Hamiltonien et Théorème de Gauss Gravitationnel

[EttoreElMagnifico]

Bonjour Physiciens,

Deux questions totalement indépendantes à vous soumettre, si vous le voulez bien :

Je cherche une démonstration COMPLETE du théorème de Gauss gravitationnel : à savoir, comment démontrer l'équation de Poisson : ∆ φ ₌ 4 π G ρ où φ est la fonction telle que : G = -grad(φ) (oui je n'ai pas mis les flèches des vecteurs car j'ai perdu l'habitude de latex..). Je sais que c'est basé sur de la fonction de Green, de la fonction delta de Dirac etc, mais j'aimerais une démonstration bien formellement justifiée.

Ensuite, concernant le Hamiltonien : il est la transformée de Legendre du Lagrangien. Ma question est la suivante : la définition du Hamiltonien n'est évidemment pas un "hasard mathématiquement heureux" (si je puis dire), mais une combinaison d'un intérêt mathématique (simplicité formelle) et un tant soi peu physique (rapidité de la formulation des équations d'un problème, qui plus est fort d'équations du premier degré). Est-il donc simplement une formulation astucieuse à l'aide d'une fonction particulièrement efficace (la transformée de Legendre d'une fonction) d'un problème de physique bien connu (les équations de Lagrange, elles mêmes reformulation de la mécanique de Newton), conférant en même temps une formulation unique nommée "équations canoniques" ? Ou y a t-il un enseignement plus profond à tirer de la définition du Hamiltonien ?

Il est par exemple remarquable que le Hamiltonien puisse représenter l'énergie totale du système (même si cela est la conséquence de sa définition, le fait que le formalisme soit aussi limpide.. témoigne donc de la "déraisonnable" efficacité des mathématiques appliqués à la Physique !..). Il a également des applications comme la célèbre mécanique quantique et ses équations (Schröndinger, Dirac..)

Merci pour vos réponses éclairantes et éclairées !
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[Anonyme007]

Bonsoir,

Je cherche une démonstration COMPLETE du théorème de Gauss gravitationnel : à savoir, comment démontrer l'équation de Poisson : ∆ φ ₌ 4 π G ρ où φ est la fonction telle que : G = -grad(φ) (oui je n'ai pas mis les flèches des vecteurs car j'ai perdu l'habitude de latex..). Je sais que c'est basé sur de la fonction de Green, de la fonction delta de Dirac etc, mais j'aimerais une démonstration bien formellement justifiée.

On a, le flux du champ gravitationnel à travers une surface fermée formant un volume est proportionnel à la somme des masses incorporées dans le volume .
Ce qui se traduit par la formule,
.
est la constante gravitationnelle.
Puisque, ( Théorème de divergence ), alors,

Par conséquent, .
Comme le champ gravitationnel peut s'écrire comme le gradient d'un potentiel , on a, .
D'où, implique, .
C'est à dire, .

Cordialement.

[ThM55]

Pour la première question, il faut admettre (ou démontrer) un résultat qui fait intervenir la distribution de Dirac:



Cette notation désigne le produit de trois distributions delta sur des variables différentes, les trois coordonnées. Il est aisé de voir que si x différent de x', le laplacien est nul, il s'agit juste de calculer les dérivées; c'est singulier pour x = x' mais alors ce qu'on fait c'est remarquer que le gradient, dont on prend la divergence pour obtenir le laplacien, n'est pas identiquement nul, lui. Quand on intègre sa divergence (qui est le laplacien) sur une petite sphère centrée sur la singularité de rayon , le théorème de Gauss permet de l'écrire comme le flux du gradient à travers cette surface. Le facteur 4 pi vient de l'intégration sur l'angle solide, le signe négatif du sens de la normale par rapport à celui du gradient. Le résultat ne dépend pas du rayon de la sphère et on a bien une distribution delta. Une preuve un peu plus formelle doit se faire en intégrant avec une fonction test de Schwartz, mais le raisonnement est essentiellement le même, cela n'apporte rien de plus.

Si on admet ce résultat, le potentiel d'une distribution de matière (obtenu par principe de superposition à partir du potentiel d'une masse ponctuelle) son laplacien est donné par



Concernant la seconde question, oui le hamiltonien est déduit du lagrangien par une transformation de Legendre. En mécanique le lagrangien est souvent quadratique dans les vitesses (en terme de coordonnées généralisées) et c'est cela qui permet d'assimiler le hamiltonien à l'énergie.

Mais le formalisme hamiltonien est plus adapté à certains buts. Il n'a pas été créé pour la beauté des maths, mais parce qu'il fournit dans certains problèmes des outils de résolution des équations beaucoup plus puissants que la mécanique lagrangienne. C'est grâce à cela qu'il a connu son heure de gloire en mécanique céleste au XIXème siècle.

