Vecteur dans un espace de Hilbert : Dirac ou von Neumann ?

[Christian Arnaud]

Amis de la quantique, bonjour

Jusqu’à peu je pensais que le préambule de la quantique :
“un état quantique se représente comme un vecteur dans un espace de Hilbert”
provenait de Dirac avec ses bra-kets et sa fonction delta, mais en tombant sur un documentaire concernant John von Neumann, :”https://www.youtube.com/watch?v=c9pL_3tTW2c”, j’ai un gros doute puisque von Neumann a publié en 1932 “Les fondements de la mécanique quantique” dans lequel, justement, il axiomatise la MQ naissante grâce aux espaces de Hilbert et aux opérateurs linéaires hermitiens pour les observables et montre aussi que les approches de Schrödinger et Heisenberg sont équivalentes sur le plan mathématique.

D’où deux questions :
1) Qui , de Dirac ou von Neumann a introduit la proposition de vecteur dans un espace de Hilbert ?
2) Si c’est von Neumann , pourquoi est-il si peu cité dans les narratifs de la MQ, alors que Dirac l’est à presque toutes les pages ?

Merci de vos réponses
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[La Limule]

regarde l'article sur Von Neumann sur wikipedia
https://fr.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann
Regarde ce qu'il savait faire a 6 ans....

[Christian Arnaud]

regarde l'article sur Von Neumann sur wikipedia
https://fr.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann
Regarde ce qu'il savait faire a 6 ans....

merci, mais je sais tout ça, j'ai regardé plusieurs vidéos Et ça ne répond pas à mes questions , mais merci pour l'intention

[La Limule]

Hilbert a étudié des espaces vectoriels avec les propriétés bien connues actuellement
Et Von Neumann a été le prmier a les appeler espaces de Hilbert.

https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

Et Dirac c'est seulement (enfin, sur ce point évidemment) les notations (bien pratiques), publié en 1939.
Et la fonction delta c'est juste une distribution (on dit aussi fonction généralisée, mais l'abus de langage sur juste "fonction" est ultracourant) à la base utilisée pour la normalisation des fonctions d'onde. Donc ce n'est en soi pas directement lié aux espaces de Hilbert. Elle intervient juste de manière très pratique pour le produit scalaire.

Cette progression historique est assez classique et se rencontre dans toutes les théories : naissance de la théorie - approfondissement et structure mathématique de la théorie, éventuellement intervention de mathématiciens pour justifier certains "raccourcis" ou hypothèses des théoriciens - intervention de la physique mathématique pour mise en forme, simplification, approches pédagogiques....
C'est pas toujours aussi tranché et il peut y avoir de nombreux acteurs intervenant parfois dans plusieurs de ces étapes, mais il y a toujours cette progression.

Quand on étudie les théories, on est bien content de tout ce travail préparatoire de nos prédécesseurs Etudier Maxwell sans le passage de Heaviside ou la RG sans Cartan, ce serait pfffff un peu pénible.

Curieusement on trouve énormément de livres sur l'histoire des sciences. Mais cela concerne surtout les découvertes, les étapes théoriques, les expériences, les applications.... On met rarement l'accent sur cette progression sur fond de physique mathématique. La question méritait d'être posée.

Pour l'autre question, le 2, Dirac étant l'auteur des notations moderne il est forcément souvent cité. De même pour les fondateurs : Heisenberg, Schrödinger. Mais en effet le travail de von Neumann ayant été plus approfondi et comme étape intermédiaire de cette progression "technique" il est moins cité. C'est un peu injuste mais bon, l'usage pédagogique actuel n'est ni une reconnaissance apportée aux anciens ni un cours d'histoire (sauf à suivre un cours d'histoire ). Mais c'est souvent ainsi : combien utilisent les notations différentielles en mécanique sans savoir que c'est de Leibnitz (et peut-être même les attribuent à tort à Newton, ceci dit on rencontre encore ses notations aussi, je les ai utilisé en mécanique rationnelle à la fac)

[La Limule]

Les bra kets sont pratiques pour noter les produits scalaires.
Mais les ket bra sont plus utiles. Je ne dit pas interéssant les forumeurs.

[Deedee81]

Mais les ket bra sont plus utiles

Tu veux dire les projecteurs ? Utiles oui. Mais pourquoi "plus utiles" ??? (en tout cas dans n'importe quel bouquin, on rencontre plus de produits scalaires que de projecteurs).

[ThM55]

Dirac a supposé qu'on pouvait transposer ce qu'on fait en algèbre linéaire de dimension finie à des espaces de dimension infinie sans trop se poser de question.

