Equation de d'Alembert

[artchi01]

Bonjour je ne comprends pas la fin de la démonstration des solutions de l'équation de d'Alembert pour une onde. En effet, je ne comprends pas la fin du raisonnement. Lorsqu'on a l'équation \frac{\partial^2 y}{\partial u \partial v} =0 , on obtient ensuite l'équation en intégrant tout d'abord par rapport à u \frac{\partial y}{\partial v} =G(v) puis cette équation en intégrant par rapport à v.t y= f(u) + g(v) .Je ne comprends pas le raisonnement permettant de passer d'une équation à une autre.
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[gts2]

Bonjour je ne comprends pas la fin de la démonstration des solutions de l'équation de d'Alembert pour une onde. En effet, je ne comprends pas la fin du raisonnement. Lorsqu'on a l'équation , on obtient ensuite l'équation en intégrant tout d'abord par rapport à u puis cette équation en intégrant par rapport à v. y= f(u) + g(v) .Je ne comprends pas le raisonnement permettant de passer d'une équation à une autre.

Je suppose que u=x-ct et v=x+ct

Si j'intègre par rapport à u df/du=0 j'obtiens f=Cte mais comme ici c'est une intégration partielle, cette constante dépend de v (1)
On recommence on intègre par rapport à v dg/dv=G(v) ce qui donne g(v)+cte (g(v) primitive de G(v) et même raisonnement : intégration partielle, cette constante dépend de u (2)

[artchi01]

Merci j’ai parfaitement compris!
Cordialement,
Arthur Brice

[artchi01]

finalement la démonstration me semble assez étrange.




En effet je ne vois pas comment obtenir la première égalité telle que:

sachant que je suis censé prouver que y s'écrit comme la somme d'une onde directe et d'une onde indirecte.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gts2]

Bon, là, il faut un cours de maths...

Problème des physiciens, il confonde la grandeur physique et la fonction.

Ici le y est le déplacement de la corde qui est bien la même grandeur des deux côtés, mais le le y à gauche c'est y=f(x,t) alors que le y à droite c'est y=g(u,v) avec u=u(x,t) et v=v(x,t)
On a donc f(x,t)=g(u(x,t),v(x,t))
Pour commencer, on effectue une dérivation composée à une dimension f(x)=g(u(x),v(x)) qui, en notation de Leibnitz donne : qui en notation de physicien confondant grandeur y et fonctions g/f donne

De même, pour f(x,t)=g(u(x,t),v(x,t)), en se plaçant à y constant et pour finir on note en grandeur y=f=g.

[artchi01]

Ah oui c'est beaucoup plus claire comme ça. Merci!

[artchi01]

Je suis vraiment désolé mais je bloque encore. Je ne vois pas du tout comment on obtient l'égalité pour la 2 ème ligne soit pour la dérivée seconde. J'ai l'impression qu'il y a des termes en trop dans son expression et je n'arrive pas à trouver mon erreur.

[gts2]

On part de

Premier terme de :



Ou en manipulant formellement les opérateurs :



La carré signifiant appliquer deux fois l'opérateur et donc

Dans votre texte, il y a donc une erreur de signe devant la dérivée croisée uv