes les forces produites par les (petites) molecules d'eau sur la (grosse) molecule qu'on verse dans l'eau

si tu imagines une succession de chocs entre molécules, à un instant donné il n'y a pas de choc donc pas de force, pour "presque tous" les instants selon l'expression consacrée des probabilistes. C'est comme pour la pluie, on ne peut pas mesurer l'intensité "instantanée" de la pluie parce qu'à un instant donné aucune goutte d'eau ne touche le sol, il faut nécessairement l'intégrer sur une durée, courte si l'on veut mais non nulle.

[ThM55]

Bonjour. La réponse classique (due à Louis Bachelier et à Albert Einstein) est que la moyenne du déplacement de la particule est bien nulle, mais que la moyenne quadratique ne l'est pas: elle est proportionnelle à t. Einstein est allé un peu plus loin que Bachelier, il a relié le coefficient de proportionalité à la taille des atomes et au nombre d'Avogadro. J'aurais dû dire beaucoup plus loin que Bachelier car son apport n'est pas seulement mathématique, il a aussi ouvert une fenêtre essentielle sur le monde microscopique des atomes.

[legyptien]

Les molécules d'eau autour de la particule ont une répartition aléatoire, en moyenne (temporelle ou d'ensemble) la résultant des forces est nulle, mais à un instant donné, le côté aléatoire de la distribution des molécules (par exemple les fluctuations de densité) est tel que la résultante est non nul.

je sais pas si je bute sur quelque chose d evident mais si a tout moment je regarde la resultante des forces, de par le nombre elever de molecules d eau, on doit avoir une resultante nulle ? Si on lance une piece 4 fois, je m attends pas a trouver 2 piles et 2 faces. Mais si je le lance un million de fois je vais etre tres proche de 50%. Le fait qu on ait autant de molecules d eau percutant la grosse molecule (Brown avait fait ca avec du pollen), fait que la resultante des forces est nul peu importe le moment ou je fais l'observation.

Je viens de relire ton message et j ai compris ce que tu as voulu dire. Mais la distribution des molecules d eau est "statistiquement homongene" non ?

[legyptien]

si tu imagines une succession de chocs entre molécules, à un instant donné il n'y a pas de choc donc pas de force, pour "presque tous" les instants selon l'expression consacrée des probabilistes. C'est comme pour la pluie, on ne peut pas mesurer l'intensité "instantanée" de la pluie parce qu'à un instant donné aucune goutte d'eau ne touche le sol, il faut nécessairement l'intégrer sur une durée, courte si l'on veut mais non nulle.

rien compris. Tu as une grosse molecule de pollen qui se fait percuter a tout instant par plein de petites molecules d eau. Bien sur qu il y a une force et une resultante (instantanee)

[legyptien]

Bonjour. La réponse classique (due à Louis Bachelier et à Albert Einstein) est que la moyenne du déplacement de la particule est bien nulle, mais que la moyenne quadratique ne l'est pas: elle est proportionnelle à t. Einstein est allé un peu plus loin que Bachelier, il a relié le coefficient de proportionalité à la taille des atomes et au nombre d'Avogadro. J'aurais dû dire beaucoup plus loin que Bachelier car son apport n'est pas seulement mathématique, il a aussi ouvert une fenêtre essentielle sur le monde microscopique des atomes.

- Il manque un morceau de phrase.
- Pourrais tu preciser de quelle moyenne tu parles ? Est ce que par moyenne quadratique tu entends la moyenne des carres ou le carree de moyennes ? J'ai l impression que tu me parles de l ecart type c est a dire la moyenne de l ecart a la moyenne sachant que cet ecart a la moyenne est pris au carre

[ThM55]

C'est la moyenne des carrés des déplacements. Une approche classique est de considérer comme modèle un ensemble d'un très grand nombre de systèmes constitués du fameux grain de pollen de Brown et de l'eau dans lequel il est plongé. A l'instant 0 chaque système est supposé avoir son grain de pollen exactement au même endroit x=0. Mais à part cela, les autres variables du système (positions et vitesses des molécules) sont aléatoires et suivent une loi de probabilité contenant un facteur de Maxwell-Boltzman. Si le système est ergodique on peut passer aux moyennes temporelles.