Evidemment si on fait cela sans trop réfléchir on se plante: développer un vecteur dans une base infinie, c'est écrire une série, il faut s'assurer qu'elle converge. C'est justement ce que permet le choix d'un espace de Hilbert. De même un opérateur qui est non borné, comme c'est le cas pour la plupart des opérateurs de la mécanique quantique, sont non continus et définis seulement sur un domaine dense dans l'espace de Hilbert, ce qui peut conduire à des incohérence si on n'y prête pas attention. Il y aussi des soucis quand on étudie les valeurs propres et les spectres. En le lisant, j'ai l'impression que Dirac était assez clairvoyant, il savait que tout n'était pas complètement justifié mathématiquement et savait éviter les pièges. Von Neumann a résolu presque tous ces problèmes et a montré qu'on pouvait réaliser le rêve de Dirac de manière mathématiquement correcte. On en parle très peu dans les cours de mécanique quantique car les démonstrations sont un peu techniques; elles font un appel crucial à l'intégrale de Lebesgue qui n'est pas enseignée au lycée et la représentation spectrale des opérateurs exige certaines notions de théorie de la mesure. Surtout, c'est vu par la plupart des physiciens comme quelque chose d'un peu superflu. La mécanique quantique sert surtout pour ses applications classiques: spectres des atomes, physique statistique, liaison chimique, théorie des collisions, noyaux, solides, interactions avec le rayonnement... Allonger l'exposé par un préliminaire de 100 pages de théorèmes serait une assez mauvaise idée. Landau et Lifchitz dans l'avant-propos de leur cours de QM écrivent:

Contrairement au schéma d'exposition usuel partant de théorèmes mathématiques sur les opérateurs linéaires, nous déduisons les exigences mathématiques imposées aux opérateurs et aux fonctions propres en partant de la position physique de la question. Force est de remarquer que dans maints cours de mécanique quantique l'exposé s'est notablement compliqué en comparaison des ouvrages originaux. Bien qu'une telle complication soit habituellement motivée par la généralité et la rigueur, un examen attentif montre que l'une et l'autre sont en réalité illusoires à tel point qu'une bonne partie de ces théorèmes "rigoureux" est fausse.

Je pense que cet extrait montre bien la position de beaucoup de physiciens et il devient clair que la raison pour laquelle on parle peu de Von Neumann dans ce domaine, c'est justement cela : on n'enseigne pas ses découvertes aux physiciens, sauf à une frange qui se consacre à une discipline aux contours flous appelée "physique mathématique".

[Christian Arnaud]

Et Von Neumann a été le prmier a les appeler espaces de Hilbert.

https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space

Ah, effectivement, c'est un indice en faveur de von Neumann ; cependant, comme von Neumann a commencé ses travaux en 1926, reste encore la possibilité que Dirac en ait eu connaissance assez tôt ?

[ThM55]

Avant de publier son livre, Von Neumann a travaillé sur la mécanique quantique à Götingen dès 1926 avec David Hilbert et Lothar Nordheim. Il avait publié de 1927 à 1930 quelques articles, notamment sur les fonctions d'opérateurs, que Dirac a peut-être pu lire. Dirac consacre un paragraphe aux fonctions d'opérateurs dans son traité de MQ. Rappelons aussi que Dirac a introduit sa notation "bra" et "ket" beaucoup plus tard, vers la fin des années 1930. Le "bra" est un élément du dual qui existe grâce au théorème de représentation de Riesz-Fréchet, et Von Neumann le décrit de manière rigoureuse. Dirac ne fait que postuler son existence.

Il faut comprendre une chose avec les maths: les mathématiciens ont une éthique qui remonte à Euclide. Ils veulent réduire tout au plus petit ensemble d'axiomes suffisants et indépendants et tout doit se déduire de ces axiomes. Mais si on ne se plie pas à cette éthique, on peut prendre l'un des théorèmes que d'autres ont démontré comme axiome supplémentaire. Comme il a été démontré, on sait qu'il n'en résultera pas de contradiction mais cela a l'avantage de simplifier beaucoup l'expoisé.

Von Neumann est le premier à avoir analysé dans son traité, de manière détaillée, la question de la mesure quantique. Là aussi, le terme "interprétation de Copenhague" n'a été créé que dans les années 1950 par Heisenberg, mais en fait il s'agit d'une reformulation du texte de Von Neumann.

Je n'ai pas de preuve, mais il me semble évident que Dirac était parfaitement au courant du texte de Von Neumann, qui était d'ailleurs très connu à l'époque. Schrödinger le citait, pour tenter de le réfuter. Von Neumann est resté très influent par la suite. David Bohm raconte d'ailleurs que Von Neumann, contrairement à Heisenberg et Pauli, n'avait pas rejeté son interprétation, il ne lui a fait aucune objection.

