Hamiltonien et Théorème de Gauss Gravitationnel

[EttoreElMagnifico]

Bonjour Physiciens,

Deux questions totalement indépendantes à vous soumettre, si vous le voulez bien :

Je cherche une démonstration COMPLETE du théorème de Gauss gravitationnel : à savoir, comment démontrer l'équation de Poisson : ∆ φ ₌ 4 π G ρ où φ est la fonction telle que : G = -grad(φ) (oui je n'ai pas mis les flèches des vecteurs car j'ai perdu l'habitude de latex..). Je sais que c'est basé sur de la fonction de Green, de la fonction delta de Dirac etc, mais j'aimerais une démonstration bien formellement justifiée.

Ensuite, concernant le Hamiltonien : il est la transformée de Legendre du Lagrangien. Ma question est la suivante : la définition du Hamiltonien n'est évidemment pas un "hasard mathématiquement heureux" (si je puis dire), mais une combinaison d'un intérêt mathématique (simplicité formelle) et un tant soi peu physique (rapidité de la formulation des équations d'un problème, qui plus est fort d'équations du premier degré). Est-il donc simplement une formulation astucieuse à l'aide d'une fonction particulièrement efficace (la transformée de Legendre d'une fonction) d'un problème de physique bien connu (les équations de Lagrange, elles mêmes reformulation de la mécanique de Newton), conférant en même temps une formulation unique nommée "équations canoniques" ? Ou y a t-il un enseignement plus profond à tirer de la définition du Hamiltonien ?

Il est par exemple remarquable que le Hamiltonien puisse représenter l'énergie totale du système (même si cela est la conséquence de sa définition, le fait que le formalisme soit aussi limpide.. témoigne donc de la "déraisonnable" efficacité des mathématiques appliqués à la Physique !..). Il a également des applications comme la célèbre mécanique quantique et ses équations (Schröndinger, Dirac..)

Merci pour vos réponses éclairantes et éclairées !