Référentiel et congruence

[Amanuensis]

Au sujet de la suite de l'article du Wiki, on peut y lire

By plugging the kinematical decomposition into the left-hand side, we can establish relations between the curvature tensor and the kinematical behavior of timelike congruences (geodesic or not). These relations can be used in two ways, both very important:

We can (in principle) experimentally determine the curvature tensor of a spacetime from detailed observations of the kinematical behavior of any timelike congruence (geodesic or not),
We can obtain evolution equations for the pieces of the kinematical decomposition (expansion scalar, shear tensor, and vorticity tensor) which exhibit direct curvature coupling.

Si on lit "timelike congruence" comme "référentiel", c'est assez éclairant. En particulier une fois compris qu'un référentiel permet une division temps/espace, qui est si importante pour la notion d'observation par nous, humains. Et qu'on a compreis que les éléments de la décomposition "vivent" dans l'espace au sens 3D défini localement par le référentiel.

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Personnellement c'est avec ce genre de réflexion que j'avance dans ma compréhension conceptuelle de la RG. Les maths ne me posent pas de problème, mais ne sont qu'un outil. Les "grosses formules" mathématiques ne sont qu'un savoir, elles n'amènent pas d'elles-mêmes à une "compréhension". En tout cas, pas pour moi. Et je pense que les sortir dans un message de forum aide rarement.

Avoir compris que la pesanteur (un des termes de la décomposition) est une notion relative à un référentiel, ou faire la relation entre $\omega_{ab}$ et l'accélération de Coriolis (et ainsi qu'il soit mesurable localement par une expérience comme le pendule de Foucault), m'aide beaucoup dans la compréhension conceptuelle (ce qui est différent de formelle) de la RG.
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[mach3]

2- Parlons de durée entre 2 événements. La différence entre la "durée" entre le "big Bang et aujourd'hui, donnée par le temps cosmologique (13,7Ma) et celle donnée par notre temps propre (infinie)

Je ne saisis pas. Pour n'importe quelle ligne d'univers, la durée propre entre le big-bang et aujourd'hui n'est pas infinie. Elle est finie, et très généralement plus courte que les 13.7Ma du temps cosmologique.

m@ch3

[Amanuensis]

Si on admet que le "temps cosmologique" est la durée propre d'une chute libre entre le soi-disant événement originel modélisé en FLRW (une singularité, donc sans sens physique) et maintenant, alors l'aspect "plus grand" de cette durée se comprend bien!

Par ailleurs, ce qui serait infini, c'est le z. Et cela peut-être présenté comme échelle de temps (mais pas en secondes ou années ou milliards d'années).

[ordage]

Je ne saisis pas. Pour n'importe quelle ligne d'univers, la durée propre entre le big-bang et aujourd'hui n'est pas infinie. Elle est finie, et très généralement plus courte que les 13.7Ma du temps cosmologique.

m@ch3

Bonjour

Concrètement, cela se traduit par le fait que si nous disposions d'un instrument très puissant pour voir très loin dans l'espace (détecteur d'OG par exemple) donc très loin dans le passé, nous ne verrions pas le big bang de la théorie du modèle standard.

On connait le décalage spectral (a0/a = z+1), un décalage (dilatation) temporel de (z+1) lui est associé. Cela se démontre très simplement et cela est couramment observé sur les objets lointains.

Notons d'ailleurs, que cela a disqualifié la théorie de la lumière fatiguée qui, si elle prédit un décalage spectral, ne prédit pas de dilatation temporelle.

Les 2 diagrammes de E. Wright que j'ai cité illustrent la chose, ils représentent le même univers, dans 2 systèmes de coordonnées, l'un "global" coordonnées RW, l'autre local (ici et maintenant).

Notons que si on "ouvre à 180°" l'éventail" à 90° du référentiel local les hyperboles deviennent des droites parallèles , etc.

Cordialement

[ordage]

Bonjour,

Un résumé de mes réflexions récentes sur le sujet. Le sujet principal est l'application du concept de "décomposition cinématique" aux référentiels, à partir d'un traitement (wiki anglophone) de ce concept aux congruences de genre temps.

Comme je n'ai pas trouvé ça dans la littérature qui m'est accessible, je l'ai reconstruit avec mes moyens d'amateur.

http:www.lahri.org/public/decomposition.pdf

Niveau : pas facile, dérivée covariante, notation indicielle, ...

Ce n'est qu'un premier jet, nécessairement des erreurs restantes, une opinion de physicien serait utile.

Bonjour

Au tout début du document, le "vecteur unitaire de type temps", est-il le vecteur 4-vitesse tangent à la géodésique?

C'est la dérivée covariante de ce vecteur qui est considérée dans l'étude de la congruence de géodésiques (qui comme son nom l'indique ne traite que de géodésiques) .
Je ne saisis pas bien la différence entre mouvement des points d'immobilité (dans le "partie co-mobile" de la métrique RW?) et géodésiques.
Par ailleurs ceci est-il spécifique à une métrique, il en existe d'autres. La notion d'espace en dépend.

Concernant les hypersurfaces d'une variété 4D , elles sont en général définies par une relation du type F(t, x, y, z) =cste.

La classe des observateurs co-mobiles suit une classe de géodésiques, est-ce cela, qu'on considèrerait comme un référentiel?

La notion de congruence est covariante puisqu'elle concerne des géodésiques, objets 4D de l'espace-temps, elle n'est pas spécifique à un feuilletage et une métrique. On peut s'en servir, pour autre chose, mais il me semble que c'est indépendant.
Cordialement

[Amanuensis]

Bonjour,

Au tout début du document, le "vecteur unitaire de type temps", est-il le vecteur 4-vitesse tangent à la géodésique?

