Mouvement et énergie

[xyz]

Bonjour,
Ci-joint l'énoncé d'un exercice.
Ma question est la suivante:
Comment peut-on physiquement prévoir le mouvement du cerceau? si on prend comme systeme le cerceau, si jamais il décolle du sol, et comme il est initialement au repos et posé sur le sol, il arrivera un instant où son énergie potentielle (et son énergie cinétique) augmentera. Donc il va recevoir de l'énergie de l'extérieur, or les bagues glissent sans frottement et ne peuvent donc pas transmettre leur énergie puisqu'elles ne perdent pas l'énergie qu'elles possèdent au départ (conversion totale Ep en Ec). Donc il reste que la possibilité du cerceau de recevoir de l'énergie du sol. Or si on suppose que le sol est une dalle très massive, elle ne bougera pas et son énergie est elle aussi constante.
Donc comment expliquer tout ça, que le cerceau gagne de l'énergie de... apparemment personne ? (est ce qu'il faut passer à un niveau plus précis de la matière, à savoir l'energie totale en mentionnant l'energie interne du sol? mais même là je vois pas comment il y aura transfert d'énergie)
image.png
Merci d'avance
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[ThM55]

Une explication me vient à l'esprit, dites-moi si je me trompe. Si les anneaux sont en mouvement, ils voudraient bien "prendre la tangente" mais le cerceau les retient en exerçant une force centripète. Il n'y a pas de frottement mais il y a bien une liaison. Donc les anneaux exercent une réaction (centrifuge) et la résultante est bien une force dirigée vers le haut. Du moins tant que les anneaux ne sont pas descendus sous la hauteur R. Cela me semble un peu tiré par les cheveux, mais si l'idée est correcte il reste à faire les calculs.

[gts2]

Bonjour,

Quand le cerceau décolle du sol,
- Référentiel du cerceau : la vitesse reste perpendiculaire à la réaction du cerceau mais le référentiel n'est pas galiléen
- Référentiel du sol (galiléen) : la vitesse du cerceau n'est plus perpendiculaire à la réaction du cerceau, on n'a plus conservation Ec+Ep des bagues.

[ThM55]

L'énoncé ne demande pas d'analyser ce qui se passe quand le cerceau décolle. Il demande juste la condition pour que cela se produise.

Les anneaux partent de la hauteur h > R, disons que leur rayon fait un angle avec la verticale, de sorte que . Je suppose qu'ils partent du repos et accélèrent. On considère la vitesse angulaire instantanée entre l'instant de départ et celui où les anneaux atteignent la hauteur R (en dessous les forces s'inversent, cela ne nous intéresse pas). La force exercée par un anneau sur le cerceau est la réaction à la liaison, c'est . Si j'additionne les deux forces, leurs composantes horizontales s'annulent et je dois seulement additionner les composantes verticales vers le haut, ce qui donne . L'anneau ne décollera pas tant que cette force est inférieure à . Il décollera si elle est supérieure à à un instant quelconque avant que les anneaux soient à la hauteur R.

Il reste une inconnue, la fonction entre l'instant 0 et l'instant où . Il faut intégrer l'équation du mouvement en tenant compte de la liaison.

[A voir en vidéo sur Futura]

[xyz]

Bonjour gts2,
Dans votre raisonnement, vous supposez que le cerceau est en mouvement, mais à t=0 ce n'est pas le cas, qu'est ce qui engendre donc cet 'enclenchement'?
Merci

[xyz]

Bonjour ThM55,
Merci beaucoup pour votre réponse

[gts2]

L'énoncé ne demande pas d'analyser ce qui se passe quand le cerceau décolle. Il demande juste la condition pour que cela se produise.

Je répondais à "il arrivera un instant où son énergie potentielle (et son énergie cinétique) augmentera. Donc il va recevoir de l'énergie de l'extérieur..."

[gts2]

mais à t=0 ce n'est pas le cas, qu'est ce qui engendre donc cet 'enclenchement'?

@ThM55 a répondu à ce sujet, pour ce qui est du côté énergétique à t=0, la puissance reçue par le cerceau est nulle : il y a bien un dv/dt mais v est nulle, donc la puissance nécessaire, fournie par la chute des bagues, est nulle.