A un instant ultérieur , si l'intervalle de temps est suffisamment petit, chaque grain de pollen aura subi une seule collision de la part d'une molécule. Tous les grains de pollen auront donc des positions différentes. Si on fait la moyenne de ces positions, on obtiendra bien sûr zéro, le gaz (ou le liquide) étant supposé isotrope et homogène. Mais si on fait la moyenne de leur carré (du carré de la distance), on obtiendra quelque chose qui n'est pas nul et est proportionnel à . Le résultat de l'analyse de Bachelier (dans un tout autre contexte, l'analyse des cours de la bourse comme processus aléatoire) et Einstein est que cette moyenne est proportionnelle au temps même pour des valeurs finies selon une loi qui fait intervenir la dimension de l'espace (si mes souvenirs sont exacts, Einstein avait fait son analyse en dimension 1) et un coefficient de diffusion, qu'Einstein a relié à des données mesurables macroscopiquement comme la température et à des données sur les atomes, proposant des mesures permettant de mettre indirectement en évidence l'existence des atomes et des molécules. C'est Perrin qui a mené le travail expérimental sur cette base et a donné toutes les preuves de l'existence des atomes en 1908. On a tendance à l'oublier, mais des philosophes positivistes très influents à l'époque, comme Ernst Mach, considéraient que parler d'atomes n'était pas scientifique et relevait de la pure spéculation. Ils pensaient que postuler des êtres qu'on ne peut pas directement mesurer était hors de la science. C'est peut-être un facteur qui a pu aggraver la profonde dépression de Boltzmann.

[legyptien]

C'est la moyenne des carrés des déplacements. Une approche classique est de considérer comme modèle un ensemble d'un très grand nombre de systèmes constitués du fameux grain de pollen de Brown et de l'eau dans lequel il est plongé. A l'instant 0 chaque système est supposé avoir son grain de pollen exactement au même endroit x=0. Mais à part cela, les autres variables du système (positions et vitesses des molécules) sont aléatoires et suivent une loi de probabilité contenant un facteur de Maxwell-Boltzman. Si le système est ergodique on peut passer aux moyennes temporelles.

Ok je vois cette histoire d'ergodicite j ai fait ca il y a longtemps en traitement du signal. Parcontre est ce qu on peut partir du bon pied stp en considerant le systeme comme UN grain de pollen et plein de molecules d eau. Parce qu au final ce qui m interesse c est le mouvement DU grain de pollen en presence d une multitude de collision INSTANTANEE par les molecules d eau. Et on etudie la resultante des forces instantannee sur LE grain de pollen. On est pas obliger d invoquer l ergodicite d apres moi. Il doit y avoir une raison intuitive qui explique que la somme des forces n est pas nul. On m a parler de densite de molecules (gts2)

Tu fais pas les memes moyennes que moi....

[gts2]

Mais la distribution des molécules d'eau est "statistiquement homogène" non ?

Oui, tout est dans le "statistiquement" : à un instant donné pour une particule donnée, la distribution des molécules n'est pas homogène.
Elle le devient si on considère plusieurs particules à un instant donné, ou une particule que l'on suit sur un certain temps.

[ThM55]

Ok je vois cette histoire d'ergodicite j ai fait ca il y a longtemps en traitement du signal. Parcontre est ce qu on peut partir du bon pied stp en considerant le systeme comme UN grain de pollen et plein de molecules d eau. Parce qu au final ce qui m interesse c est le mouvement DU grain de pollen en presence d une multitude de collision INSTANTANEE par les molecules d eau. Et on etudie la resultante des forces instantannee sur LE grain de pollen. On est pas obliger d invoquer l ergodicite d apres moi. Il doit y avoir une raison intuitive qui explique que la somme des forces n est pas nul. On m a parler de densite de molecules (gts2)

Tu fais pas les memes moyennes que moi....

Tes remarques me font croire que tu n'as pas compris ce que j'ai écrit.