Non. C'est un champ de vecteurs unitaires et de type temps, le vecteur 4-vitesse tangent de l'unique "mouvement d'immobilité" (du référentiel) passant par l'événement. "mouvement d'immobilité" est le terme que j'utilise pour le "lieu" dans un référentiel, la suite d'événements "au même endroit' du référentiel.

Si on prend un laboratoire sur Terre, chaque "lieu" dans la pièce, considéré comme "fixe' (relativement au référentiel matérialisé par les murs de la pièce), ne suit pas du tout une géodésique, un mouvement de chute libre en 4D, mais une trajectoire composée de spirales encastrées, rotation de la Terre, révolution de la Terre, déplacement du Système Solaire autour de la Galaxie.

Par ailleurs ceci est-il spécifique à une métrique,

Non. La notion de dérivée covariante (ou connexion, ou transport parallèle, trois aspects d'une même notion) n'est pas métrique.

Par contre l'analyse fait intervenir la métrique pour parler des "vecteurs orthogonaux" (localement) au champ X, et donc de la "décomposition cinématique". la métrique en question est celle, unique, structurant l'espace-temps en RG, pseudo-métrique en fait, signature (1,3), distinguant temps et espace.

La classe des observateurs co-mobiles suit une classe de géodésiques, est-ce cela, qu'on considèrerait comme un référentiel?

S'il est question d'une solution FLRW (homogénéité et isotropie spatiale, symétrie sphérique), oui. C'est le référentiel comobile.

[yves95210]

Bonjour,

je ne sais pas si ça peut apporter quelque-chose, mais votre discussion m'a fait penser au formalisme 1+3 de la relativité générale tel qu'il est présenté par exemple dans ce document (que je n'ai pas lu). Ce formalisme est évoqué dans l'introduction du cours d'Eric Gourgoulhon "3+1 Formalism and Bases of Numerical Relativity" de la manière suivante :

The 3+1 formalism should not be confused with the 1+3 formalism, where the basic structure is a congruence of one-dimensional curves (mostly timelike curves, i.e. worldlines), instead of a family of three-dimensional surfaces.

(je suis très loin d'avoir lu ce cours en entier, j'avais seulement cherché à comprendre certains résultats utilisés dans une publication)

La section Discussion dans la conclusion du premier document précise les différences (et les points communs) entre les deux formalismes :

Let us classify for the sake of argument the differences between the 1+3 and 3+1 descriptions in two categories: their construction and their formalism.
The 1+3 procedure is built from a congruence of time-like integral curves, and it provides a global time-like relation between points. In this type of splitting, the direction of time is chosen. The 3+1 procedure is based on the introduction of a family of space-like hypersurfaces, and it supplies a global space-like association of points. Here, the three directions of space are chosen.
When both the orientations of time and space are selected, both splittings can apply. In the generic configuration, a set of time-like integral curves and an independent family of space-like surfaces cover the manifold. The simplest setting is made of one vorticity-free time-like congruence: the integral curves provide the orientation of time, and the space-like orthogonal frames, which globally form hypersurfaces, provide the orientation of space. On account of this particular configuration, the 3+1 description is sometimes regarded as being identical to the 1+3 description without vorticity, although they differ in their construction.
In terms of formalism, the key difference between the 1+3 and 3+1 descriptions comes from the properties of the extrinsic curvature tensor. It is symmetric in the latter description, while it contains an anti-symmetric part in the former. As it was established, this additional term brings about several (interrelated) effects that are absent in the 3+1 perspective: (i) it prevents the spatial frames to form hypersurfaces, (ii) it sources the temporal part of the Lie bracket of two spatial vectors, (iii) it induces a torsion for the spatial connection, and at last (iv) it calls for a redefinition of the spatial Riemann curvature.
As another difference, let us mention that in the 1+3 approach the acceleration of the flow vector cannot be written (solely) in terms of a gradient. In a general setting, no particular expression can be actually supplied. When choosing bases and coordinates adapted to the congruence, we find that the acceleration can be expressed in terms of a gradient plus another term. This additional term, because of the non-zero anti-symmetric part of the extrinsic curvature, does not vanish

[Amanuensis]

je ne sais pas si ça peut apporter quelque-chose, mais [...] m'a fait penser au formalisme 1+3 de la relativité générale tel qu'il est présenté par exemple dans
La section Discussion dans la conclusion du premier document précise les différences (et les points communs) entre les deux formalismes :

Let us classify for the sake of argument the differences between the 1+3 and 3+1 descriptions in two categories: their construction and their formalism.
The 1+3 procedure is built from a congruence of time-like integral curves, and it provides a global time-like relation between points. In this type of splitting, the direction of time is chosen.

Très clairement ce que j'étudie et "discute" dans ce fil est le formalisme 1+3 selon cette nomenclature.

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Selon mon opinion, la question sous-jacente est la même.

À savoir, la RG permet des descriptions et des formules purement 4D, et c'est très puissant. Mais les observations, mesures, relations empiriques, faites par les "observateurs" (en particulier par nous humains) sont basées sur un découpage temps/espace, et sont relatives à un tel découpage.

En mécanique classique, l'outil (implicite) pour cela est la notion de référentiel, avec les notions d'immobilité, de vitesse relative et d'accélération relative (cf. deuxième loi de Newton). Il faut donc ajouter aux structures 4D (connexion, métrique) de la RG un concept amenant à l'équivalent de ces référentiels ; qu'on appelle cela formalisme 1+3, formalisme 3+1, congruence, référentiel, c'est pareil. Cela permet 1) de se raccrocher aux phénomènes tels que décrits par les observateurs, 2) d'avancer sur la compréhension des "effets" propres à la RG, et en particulier celle de la "gravitation" telle que modélisée par la RG.