Pour cela, le formalisme hamiltonien révèle une structure mathématique sur l'espace de phase, qu'on appelle une structure symplectique, structure qui reste cachée si on se limite au formalisme lagrangien. On peut comparer cela à une métrique comme la métrique sur une variété riemannienne, mais elle est fondamentalement différente car elle est antisymétrique. Un système mécanique peut présenter des symétries qui se révèlent dans l'espace des phases symplectique mais qui resteraient très difficiles à discerner dans la formulation lagrangienne. Il en résulte la puissante méthode des transformations canoniques: ce sont des transformation de l'espace de phase qui laissent la structure symplectique invariante mais qui peuvent dans quelques cas simplifier fortement les équations. Cette méthode permet aussi d'énoncer des théorèmes très généraux sur le comportement des solutions quand elles ne sont pas connues analytiquement. L'équation de Hamilton-Jacobi, qui résulte du formalisme canonique, peut être comprise comme une limite à petites longueurs d'onde de l'équation de Schrödinger et c'est ce qui explique le rôle important du hamiltonien en mécanique quantique.

Le formalisme hamiltonien a été introduit en mécanique par William Rowan Hamilton à partir d'une analogie avec les équations de l'optique géométrique (en effet un système optique réalise des transformations symplectiques). De Broglie avait fait la remarque très intuitive que si l'optique géométrique est une limite à petites longueurs d'onde de l'optique ondulatoire, peut-être la mécanique hamiltonienne serait-elle la limite d'une hypothétique mécanique ondulatoire. Cela a conduit à la mécanique quantique de Schrödinger par une voie totalement différente de celle employée par Heisenberg et on connaît la suite.

Les méthodes du XIXème siècle consistaient à partir de solutions exactes d'équations proches intégrables et à développer les solutions complètes en série d'une petite perturbation. Le formalisme canonique était une aide importante pour cela. Puisqu'on a maintenant des ordinateurs, ces calculs analytiques ont perdu en importance mais la structure symplectique peut être exploitée pour créer des méthodes d'intégration numériques des équations de la mécanique plus efficaces.


Pour bien comprendre le formalisme canonique avec des éléments de géométrie symplectique, il y a le traité de Vladimir Arnold, Méthodes mathématiques de la mécanique classique. Ou bien le premier volume du cours de Landau et Lifchitz, qui est moins formel mais montre quelques exemples de résolution analytique d'équations et a un joili chapitre sur les propriétés générales du mouvement.

[Anonyme007]

Bonsoir,

L'équation de Hamilton-Jacobi, qui résulte du formalisme canonique, peut être comprise comme une limite à petites longueurs d'onde de l'équation de Schrödinger et c'est ce qui explique le rôle important du hamiltonien en mécanique quantique.

Tu voulais peut être dire,
L'équation de Hamilton-Jacobi, qui résulte du formalisme canonique, peut être comprise comme une limite à petites longueurs d'onde des équations d'Euler Lagrange ...
Non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Tu voulais peut être dire,
L'équation de Hamilton-Jacobi, qui résulte du formalisme canonique, peut être comprise comme une limite à petites longueurs d'onde des équations d'Euler Lagrange ...
Non ?

Pour moi, les équations d'Hamilton Jacobi sont l'image des équations de Euler Lagrange par la transformée de Lagrange. Est ce que c'est juste de dire ça ?

[Anonyme007]

Pour moi, les équations d'Hamilton Jacobi sont l'image des équations de Euler Lagrange par la transformée de Lagrange. Est ce que c'est juste de dire ça ?

Pardon. Je corrige un mot :
Pour moi, les équations d'Hamilton Jacobi sont l'image des équations de Euler Lagrange par la transformée de Legendre. Est ce que c'est juste de dire ça ?

[ThM55]

Non, sûrement pas, cela n'a rien à voir. L'équation de Hamilton-Jacobi est une équation aux dérivées partielles que vérifie l'action exprimée en fonction des coordonnées. Elle n'est pas lié par une transformation de Legendre aux équations d'Euler-Lagrange, qui dérivent de la stationnarité de l'action autour d'une solution.

Si l'action S est exprimée en fonction des coordonnées (les limites supérieures de l'intégrale prises comme variables par exemple) et du temps t, elle s'écrit :



H(x,p) est la fonction de Hamilton. Il est déjà remarquable, rétrospectivement, que les impulsions soient remplacées par le gradient. Avec cette équation, on est au XIXème siècle romantique, à l'époque de Victor Hugo, presque un siècle avant la mécanique quantique!

