Calcul d'intégrales

[Billy 1816]

Bonjour, je me demande comment calculer des intégrales sur des "contours", "chemins", "courbes" ou "parcours" (je ne sais pas si ces mots désignent la bonne notion) comme dans le cas suivant tiré de ce cours :



Comment justifier cette égalité ?
Merci
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[gts2]

Bonjour,

Dans votre cas, comme vous avez une énergie potentielle, l'intégrale ne dépend pas du "contour", "chemin", "courbe" ou "parcours", donc le problème ne se pose pas vraiment.

Si vous parlez de la deuxième égalité, la dérivée de 1/r est -1/r² ...

Pour la première vous devez avoir un travail élémentaire du type en supposant M et M' position des deux charges et O une origine et de même pour dW(M) en permutant M et M'.
Le travail total est donc en posant r=MM', on voit donc que la direction du déplacement (le parcours) n'intervient pas (mais parce qu'on est dans le cas particulier d'une force dérivant d'un potentiel)

[Resartus]

Bonjour,
Quand on a des forces "qui dérivent d'un potentiel", c'est à dire qu'elles sont le gradient de ce potentiel, l'intégration sur un parcours quelconque du produit scalaire de cette force par le parcours (ds) donne simplement la différence entre l'énergie potentielle à l"arrivée et celle au départ. On dit aussi que de telles forces sont "conservatives"
La force électrostatique subie par une particule est le produit de la charge par le champ électrique créé par les autres charges, qui est le gradient du potentiel électrostatique, on est bien dans ce cas
Ici il y a une seule autre charge : la force électrostatique est centrale et le produit scalaire F.ds (vectoriel) donne simplement le produit usuel F.dr

NB: Les forces de pesanteur sont également conservatives, mais le frottement ne l'est pas. L'énergie perdue dans un frottement dépendra du parcours...

[Billy 1816]

Merci pour vos réponses, je parlais de la deuxième égalité et en effet le problème ne se pose pas vraiment une fois que l'on admet le fait que la force est conservative.
Mais l'extrait de cours que j'ai mentionné semble justement s'attacher à la démonstration de ce résultat.
J'ai fait quelques recherches et cela m'a mené a la notion d'intégrale curviligne, mais je ne vois pas trop comment cela pourrait etre utile pour justifier la deuxième égalité. Quelqu'un aurait il une piste ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Le problème réside dans la première égalité : comment une intégrale en (vecteur, donc dépendant du "parcours" par l'intermédiaire de la direction de ) se transforme en une intégrale en dr (scalaire ne dépendant pas du parcours).
La deuxième égalité c'est ne pose aucun problème.

C'est dans la première égalité non explicité que s'effectue le passage de l'intégrale curviligne à l'intégrale simple

[gts2]

La même chose mais présenté "proprement" mathématiquement parlant : math.univ-toulouse.fr page 71

[Billy 1816]

Merci beaucoup !