Bonjour,
La question du titre trouve une réponse logique d'un point de vue physique, mais mathématiquement parlant, je ne comprends pas. En appliquant "bêtement" le produit scalaire, j'obtiendrais : grad(V).dr = (dV/dx).dx + (dV/dy).dy + (dV/dz).dz = 3.dV
Quelle explication peut on apporter pour expliquer que le résultat est bien dV ? Se trouve-t-on face à une limite du modèle mathématique qui approxime la dérivée V' au rapport des différentielles dV/dx ?
Par avance, merci,
Cordialement.
Vous écrivez :
Quelle est, pour vous, l'expression de dV ? (Je cherche à comprendre l'apparition du "3" dans ce que j'ai cité)Envoyé par Weals
C'est peut-être que vous n'avez pas compris la signification dequi donne la variation de V lorsque seul (dérivée partielle) x varie, et donc la variation de V est la variation due à x plus celle due à y ...
Imaginons une plateforme élévatrice
apte à déplacer une charge dite nominale dans les directions x et y et en élévation selon z
consommant les énergies par unité de distance parcourue suivantes :
- ∂E/∂x = 5 000 J/m selon la direction x
- dE/∂y = 5 000 J/m selon la direction y
- dE/∂z = 100 000 J/m selon la direction z
Alors avec, par exemple, les distances parcourues suivantes :
- Dx = 50 m
- Dy = 5 m
- Dz = 2 m
L'énergie DE consommée au total par ces 3 déplacements sera la somme des consommations induites par chacun de ces 3 déplacements.
DE = 5000 x 50 + 5000 x 5 + 100 000 x 2. On a bien :
∂E/∂x Dx + ∂E/∂y Dy + dE/∂z Dz = DE (et non pas 3 DE)
Bonsoir,
Merci beaucoup pour vos réponses ! En effet l'exemple de la plateforme est très parlante. J'avais assimilé à tord le d rond et le d droit, pensant que ces éléments pouvaient se simplifier si ils apparaissaient au numérateur et dénominateur respectivement.
En vous souhaitant une bonne soirée,
Bien cordialement.
(Re)Bonjour,
Ce matin, me voici de nouveau tracassé par ces histoires de dérivées partielles, de d rond et d droit lors du visionnage de cette vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=eMQ4_uRK94Q
A 11min43s, on peut voir sur le tableau de l'enseignant que dT=(∂T(x,t)/∂t).dt dans le cadre d'un bilan thermique.
Je me demande donc dans quel contexte il est possible d'effectuer ce type d'égalité, y a t-il un développement limité la derrière ou une autre "simplification" qui m'échapperait ? Quelle différence y a t-il entre écrire dV=(∂V(x,y,z)/∂x).dx dans mon contexte et écrire dT=(∂T(x,t)/∂t).dt dans le contexte de la vidéo ?
En vous remerciant par avance,
Bien cordialement.
ce n'est pas le cas ici le dT calculé est la variation de la température de l'élément de volume entre t et t+dt, spatialement il n'y a pas de changement de cet élément de volume.
ici ce qui est calculé est, en détaillant,
Pour le lecteur attentif c'est OK, mais pour Waels qui n'est pas à l'aise avec la notion de dérivée partielle, les petites coquilles ci-dessus sont à corriger. Finalement, je préfère plutôt donner l'explication détaillée ci-dessous :
ce n'est pas le cas ici le dT calculé est la variation de la température de l'élément de volume entre t et t+dt, spatialement il n'y a pas de changement de cet élément de volume.
ici ce qui est calculé est, en détaillant,
Notons DT(dt) la différence de température T en la position x au passage de l'instant t à l'instant t+dt :
DT(dt) = T(x, t+dt) - T(x, t)
La dérivée partielle, par rapport au temps t, de la température T en la position x, à l'instant t, est par définition le ratio de DT(dt) par l'incrément de temps dt :
∂T(x,t)/∂t = DT(dt)/dt = (T(x, t+dt) - T(x, t))/dt
Notons DT(dx) la différence de température T à l'instant t au passage de la position x à la position x+dx :
DT(dx) = T(x+dx, t) - T(x, t)
La dérivée partielle, par rapport à la position x, de la température T en la position x, à l'instant t, est par définition le ratio de DT(dx) par le déplacement dx :
∂T(x,t)/∂x = DT(dx)/dx = (T(x+dx, t) - T(x, t))/dt)/dx
Maintenant, comment relier l'augmentation totale de température en passant de la position x à la position x+dx et de l'instant t à l'instant t+dt ?
