Démonstration et remarques à propos des transformations de Lorentz.

[GWCL]

Essai de démonstration des
transformations de Lorentz.

Gérard BESSE, Janvier 2025

Bonjour et Merci de bien vouloir me donner
votre avis sur ce texte.
Il représente mon humble effort personnel
de compréhension et reconstruction, à ma
manière et mon niveau, des formules de base de la théorie de la relativité.
J'espère ce texte suffisamment
compréhensible pour pouvoir susciter
quelque intérêt :

Soit donc un référentiel galiléen S1 et son
origine O1.
On est dans le vide, et c est la vitesse
de la lumière, constante dans ce milieu
pour tout système galiléen en translation
uniforme.
Ceci selon les lois de la relativité
restreinte.

Soit un second référentiel galiléen S2,
d'origine O2, en mouvement rectiligne
uniforme par rapport au premier.
Il se déplace à la vitesse v par rapport
à S1, et sur l'axe des x.

À l'instant t=0, O2 est en O1 et un signal
lumineux est envoyé en M (x1) sur S1,
suivant l'axe des x.
M est d'abscisse M(x2) sur S2.

Le signal est reçu sur S2 en M(x2,t2)
à l'instant t2, tel que :
t2= x2/c
Il est reçu en M(x1,t1) sur S1 à l'instant
t1= x1/c.

Le déplacement de O' par rapport à O
dans cet intervalle, entraîne sur S', ¥ t' :
x2 = x1-vt2 = x1-vx2/c,

D'où les coordonnées en M quand
le signal est reçu :
x1 = x2 (1+v/c)


Maintenant, soit dans le vide, un troisième
référentiel galiléen S3 qui se déplace dans
le sens inverse de l'axe des x, donc à la
vitesse -v par rapport à S1.
On envoie un signal lumineux dans ce sens
Inverse, sur la direction de l'axe des x.

De même on pose t= 0 quand au départ du
signal, O3 coïncide avec O. Si t3 est le temps
mis par ce signal pour arriver en M (x3, t3),
on a alors sur S3 et ¥t :
t3 = x3/c

Le même signal est reçu en M3 (x'1,t'1)
au temps du système S1 :
t'1 = x'1/c

¥t, on peut aussi écrire en abcisses, selon
le déplacement de O3 par rapport à O
pendant le temps de transit du signal:

O3 M3 = O3 O + O M3 or O O3 = -vt3

D'où :
x3 = vt3 + x'1
et comme t3 = x3/c, On a alors :
x'1 = x3 (1-v/c)

Si l'on suppose maintenant t= t',
l'isotropisme présupposé du continuum
implique de considérer ces deux
expériences comme inverses l'une de
l'autre.
On peut dès lors considérer M3 comme
le symétrique de M par rapport à O.
D'où pour S3 :

x3 = -x2 , et : x'1 = -x1

Ce qui entraîne :
x1 = x2 (1-v/c)

Et comme précédemment on avait pour
S2 :
x1 = x2 (1+v/c)

On en déduit par le produit des deux
égalités, si 1-v/c est non nul :
x1 carré = x2 carré (1- v2/c2)

Ou encore, si (1- v2/c2) est
supérieur à 0 :

x2 = x1/ 1- v2/c2)
et comme x/c = t
t2 = t1/ 1- v2/c2)

Si l'on pose pour simplifier,
b = 1/ 1- v2/c2)
On a pour tout instant t
x2 = bx1 et t2 = bt1

Ce qui signifie que le signal envoyé sur S1
depuis O1= O2 à l'instant t=0, arrive en M
à ces coordonnées respectives sur S1 et S2.

On peut aussi généralement écrire, pour
deux systèmes Galiléens S et S',
considérant les écarts :
x' = bx et t' = bt

Puis la longueur d'un segment correspondant
sur un système, au temps mis par la lumière
dans ce système, pour le parcourir d'une
extrémité à l'autre:
l' = bl et t' = bt

Maintenant, si l'on considère un segment
M1 M2 dont M1 serait en O' à l'instant t,
on a pour son autre extrémité M2, pour tout
instant t :
O'M2 = x' = b(O'O + OM2) d'où
x' = b(-vt + x)
x' = b(x-vt)
Ce qui donne, pour le temps, en divisant
par c, come x/c = t :
t' = b(t-vt/c)
t' = b(t-vx/c2)

REMARQUE :
Pour résoudre le problème, j'ai dû supposer
1-v2/c2 non nul.
Si 1-v2/c2 est nul, soit v=c, la résolution
est impossible.
Mathématiquement, sur R, il faut aussi que
1-v2/c2 soit positif pour en extraire la
racine. Ceci a donné la solution précédente.

Cependant sur C, l'ensemble des imaginaires,
il existerait encore des solutions si 1-v2/c2
était négatif, soit, si v, la vitesse de S' par
rapport à S, était supérieure à c.
Bien sûr, dans ce cas, on voit mal comment
S' pourrait recevoir le signal de O venant du
systeme S. Mais, soyons fou, à priori, pourquoi éliminer cette solution introduisant un autre espace temps ?
Formellement, on aurait alors deux autres
solutions pour 1-v2/c2 négatif, dans un
espace " imaginaire" en :
i v2/c2-1 et -i v2/c2-1 ou bien :
i I1-v2/c2I et -i I1-v2/c2I

Donc pour la réception du signal sur S2 :
x2 = x1/ i v2/c2 -1 , et
x2 = x1/-i v2/c2 -1

Plus généralement, on aurait pour les
transformations, si v supérieur à c :
x' = (x- vt)/ i v2/c2 -1 , et
x' = (x- vt)/ -i v2/c2 -1

En effet, la vitesse de la lumière est
considérée comme inaccessible à cause
du diviseur 1-v2/c2 nul, et des notions de
masse tendant vers l'infini. Pourquoi ne pas
considérer pour autant, l'existence possible
de systèmes pouvant se déplacer dans un
espace à cinq dimensions à des vitesses
supra-luminiques par rapport à S ?
La matière dans cet autre espace, n'aurait
alors pas forcément eu besoin de dépasser
la vitesse de la lumière pour y exister.
Ces systèmes seraient hôtes d'espaces à
cinq dimensions x,y,z,i,t à coordonnées
imaginaires comme le proposent ces calculs.
Bien sûr, la dimension cachée i de l'espace
temps, resterait à découvrir.