La résultante des forces est nulle en moyenne. Mais le mouvement brownien est le résultat observable des fluctuations autour de cette moyenne nulle. Les molécules sont des objets discrets, le fluide n'est pas un milieu continu. C'est la raison pour laquelle il y a des fluctuations. Si on ignore les fluctuations, on se condamne à ne strictement rien comprendre d'essentiel en physique statistique. Par exemple tout ce qui est susceptibilité ou dissipation est intimement lié aux fluctuations.

Quand j'ai parlé du modèle, j'ai bien dit, je crois, que je considère un seul grain de pollen dans un fluide. C'est dans le but de définir les moyennes et moments des distributions statistiques que j'ai parlé d'un ensemble. On imagine un ensemble comme un très grand nombre de systèmes macroscopiquement identiques mais indépendant les uns des autres. C'est un modèle, qui permet de définir une moyenne et des moments. Ces systèmes n'ont d'ailleurs pas de raison d'être considérés comme simultanés. Ils peuvent l'être, comme ils peuvent être considérés à des instants différents, c'est vraiment sans importance. Une introduction à la physique statistique ne te ferait pas de tort en vue de comprendre ce que j'écris.

Je n'ai mentionné l'ergodicité que pour dire qu'on peut remplacer les moyennes spatiales par des moyennes temporelles et vice versa. Ce n'est absolument pas essentiel et on peut d'ailleurs se passer de cette hypothèse.

[ThM55]

On peut aussi penser à ce qui se passe quand on réduit l'intervalle de temps considéré. Si on est à 1 seconde, vraisemblablement le nombre de collisions avec le grain de pollen est gigantesque. Si on le réduit à 1 microseconde, logiquement, il y a moins de collisions. Si on le réduit encore, il doit y avoir une valeur tellement petite que durant cette durée il n'y aura en moyenne qu'une seule molécule frappant le grain de pollen. Pendant cette durée, la résultante des forces n'est donc pas nulle et le grain de pollen se déplace. Etant donné que c'est statistique, sur d'autres copies du système, le nombre de collisions sera de zéro, ou deux. Sur un nombre plus petit, peut-être trois ou quatre. Mais dans l'intervalle de temps qui suit, la collision se fera avec un certain angle et si on considère cela sur de nombreux intervalles de temps, on approchera de la moyenne mais il y aura une certaine probabilité de déplacement.

Google m'a renseigné un petit article très clair qui explique bien les idées d'Einstein: http://materiel-physique.ens-lyon.fr...1/06341123.PDF

[MissJenny]

rien compris. Tu as une grosse molecule de pollen qui se fait percuter a tout instant par plein de petites molecules d eau. Bien sur qu il y a une force et une resultante (instantanee)

disons que dans un modèle simpliste où les chocs sont instantanés, alors pour presque tous les instants il n'y a pas de choc. Mais je suppose que dans la vraie vie un choc n'est pas instantané et qu'à un instant donné il peut y avoir plusieurs chocs en cours.

[ThM55]

"A un instant donné" est une tournure de phrase sans signification dans ce contexte. Un instant précis est de mesure nulle. On doit toujours considérer des intervalles car on parle de probabilités puisque le mouvement détaillé et précis des molécules n'est pas connu dans le problème. Et si on réduit la largeur de l'intervalle, on réduit la probabilité de 1, 2, 3, ... N collisions.

[stefjm]

"A un instant donné" est une tournure de phrase sans signification dans ce contexte. Un instant précis est de mesure nulle. On doit toujours considérer des intervalles car on parle de probabilités puisque le mouvement détaillé et précis des molécules n'est pas connu dans le problème. Et si on réduit la largeur de l'intervalle, on réduit la probabilité de 1, 2, 3, ... N collisions.

Si on voulait parler d'un instant donné, il faudrait mettre le poids de la mesure dans la distribution qui décrit le phénomène.
Je ne sais pas si cela se fait...

[curiossss]

Imaginons qu'à un instant t toutes les n forces ayant agit sur cette molécule se compensent donnant une résultante nulle. A l'instant t' se produit l'impact suivant n+1 : hop voilà : on est dans le cas où la résultante de toutes les forces à l'instant t' n'est pas nulle.

Donc inutile de raisonner en termes de moyennes, on voit là que la molécule obligatoirement devra bouger par rapport à sa position initiale.