T(x+dx, t+dt) - T(x,t) = T(x+dx, t+dt) -T(x, t+dt) + T(x, t+dt) - T(x,t)
Comme dt "est tout petit", on a :
T(x+dx, t+dt) - T(x, t+dt) = T(x+dx, t) - T(x, t) et donc
T(x+dx, t+dt) - T(x,t) = (T(x+dx, t) - T(x, t)) + (T(x, t+dt) - T(x,t)) = DT(dx) + DT(dt)
Or, avec la définition ci-dessus des augmentations de T quand on augmente seulement x de dx ou seulement t de dt :
- DT(dx) = T(x+dx, t) - T(x, t) = ∂T(x,t)/∂x dx
- DT(dt) = T(x, t+dt) - T(x, t) = ∂T(x,t)/∂t dt
On retrouve le changement total de température du :
- au déplacement de la position x à la position x+dx d'une part
- ET au passage de l'instant t à l'instant t+dt d'autre part
T(x+dx, t+dt) - T(x,t) = ∂T(x,t)/∂t dt + ∂T(x,t)/∂x dx
Correction
Merci à vous pour vos réponses, qui m'aident à éclaircir mes raisonnements. Dans la vidéo, le bilan est uniquement temporel, dans mon exemple, il a lieu dans les trois dimensions spatiales. Si j'ai bien compris, je pourrais écrire :
V(x+dx, y+dy, z) - V(x, y, z) = (∂V(x,y,z)/∂x).dx + (∂V(x,y,z)/∂y).dy ≠ dV
En écrivant dans mon premier message dV, je sous-entendais sans le savoir l'égalité suivante : dV = V(x+dx, y+dy, z+dz) - V(x, y, z).
Encore merci !
L'ambiguité avec ce dV (et en général tout df avec f une fonction de plusieurs variables), c'est qu'il ne s'agit pas vraiment d'une variation infinitésimale de V (qu'on devrait noter
On a
En chaque point de l'espace il n'y a qu'un seul dV, mais il y a une infinité de
En particulier on peut très bien avoir
Le problème principal est que les notations d et
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Bonjour mach3, merci pour votre réponse !
En regardant sur cette page wikipédia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_infinit%C3%A9simal , je peux trouver cette phrase dans la partie Application "En suivant une démarche intuitive, on convient de noter par dx une très petite variation de la variable x." Est-ce ce type de phrase dont vous parliez qui implique une confusion entre dx et δx ? Dans le cas de la page Wiki, vous auriez écrit δx plutôt que dx ?
Si oui, dans quel cas utiliser la notation dx ? Seulement lorsque l'on dérive une fonction ne dépendant que d'un seule variable, par rapport à cette variable, comme c'est le cas pour l'accélération a=dv/dt ? Si je souhaitais déterminer da, je devrais ainsi écrire da=(dv/dt).δt ?
Une dernière question si ce n'est pas trop : da serait alors une dérivée de a dans une "direction/dimension temporelle" ?
Je me souviens d'un prof de maths en L1 qui nous disait qu'écrire f' équivalait à écrire df/dx, c'est pourquoi je comprends mal comment df peut être lui même une dérivée !
Je vous remercie vraiment pour votre patience, j'essaye d'y voir un peu plus clair, je me rend compte être passé à côté de bien des choses durant mes études ! Je viens de valider un capes de physique-chimie et j'apprécierais être rigoureux et répondre correctement aux questions de mes élèves !
Il y a deux choses, la notation de Leibniz qu'on peut interpréter comme une notation pour la limite
df n'est pas une dérivée mais une différentielle : df= f'(x) dx, application linéaire tangente à f(x), on voit bien apparaitre f'(x)=df/dx.
Si a=dv/dt, alors
Si a est l'accélération d'un objet a=a(t) on a une seule variable, donc la notion de direction n'a pas grand sens.
Si a est l'accélération d'une particule fluide a=a(t,x,y,z), da est bien une différentielle, et on peut utiliser la remarque de @mach3 pour déterminer l'accélération dans une direction particulière. Je suppose que vous avez vu la dérivée particulaire en mécanique des fluides, on peut l'interpréter comme la dérivée dans la direction de la vitesse de la particule.
Merci pour cette réponse !
Je me demande encore pourquoi on indique que le flux thermique se calcule comme δQ/δt ? Je me souviens qu'en thermo, on note δQ et non pas dQ car le transfert thermique est une DTE, mais y a t-il un rapport avec les autres confusions que je fais entre d et δ ?
Je me rends compte par ailleurs que j'ai écris par inadvertance dans mon dernier message da=(dv/dt).δt à la place de da=(da/dt).δt.
En somme, ma question était plutôt : Faut-il écrire da=(da/dt).δt ou bien da=(da/dt).dt ? Pourquoi écrit-on δt en thermo dans le cadre du calcul du flux thermique mais que l'on écrit dt en méca dans le cas d'une accélération ? Quelle différence entre ces deux "durées infinitésimales" ?
Je vous remercie encore pour vos réponses qui me permettent de progresser.
Une discussion sur un sujet voisin : forums.futura ... mathematiques ... derivee-flux
Pour a(t), il existe bien une fonction a(t) qu'on suppose différentiable donc il existe une différentielle da=a'(t) dt = (da/dt) dt.
Pour Q, il n'existe pas de fonction Q(t), donc pas de dérivée dQ/dt, mais voir le message #6 de @mach3 dans la discussion indiquée qui précise le problème.