[ThM55]

Exact, d'ailleurs la force de liaison ne travaille pas, elle est perpendiculaire.
L'équation du mouvement est celle du pendule inversé, pour de grands angles (jusque ). En prenant l'angle a avec la verticale comme coordonnée, la contrainte d'être sur le cerceau est automatiquement vérifiée.

Je dois dire que j'ai quelques doutes sur ma proposition de solution car j'obtiens un critère qui ne dépend que de la hauteur instantanée des anneaux. Mais voici:

Si je pars du repos, initialement l'énergie cinétique d'un anneau est nulle et l'énergie potentielle est

Au temps t, on doit avoir (conservation de l'énergie totale):





La condition que j'ai énoncée plus haut peut ainsi s'exprimer uniquement en fonction de l'angle a(t) en substituant pour :



La condition serait donc que



Il faut refaire tous ces calculs pour vérifier. Je ne l'ai pas fait, donc une erreur a pu se glisser.

Le second membre tend vers l'infini pour t->0, ce qui est attendu: impossible que le cerceau décolle avec les anneaux immobiles. Ce qui est curieux c'est que cela tend vers 0 quand l'anneau arrive à la hauteur R (ou qui est d'ailleurs le maximum de sa vitesse). Mais à cet instant là les forces de réaction sont opposées et s'annulent, donc pas de décollement. Ce qu'on peut dire est que si on veut que le cerceau décolle pour un certain angle a', qui serait par exemple la moitié de il faut que la masse m soit supérieure à

A vérifier!

[gts2]

La condition que j'ai énoncée plus haut

Je pense que c'est elle qui est en cause : si on projette radialement le principe fondamental de la dynamique, on obtient

[stefjm]

Bonjour,
Par des considérations purement énergétique, j'arrive à



Ce qui me semble bien plus simple que tout ce qui a été proposé.
Je suis inquiet pour ma solution, du coup...

[Black Jack 2]

Bonjour,

Soit h la distance verticale entre le point de départ des bagues et leurs positions à l'instant t

A cet instant, on a (pour une des bagues) : mgh = 1/2.mv²
v² = 2mgh
La force centrifuge sur la bague est Fc = mv²/R = 2mgh/R

A cet instant, l'angle theta entre l'horizontale passant par le centre de l'anneau et la bague est tel que : (A-R-h) = R.sin(theta)
La composante verticale vers le haut de Fc est Fv = Fc.sin(theta) = 2mgh/R * (A-R-h)/R = 2mgh.(A-R-h)/R²

La composante verticale totale vers le haut due aux forces centrifuges sur les 2 bagues est : Fvt = 4 mgh.(A-R-h)/R²

Elle sera max lorsque g(h) = h*(A-R-h) sera maximale
Etude de signe de g'(h) --> g(h) est max pour h=(A-R)/2

On doit donc avoir : 4. mg.(A-R)/2 * (A-R-(A-R)/2)/R² >= M.g

mg.(A-R)²/R² >= M.g

m/M >= (R/(A-R))²

A vérifier.

[gts2]

J'obtiens quelque chose qui ressemble mais dans , h=R/2 est un cas particulier, est-ce logique ?

[stefjm]

C'est le cas où la réaction en bas est égale au poids des bagues.

[Black Jack 2]

Zut,

Sur le dessin trop petit, j'ai lu A au lieu de h.

Ma réponse corrigée, en tenant compte de cela est : m/M >= (R/(h-R))²

[gts2]

C'est ce que je trouve aussi mais avec un 2 en plus (les deux masses)

[gts2]

C'est le cas où la réaction en bas est égale au poids des bagues.

Dans le cas h=R/2 je trouve en effet que la réaction du bas vaut 2mg, mais dans ce cas cela doit décoller pour 2m>M or la formule diverge pour h=R/2

[stefjm]

Ce cas particulier m'a intrigué aussi.

Cela fait moins bizarre de l'écrire dans l'autre sens.


J'ai simplement écrit la somme des forces et la conservation de l'énergie.