L'équation de Schrödinger a la forme où A est un opérateur à déterminer. Si on cherche une solution de la forme dans laquelle est une constante (encore supposée inconnue) ayant les dimensions d'une action et très petite par rapport à l'action typique d'un mouvement classique, et si S dans l'exposant vérifie l'équation de Hamilton-Jacobi, on retrouve pour A l'opérateur hamiltonien avec les substitutions instituées par Schrödinger. C'est en ce sens que Hamilton-Jacobi est une limite de Schrödinger pour les petites longueurs d'ondes.

Il y a un procédé similaire pour passer des équations de l'optique ondulatoire (déduite de l'amplitude des ondes électromagnétiques) à l'optique géométrique, via une équation dite "équation eikonale", qui est une limite à petites longueurs d'ondes.

Tout cela est très classique et avait été expliqué il y a un siècle par Louis de Broglie. Il voyait des correspondance comme suit:

Optique ondulatoire -------(petites longueurs d'ondes)------------> Optique géométrique

Mécanique ondulatoire (quantique) --------(petites longueurs d'ondes)-----> mécanique classique

[Anonyme007]

Bonjour,

Non, sûrement pas, cela n'a rien à voir. L'équation de Hamilton-Jacobi est une équation aux dérivées partielles que vérifie l'action exprimée en fonction des coordonnées. Elle n'est pas lié par une transformation de Legendre aux équations d'Euler-Lagrange, qui dérivent de la stationnarité de l'action autour d'une solution.

Je voulais dire que, les équations d'Hamilton Jacobi sont l'image des équations de Euler Lagrange par la transformée de Legendre, dans le sens où, l'action peut s'écrire en fonction des variables de l'espace des phases :



Donc, les équations d'Euler-Lagrange vérifient :

et,

.
C'est à dire,

D'où, les équations d'Hamilton-Jacobi.
Donc, on peut bien dire que, les équations d'Hamilton Jacobi sont l'image des équations de Euler Lagrange par la transformée de Legendre. Est ce que ce n'est pas correct ?

Merci d'avance.

[ThM55]

Non. Tu confonds les équations de Hamilton (celles que tu as écrites), qui sont des équations différentielles du mouvement pour les coordonnées généralisées et l'équation de Hamilton-Jacobi , qui est une équation aux dérivées partielles pour l'action exprimée en fonction des coordonnées et du temps. C'est tout différent.

Si on a une solution des équations de hamilton, on peut calculer l'action pour une solution particulière comme . L'équation de Hamilton-Jacobi a pour but de calculer cette action pour un hamiltonien donné. A partir de l'expression analytique de l'action, on peut obtenir les solutions et dans certains cas particulier (dits intégrables), on peut drastiquement simplifier les équations de Hamilton par une transformation canonique puis en l'inversant obtenir les solutions.

[ThM55]

Donc au lieu de résoudre les équations de Hamilton si on les trouve trop compliquées, on cherche une solution générale de l'équation de Hamilton-Jacobi pour le hamiltonien donné. Cela peut sembler étrange de passer par une équation aux dérivées partielles alors que par l'autre méthode on traite des équations différentielles ordinaires, ce qui peut sembler plus simple. Mais dans les cas favorables l'expression de l'action obtenue dépend de N constantes arbitraires, si le système a N degrés de liberté, et l'action obtenue est la fonction génératrice de transformations canoniques qui remplacent les impulsion p_i par ces constantes; on obtient ainsi des équations triviales qui s'intègrent immédiatement et en inversant la transformation on a la solution des équations différentielles. On les obtient donc par une chemin détourné très différent.

Dans la plupart des cas cela ne marche pas aussi bien car on identifie moins que N constantes arbitraires. Mais dans bien des cas il suffit d'en avoir une ou deux pour simplifier fortement le travail.

J'appelle cela "les mathématiques romantiques": c'est très beau, très pittoresque et cela permet de trouver des solutions analytique pour des mouvements dans divers champs de potentiel de manière très élégante et rapide. En plus c'est contemporain de l'époque romantique en littérature et en musique mais j'ignore si c'est une coïncidence. Plus personne ne fait cela pour résoudre ces équations, sauf dans les cours (voir Landau et Lifchitz tome 1, qui l'utilise d'ailleurs aussi en relativité générale dans le tome 2): maintenant pour piloter des satellites ou des sondes spatiales on fait les calculs de manière numérique sur ordinateurs et non par des solutions analytiques.

Mais ce que j'ai voulu montrer en parlant de cette méthode c'est qu'après avoir appris la mécanique quantique dans la formulation de Schrödinger, on peut voir immédiatement le lien par une limite avec la mécanique classique: elle se réduit à l'équation de Hamilton-Jacobi, ce qui a inspiré de Broglie et après lui Schrödinger.

[albanxiii]

Anonyme007, merci d'arrêter de pourrir ce fil. Plus généralement, après avoir pourri les maths, vous allez vous y mettre en physique aussi ou bien ?