Electrostatique intégrale de potentiel

[scilon]

Bonjour, j’ai essayé de calculer le potentiel électrique en un point M résultant d’un fil infini chargé en densité linéique λ. La méthode (2) fonctionne bien, mais la méthode (1) semble ne pas fonctionner. Pouvez-vous m’expliquer pourquoi ? Merci d’avance.

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[ThM55]

Bonjour. C'est parce que la méthode 2 est plus puissante, elle utilise le champ électrique, qui permet d'ignorer le caractère non physique d'un fil de charge infinie. Avec la méthode 1, on n'arrive pas à forcer un potentiel nul à l'infini parce qu'il y a des charges à l'infini.

Je n'aime pas beaucoup le changement de variable avec l'angle, on ne contrôle pas bien les limites. Au lieu de cela je fais et j'intègre sur l de -L à L (donc sur un fil de longueur finie 2L >> D).Ensuite on fait tendre L vers l'infini, en contrôlant la valeur du potentiel en un point de référence (qui sera à distance finie).



Ce potentiel est correct pour un fil de longueur finie avec une charge finie. On voit qu'on ne peut pas simplement faire tendre L vers l'infini, on a le même problème.

Mais si avec L fixé je fais tendre D vers l'infini j'ai: donc ce potentiel est bien nul à l'infini pour L fini. Toutefois ce n'est plus vrai si L est infini. Mais je peux toujours ajouter une constante à un potentiel (cela ne change pas le champ électrique!) et je décide de l'écrire



Ou, en divisant par L les dénominateurs et numérateurs:



Dans ces expressions R est une constante arbitraire positive. Je peux par exemple choisir R=1 ou toute autre valeur. On voit cette fois que le potentiel est nul si D=R (D=1 si j'ai choisi cette valeur), et non plus à l'infini. Mais ce potentiel ne diffère que d'une constante du précédent, il représente la même situation physique.

Cette fois sous le log j'ai, après quelques simplifications, l'expression (en supposant R=1, L>>D et L >> 1, on peut prendre le développement limité )



et cette fois on peut prendre la limite pour ! Elle vaut . Donc j'obtiens le potentiel



Je n'ai pas relu tous les calculs, je vous demande de le faire.

[scilon]

J'ai bien compris! Merci infiniment!

juste une petite question, pourquoi l'utilisation de la méthode (2) permet d'ignorer le caractère non physique d'un fil de charge infinie alors que la méthode (1) ne permet pas, surtout puisqu'on peut démontrer la formule utilisée en (1) en utilisant la formule utilisée en (2) (en considérant une charge ponctuelle q ?

[ThM55]

Les deux méthodes sont évidemment équivalentes. Mais la méthode 2 est plus puissante car elle passe par des raccourcis: la symétrie du problème suggère tout de suite la forme du champ électrique (un vecteur radial perpendiculaire au fil), chose qui n'est obtenue qu'après un passage à la limite dans la méthode 1. Elle utilise le théorème de Gauss, qui est un théorème de mathématiques, etc. Si je fais le flux du champ à travers un cylindre de rayon D et de hauteur L, seul le flux sur la partie verticale du cylindre compte et cela donne immédiatement le résultat pour le champ, puis le potentiel par une simple intégration dans la direction radiale. On a d'emblée éliminé la difficulté.

Dans la méthode 1 le piège est de vouloir fixer la valeur du potentiel à l'infini (zéro) comme dans le cas d'une répartition de charge finie (d'ailleurs j'ai oublié de le mentionner, celle-ci déduite dans mon message est seulement valable dans le plan de symétrie en z=0). Physiquement, ce qui compte c'est les différences de potentiel donc je peux toujours ajouter une constante à V. Par exemple



si je choisis comme constante:

[A voir en vidéo sur Futura]