accélération continue et distance parcourue discrétisée

[zou]

hello
pour calculer une trajectoire de vaisseau (accélération a, v0 = 0), on intègre deux fois, on trouve d = a.N²/2 au bout de t = N
Divisons cette trajectoire en N segments, chacun étant parcouru pendant un temps 1, la longueur d'un segment est donc d'autant plus grande que le vaisseau s'éloigne
Etudions un segment entre t = n et n+1, ce qui revient à étudier un segment entre t = 0 et 1, avec une vitesse initiale a.n: sa longueur est alors a.n.1+a.1²/2 -(a.n.0+a.0²/2)= a.n + a/2
Si on fait le calcul entre t = n et n+1 (vitesse initiale a.n), on obtiendrait une longueur de segment de a.n.(n+1)+a(n+1)²/2 - (a.n.n+a.n²/2) = a.(2n+1/2), pourquoi une différence (positive) avec le résultat précédent?
Si on cumule les N segments, dans les deux cas il y a une différence (positive) avec le résultat attendu, d'où viennent ces reliquats?

Si on décompose l'intégrale du début en N intégrales, on obtient pour la n-ième: a(n+1)²/2 - a.n²/2, et a.N²/2 se retrouve donc par éliminations successives de ces deux termes, mais on comprend qu'elle n'intègre pas la vitesse initiale au début du segment (a.n). Finalement, quelles sont les distinctions que l'on fait entre ces trois considérations pour qu'elles ne soient pas contradictoires?
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[gts2]

Bonjour,

Il faudrait préciser votre problème :
La première méthode avec dn=an+a/2 donne la longueur exacte du segment et par somme redonne bien la longueur d.
Le deuxième calcul n'est pas clair : vous dites entre n et n+1 et (vitesse initiale a.n) donc comme pour 1 et le calcul est différent, donc quel est ce calcul précisément ?

Votre premier calcul respecte la loi des nombres impairs de Galilée :
Les espaces parcourus en des temps égaux par un mobile partant du repos ont entre eux même rapport que les nombres impairs successifs à partir de l'unité.

[zou]

disons que la première est le calcul intégral qui revient à intégrer deux fois une constante (a): v=a.t+v0 = a.t, d = a.t²/2+x0 = a.t²/2, avec t entre 0 et N. on trouve donc d(N) = aN²/2
La deuxième: v = a.n + a.t, d = a.n.t+a.t²/2 avec donc v0 = a.n, t dans [0, 1], ensuite on somme N fois, on ne retrouve pas d(N)
La troisième: idem que la deuxième avec t dans [n, n+1]

quourpoi ces méthodes seraient différentes?

[gts2]

La deuxième: v = a.n + a.t, d = a.n.t+a.t²/2 avec donc v0 = a.n, t dans [0, 1], ensuite on somme N fois, on ne retrouve pas d(N)

La somme redonne bien d(N), quelle somme avez-vous exactement calculée ?

La troisième: idem que la deuxième avec t dans [n, n+1]

Si c'est entre n et n+1 la vitesse initiale (à n=0) vaut 0, ce qui donne a(n+1)²/2 - a.n²/2 = a.n+a/2 comme la deuxième méthode

[A voir en vidéo sur Futura]

[zou]

La somme redonne bien d(N), quelle somme avez-vous exactement calculée ?

d(n) = a.n + a/2, la somme donne a.N.(N+1)/2 + N.a/2, il y a un reliquat a.N

Si c'est entre n et n+1 la vitesse initiale (à n=0) vaut 0

à t=n, la vitesse initiale est a.n, ce à quoi on ajoute la primitive de l'accélération, a.t

[gts2]

d(n) = a.n + a/2, la somme donne a.N.(N+1)/2 + N.a/2, il y a un reliquat a.N

et le dernier dn correspond au parcours entre N et N+1, donc la distance parcourue vaut a(N+1)²/2=a/2(N²+2N+1)

à t=n, la vitesse initiale est a.n, ce à quoi on ajoute la primitive de l'accélération, a.t

De deux choses l'une
- soit vous considérez la vitesse initiale à t=0 et elle vaut zéro,
- soit vous la considérez à t=n, elle vaut bien a.n mais dans ce cas le temps écoulé entre l'instant initial (n) et final (n+1) vaut 1, soit la deuxième méthode.

[zou]

la distance parcourue vaut a(N+1)2/2=a/2(N2+2N+1)

ok, ma somme partait de n=1, ce qui revient à une vitesse initiale en n=0 et un max à N+1, erreur trop classique grrr
merci pour la correction

De deux choses l'une

je fais le même constat, mais qu'est-ce qui m'empêche d'isoler le n-ième segment de la façon suivante: vitesse initiale a.n, accélération a et faire évoluer le temps qui s'écoule entre n et n+1? A priori, le mouvement le long du n-ième segment commence à vitesse initiale non nulle a.n et il ne devrait tenir compte que de la quantité de temps qui s'écoule entre le début et la fin (n+1-n), peu importe si t est dans [0, 1] ou [n, n+1]
En somme, la deuxième méthode revient à sauter dans le vaisseau et lancer un chrono, la troisième est faite sur place (de départ) et on ne touche plus le chrono lancé au décollage, comme s'il ne fallait tenir compte que de la vitesse de l'observateur

[gts2]

A priori, le mouvement le long du n-ième segment commence à vitesse initiale non nulle a.n et il ne devrait tenir compte que de la quantité de temps qui s'écoule entre le début et la fin (n+1-n), peu importe si t est dans [0, 1] ou [n, n+1]

C'est bien cela et comme le temps qui s'écoule entre n et n+1 ou entre 0 et 1 est le même c'est-à-dire 1, cela donne v*1+a.1²/2=a.n.1+a/2 qui est bien le résultat atendu, il n'y a pas de différence entre vos méthodes 2 et 3.