Principe d’Archimède appliqué à un cylindre

[Apprentii]

Bonjour,

J’essaye de résoudre un exercice plutôt simple en apparence, mais je n’y arrive pas.

L’idée est de re démontrer le principe d’Archimède appliqué à un cylindre dont l’axe est horizontal. Pour ce faire, je compte utiliser la somme (intégrale) des forces résultantes de la pression appliquée à un élément de surface dS, puis intégrer sur toute la surface.
Pour les faces planes aux extrémités du cylindre pas de problème, tout se simplifie. En revanche pour la surface cylindrique je tombe sur un résultat étrange et je n’arrive pas à re démontrer la relation (connue) F = p.g.V.

Pourriez-vous m’aider ? Voici mon calcul :



Les intégrales étant réalisées entre 0 et L (longueur du cylindre) et 0 et 2pi. H représente la profondeur de la fibre neutre du cylindre, p la masse volumique du fluide dans lequel est plongé le cylindre, R est le rayon de ce dernier et Rsin(thêta) est la composante verticale de la force de pression.

Outre le fait que le résultat n’est pas comme attendu (p.g.V) il n’est même pas homogène à une force : le problème vient de mon raisonnement, mais je ne vois pas où.

Merci pour votre aide.
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[gts2]

Bonjour,

Votre résultat est bien homogène à une force (il y a trois longueurs L h R ce qui donne un volume même si ce n'est pas le bon)

L'erreur essentielle vient du fait que vous faites une somme vectorielle en oubliant l'orientation du vecteur dS que vous traitez comme un scalaire.

[Apprentii]

Bonjour,

Votre résultat est bien homogène à une force

En effet, je ne devais pas être bien réveillé. Merci !

L'erreur essentielle vient du fait que vous faites une somme vectorielle en oubliant l'orientation du vecteur dS que vous traitez comme un scalaire.

Comment feriez-vous pour "appliquer" l'orientation du vecteur dS dans l'intégrale ?

[gts2]

1- Faire un dessin
2- Par symétrie par un plan passant par l'axe, la résultante horizontale est nulle
3- Il reste à projeter dS sur l'axe vertical et intégrer

[A voir en vidéo sur Futura]

[Apprentii]

Il y a quelque chose qui m’échappe, car c’est exactement la démarche que j’ai suivi (ou que je pense avoir suivi, tout du moins).
Le Rsin(thêta) n’est pas justement la projection de dS sur l’axe vertical ?

[gts2]

Il y a deux sin(θ) : un qui est la projection de la profondeur (z=h+R sin(θ)) et un qui est la projection de donc dans le terme (R dθ dL)

[Apprentii]

Il y a deux sin(θ)

Effectivement j’étais passé un peu au travers de la projection de la force selon l’axe vertical, je ne m’étais concentré que sur la profondeur. Avec cette indication je retombe bien sur le résultat classique : un grand merci !