Sur Von Neumann, je recommande cette excellent biographie que j'ai lue l'été dernier: "John Von Neumann, l'homme qui venait du futur", par Ananyo Bhattacharya, en français aux édition Quanto ( https://www.amazon.fr/John-Neumann-l...ps%2C85&sr=8-1 )

[stefjm]

Ou comment merder avec un théorème faux...

De plus, on cite encore, parfois, le théorème de von Neumann qui tentait de démontrer
l'impossibilité d'introduire des variables cachées tout en conservant les prédictions de la
mécanique quantique. Pour ce qui est de l'intérêt de ce théorème, Bell en a fait une analyse
détaillée ({B}, chapitres 1, 4 et 17), dont la conclusion est exprimée en termes peu charitables:
"La preuve de von Neumann, si vous la regardez vraiment, elle tombe en morceaux entre vos
mains. Ce n'est pas simplement faux, c'est idiot!" {Be3} La violence du propos doit être située
dans le contexte: comment se fait-il que cet argument, dans lequel il n'y a effectivement rien, ait
été pris au sérieux par tant de physiciens et de philosophes, pendant tellement longtemps, même
après qu'il ait été réfuté en détail? C'est une question intéressante pour les historiens et les
sociologues des sciences {Pi}.

https://cortecs.org/wp-content/uploa..._quantique.pdf
Page 21

[Deedee81]

Je connaissais (pour avoir potassé en profondeur les "théorèmes no go").

Ou comment merder avec un théorème faux...

Personne n'est à l'abri

Et je trouve effarant le temps qu'il a fallu pour le remarquer.

[stefjm]

Personne n'est à l'abri

Et je trouve effarant le temps qu'il a fallu pour le remarquer.

Ce sont les effets du culte de la personnalité et qui sont délétères en science.
C'est comme les expérimentateurs qui écartent les mesures estimées trop fausses par rapport au modèle dominant.
Du coup, tout va bien...

[Deedee81]

Ce sont les effets du culte de la personnalité et qui sont délétères en science.

Pour d'autres cas que je connais (où on a mis un temps idiot à le voir) c'était aussi pour cette raison
(je laisse de coté les cas où c'était juste un truc qui n'intéressait pas grand monde, ça arrive aussi)

C'est comme les expérimentateurs qui écartent les mesures estimées trop fausses par rapport au modèle dominant.

C'est même le biais le plus fréquent.

[Christian Arnaud]

ok, vous avez été brillants et j'ai mes réponses et même beaucoup plus On peut fermer le sujet
Merci d'avoir pris le temps de donner tous ces détails et bonne année à tous

[La Limule]

Avant de fermer j'aimetais dire pourquoi j'aime les ket bra Vi><Vi
Zeh a introduit beaucoup plus tard la notion de décohérence (1970)
Et il n'y a pas ne notation simple pour désigner des mélanges statistiques d'états purs
p1 v> plus p2 w>
ca prete a confusion avec une superposition
La seule qui s'est imposée est p1 v><v + p2 w><w
donc avec les ket bra.
C'est l'utilité dont je parlais. mais on n'est plus a l'époque de Dirac.

[ThM55]

Oui , mais on peut noter au passage que la notion de mélange, par opposition aux états purs, est une idée de Von Neumann.

Concernant l'impossibilité des "variables cachées", il faut nuancer. Sa démonstration est correcte. C'est la conclusion qu'il en tire de manière informelle qui ne l'est pas (c'est un non sequitur).

Comme je l'ai mentionné plus haut, David Bohm a expliqué que Von Neumann a pris connaissance de son interprétation et ne l'a pas critiquée. Il l'a même encouragé, contrairement à Heisenberg et Pauli qui le méprisaient royalement (ils qualifiaient ces idées de "superstructure idéologique inutile"). A moins d'être très confus, il devait bien comprendre que son théorème sur les états sans dispersion n'était plus pertinent.

Ce qui s'est passé en réalité c'est que Von Neumann avait simplement changé de sujet de prédilection et ne s'intéressait plus vraiment aux questions d'interprétation après la publication de son traité. Il est simplement passé à autre chose: la continuation purement mathématique avec les algèbres de Von Neumann. Ensuite d'autres sujets comme la logique quantique, la théorie des jeux, l'analyse numérique en hydrodynamique, l'architecture des ordinateurs, les machines auto-répliquantes, etc. Ce que Bohm a écrit montre que Von Neumann n'était pas férocement attaché à ce "théorème". Je ne crois pas un instant à ces explications par la "sociologie des sciences". L'immense majorité des physiciens n'ont simplement pas lu Von Neumann et ne s'intéressaient pas aux questions d'interprétation. Voyez ce que Feynman en disait, c'est assez édifiant.