Force de surface à partir d'un tenseur de contraintes

[Pegoud0]

Bonjour,

Je me creuse la tête depuis hier sur un petit point de mon cours de mécanique des fluides.

Mon enseignant nous présente la notion de tenseur des contraintes et écrit un exemple en ces termes :

"On suppose un cylindre de rayon R et de hauteur H : r varie entre 0 et R, thêta entre 0 et 2pi et z entre 0 et H.

Le tenseur des contraintes est le suivant : Tenseur.png

En utilisant le théorème de Green-Ostrogradsky et en exprimant les vecteurs e_r et e_thêta en fonction de e_x et e_y, on montre facilement que les forces de surface qui s'exercent sur le cylindre sont telles que : Force.png"


Alors, autant je suis effectivement persuadé qu'on peut le montrer "facilement" comme il le dit... autant je me dis qu'à mon niveau, ce n'est pas une chose si aisée que ça. J'ai bien essayé de faire tout ce qui était décrit, mais je ne retombe jamais sur le résultat annoncé par l'enseignant.

Ayant découvert la notion de tenseur il y a littéralement deux jours, quelqu'un aurait-il la possibilité de détailler ce petit calcul afin de faciliter ma compréhension ?

Je vous remercie par avance si vous avez le temps de m'aider un peu !
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[gts2]

Bonjour,

La divergence d'un tenseur d'ordre 2 en cylindrique n'est pas simple, voir par ex. http://choid.free.fr/mathmeca/node44.html tout en bas.

[gts2]

Remarque : Green-Ostrogradsky est obligatoire ? Parce que le calcul direct est quand même plus simple.

[Pegoud0]

Merci pour vos réponses que je ne découvre que maintenant !

Mon enseignant indique qu'il s'est servi de Green-Ostrogradsky dans cet exemple, mais très honnêtement, si vous avez un moyen de me faire comprendre comment il arrive à ce résultat même sans ce théorème, je suis plus que preneur !

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

On commence par le plus simple : pour la surface latérale avec matriciellement
On effectue le produit avec le tenseur soit
On décompose sur x et y
Il reste donc deux intégrales à calculer et

Pour les deux surfaces de base cela donne 0.

Si nécessaire, on peut donner le calcul avec la divergence.

[Pegoud0]

Je vous remercie très sincèrement pour votre réponse qui me paraît très claire !

Dans un premier temps, j'aurais une petite question (sûrement stupide) : si l'on avait intégré RQcos(thêta) u_thêta par rapport à thêta et z, sans passer par la base cartésienne, est-ce que l'on n'aurait pas obtenu un résultat nul (comme thêta varie entre 0 et 2pi) ? J'ai visiblement un peu de mal avec ces changements de base...

Dans un second temps, sans forcément vous demander le détail du calcul avec la divergence, j'aurais été tenté initialement d'utiliser les relations de changement de base pour exprimer le tenseur des contraintes en coordonnées cartésiennes, puis d'appliquer la divergence (en cartésiennes). Cela aurait-il été valable ? Ou aurait fallu conserver les coordonnées cylindriques jusqu'au bout (divergence comprise) pour ne les changer qu'au moment d'intégrer à la toute fin, comme vous l'avez fait juste au-dessus ?

Je vous remercie par avance pour les petits éclaircissements que vous pourrez m'apporter et vous souhaite une bonne soirée !

[gts2]

Pour la divergence, voir : divergence-tenseur.pdf pour les calculs.

Pour le reste, attendre un peu...

[gts2]

Si on intègre avec , le problème est que ce vecteur dépend de θ, la projection sur x et y est certes un changement de base mais surtout fait apparaitre des vecteurs unitaires constants.

En cartésiennes, le problème est que l'intégrale sur un disque n'a pas une tête sympathique.

[Pegoud0]

Bonsoir,

Je suis désolé de ne répondre que maintenant : je n'avais plus accès au forum pour une obscure raison, mais tout est rentré dans l'ordre !

J'ai bien eu l'occasion de lire vos réponses en temps et en heure, et je ne sais comment vous exprimer ma gratitude pour votre rapidité de réponse et le temps que vous m'avez consacré en détaillant autant vos explications. Merci infiniment pour votre aide précieuse à ma compréhension !

Bonne soirée, merci encore !