Bonsoir,
j'aimerai savoir si une onde est toujours solution d'une équation d'Alembert.
Si non, alors qu'est qui permet de reconnaitre une onde. Par exemple une grandeur vérifiant une équation de diffusion n'en n'est pas une (je crois), et qu'est ce qui nous permettrai alors de l'affirmer?
Merci d'avance et bonne soirée
Non, ce n'est pas toujours le cas. Ce sont en général des équations hyperboliques, selon la classification traditionnelle des équation aux dérivées partielles. L'équation de d'Alembert est le plus simple exemple d'équation hyperbolique linéaire. Parmi les équations linéaires, on peut mentionner celle de Klein-Gordon ou l'équation de Dirac.
Il y a aussi des équations non linéaires, par exemple pour la propagation de la lumière dans certains milieux ou bien pour les ondes gravitationnelles. D'autres ont des termes dispersifs (la vitesse de l'onde dépend alors de la fréquence, ce qui n'est pas le cas pour l'équation de d'Alembert), Klein-Gordon est un exemple simple. L'équation de Schrödinger est une sorte d'exception: elle n'est pas hyperbolique et pourtant elle présente des solutions qui sont des ondes progressives ou stationnaires. Elle ressemble à l'équation de diffusion mais ne présente pas de phénomène de diffusion, cela est dû au fait qu'elle est complexe (elle devient une équation de diffusion si on remplace le temps par un temps imaginaire). Mais elle est dispersive.
Certaines équations qui présentent à la fois une dispersion et une non-linéarité qui peut la compenser ont des solutions sous forme d'ondes "solitaires", qu'on appelle aussi des solitons. C'est le cas de l'équation de Korteweg-De Vries ou celle dite "Sine-Gordon".
Il y a donc une grande diversité d'EDP qui ont des solutions sous forme d'ondes.
Dernière modification par ThM55 ; 15/11/2024 à 23h16.
D'accord merci pour votre aide! Mais comment définit on une équation hyperbolique? Par exemple l'équation dS/dt = DdS/dx^2 n'en est pas une non si la diffusion n'est pas une onde? Celle de Laplace ΔS=0 en est-elle une?
La classification en équations elliptiques, paraboliques et hyperboliques concerne essentiellement les équations linéaires du second ordre (ordre maximal des dérivées). La majorité des EDP en physique sont du second ordre, pour des raisons physiques que je ne vais pas expliquer ici.
Les termes avec des dérivées seconde, pour deux variables idépendantes x et y et une fonction inconnue u, peuvent se mettre sous la forme suivante:
Les coefficients A, B, C peuvent être des constantes ou des fonctions réelles de x et y. On définitPar analogie avec la forme quadratique qui définit les coniques, on appelle équation:
- hyperbolique si
- elliptique si
- parabolique si
(on exclut le cas dégénéré où A=B=C=0, ce qui donne une équation du premier ordre). Il y a aussi des définitions pour plus de 2 variables, voir Wikipedia.
Pour l'équation de d'Alembert on a A=1, B=0 et C=1 (si on identifie x au temps et à l'espace) et donc
Pour l'équation de la diffusion (à une dimension) on a A=0,B=0,C=-1 et
La différence entre les deux c'est qu'avec d'Alembert on a une équation avec une dérivée seconde par rapport au temps. Le problème des valeurs initiales demande donc la donnée de u au temps initial mais aussi la donnée de sa dérivée par rapport au temps. Dans la méthode de résolution de d'Alembert, si on donne un profil initial u dont la dérivée par rapport au temps est nulle (par exemple une corde pincée et retenue immobile puis relachée au temps t=0), la solution est formée de deux ondes progressives partant dans les deux directions. L'équation de la diffusion demande seulement la donnée de u au temps initial, l'équation elle-même fournit la dérivée par rapport au temps.