[Amanuensis]

Il me semble que cela doit diverger pour h=R, car il est impossible que cela décolle pour h<R (la réaction pointe vers le bas). Par contre pour tout h>R, on peut imaginer qu'une masse suffisamment grande des bagues amène le décollage puisque la réaction sera proportionnelle à m, toutes choses égales par ailleurs. Cela élimine toutes les réponses n'ayant pas (h-R) au dénominateur.

Je comprends le dessin (trop petit) comme h la hauteur initiale des bagues et R le rayon du cerceau.

[gts2]

Donc on est en bas ; avec projection sur z vers le haut
une bague
cerceau
cerceau
(b=bague, c=cerceau,0=chassis)

[ThM55]

Les considérations énergétiques permettent souvent de prendre un raccourci.

C'est un curieux problème, je ne l'avais jamais vu avant. Toutefois, j'avais déjà vu des problèmes semblables avec une masse laissée partiellement libre à l'intérieur d'un mobile: par exemple un pendule fixé dans un camion. Il est souvent difficile de raisonner correctement sur ces problèmes.

[Amanuensis]

C'est un curieux problème, je ne l'avais jamais vu avant.

Même opinion. Pour le moment je n'arrive pas à me convaincre qu'il y aura décollage.

Je pars d'un raisonnement sur les forces radiales, pour h>R. Alors le poids des bagues se projette en une force centripète sur la radiale. À mesure que la vitesse de la bague augmente, l'accélération centrifuge est d'abord totalement contrée par la projection du poids. Puis on suppose que ce n'est plus suffisant, et alors la différence se traduit par une action centripète du cerceau, égale donc à la différence entre l'effet centrifuge de la rotation et l'effet centripète du poids. Cette action radiale centripète du cerceau sur la bague a pour réaction une force centrifuge de la bague sur le cerceau, qui a une composante verticale vers le haut, et qui est ce qui pourrait faire décoller l'ensemble.

La question est alors quelles sont les conditions sur h_0/R et m/M qui permettent d'atteindre une vitesse suffisante avant que les bagues arrivent à la hauteur R ?

Or la condition v²/R > g cos alpha (cos alpha pour noter la projection du poids sur la radiale) ne dépend pas des masses. Si elle peut être vérifiée, alors il y a une masse min des bagues qui amène le décollage. Mais peut-elle l'être ?

[gts2]

Bonjour,

En déterminant v² par le théorème de l'énergie cinétique, sauf erreur de calcul, on obtient pour l'action normale de la bague sur le cerceau l'indice 0 désignant le point de départ.

On obtient les graphes N(α) dans le cas α=0 ou π/4 :
nul.png
pi4.png

[Amanuensis]

Sur cette base, pour répondre au problème, faut projeter l'action normale sur la verticale (multiplication par cos alpha, il me semble), puis trouver le max, et c'est cette valeur max qui va intervenir pour le min de m/M tel que cela décolle!

Pas simple, et difficile à prédire avec des calculs "conceptuels", genre sur l'énergie...

[gts2]

C'est bien un problème de dynamique, le calcul énergétique permettent de trouver v²=f(α) de manière simple.

[ThM55]

Même opinion. Pour le moment je n'arrive pas à me convaincre qu'il y aura décollage.

Cela m'a troublé aussi au début mais je crois que c'est dû à des réminiscences de problèmes similaires dans lesquels le cerceau, ou plus généralement l'objet qui représente une variété de contrainte, est fixe (autrement dit de masse "infinie" ou très grande).

[Amanuensis]

Oui, par v²/2 = g R cos alpha_0 - g R cos alpha, la différence d'énergie potentielle.

[Amanuensis]

Ce qui est curieux c'est que la seule contrainte sur le point de départ semble d'être au-dessus de la ligne médiane. Donc que même avec alpha_0 très proche de pi/2 (= ligne médiane), le résultat semble indiquer qu'une masse suffisamment élevée des bagues fera décoller le cerceau. (J'obtiens une masse min en 1/cos²(alpha_0)...)

(Le (h_0-R) est "caché" dans cos(alpha_0).)

[stefjm]

Peut-être aussi une solution à base de conservation de la quantité de mouvement.

[Amanuensis]

Personne pour une synthèse?

La réponse correcte, et un raisonnement y aboutissant, ont été données, il me semble, par Black Jack, messages #12 et #15.