Suis-je en plein délire de science fiction,
ou bien dans une réflexion crédible ?
Ces autres solutions au problème ont
certainement été entrevues ou évoquées
par le grand Albert Einstein et d'autres.
Pourquoi en tous cas, ces solutions aux
transformations, ont-elles été délaissées ?

C'est poser là, j'en conviens, beaucoup de
questions, mais comme la peur du ridicule
ne tue pas...

Merci de me donner votre avis sur ce texte,
Il représente mon humble effort personnel
de compréhension et reconstruction, à ma
manière et mon niveau, des formules de la
théorie de la relativité.

Scientifiquement vôtre. 
-----

[GWCL]

Message d'erreur:

À la relecture, je m'aperçois que les signes racine de, ont disparu dans les dernières équations.
Il faut bien sûr, lire :

Formellement, on aurait alors deux autres
solutions pour 1-v2/c2 négatif, dans un
espace " imaginaire" en :
i √v2/c2-1 et -i √v2/c2-1 ou bien :
i √I1-v2/c2I et -i√I1-v2/c2I

Donc pour la réception du signal sur S2 :
x2 = x1/ i √v2/c2 -1 , et
x2 = x1/-i √v2/c2 -1

Plus généralement, on aurait pour les
transformations, si v supérieur à c :
x' = (x- vt)/ i √v2/c2 -1 , et
x' = (x- vt)/-i √v2/c2 -1 ...

Mes excuses.

[gts2]

Bonjour,

Vous avez un moteur TEX sur le site : il suffit de mettre [TEX] avant votre expression puis de fermer avec [TEX] mais un avec un / avant le T

Pour 1-v2/c2 cela donne 1-\frac{v^2}{c^2} :
et \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} donne

[GWCL]

Merci beaucoup. Je vais essayer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Daube]

Bonjour,

Une petite remarque, un référentiel n'a pas d'origine, par contre on le muni d'un repère qui a pour origine O.

Ensuite ce n'est pas très clair depuis quel point est envoyé le signal. Je suppose que c'est depuis O1 à t1=0?
Ensuite on ne sait pas ce qu'est ce point M. Est il fixe dans S1? Si oui, M n'est alors pas fixe dans S2.
Le calcul est alors faux pour t2.

[mach3]

Les transformations de Lorentz sont des transformations de coordonnées x,y,z,t vers x’,y’,z’,t’ telles que cela laisse invariante l’expression de la metrique de Minkowski : x²+y²+z²-t²=x’²+y’²+z’²-t’²

Comme cette expression ressemble légèrement à une métrique d’Euclide à un signe près, cela a donné lieu dans certains articles ou ouvrages à l’utilisation de coordonnées de la forme x,y,z,it (usage plutôt désuet de nos jours), la transformation de Lorentz est alors vue comme une simple rotation (les rotations sont changements de coordonnées qui laissent invariante l’expression de la metrique d’euclide), mais d’un angle imaginaire.

La spéculation décrite dans le premier message m’évoque cela, et on pourrait peut-être interpréter cela comme un espace-temps à 5 dimensions dont 2 de temps, à confirmer en regardant plus attentivement.
Un point à investiguer est le fait que seules les transformations selon x sont traitées, or en effectuant la même démarche suivant y et z on devrait se retrouver avec d’autres imaginaires.

Si une structure cohérente peut être obtenue ainsi, ce serait un objet mathématique amusant mais pas pour autant une théorie physique (il faudrait qu’elle fasse de nouvelles prédications vérifiables pour candidater à ce titre).

J’attire l’attention sur le fait que de telle spéculations n’ont pas trop leur place sur le forum (voir le point 6 de la charte), donc il faut rester prudent dans les intentions et affirmations.

m@ch3

[albanxiii]

Bonjour,

Il représente mon humble effort personnel

Dommage que cet effort n'ait pas été jusqu'à produire un texte lisible.

[stefjm]

La spéculation décrite dans le premier message m’évoque cela, et on pourrait peut-être interpréter cela comme un espace-temps à 5 dimensions dont 2 de temps, à confirmer en regardant plus attentivement.
Un point à investiguer est le fait que seules les transformations selon x sont traitées, or en effectuant la même démarche suivant y et z on devrait se retrouver avec d’autres imaginaires.

Par exemple les quaternions (1,i,j,k) ?
On trouve des sources allant de 1944 Paul Dirac à aujourd'hui.
https://www.google.com/search?q=quat...ion+de+lorentz

[GWCL]

Rebonjour, et merci bien pour vos réponses.
Je me suis aperçu, compte tenu des réponses, de Daube, de mach3 et albanxiii notamment, que mon texte était faux et pas clair.
Surmontant la honte d'avoir produit un résultat semblant correct, mais avec un raisonnement faux, j'ai travaillé à une autre formulation de ma recherche.
Je la soumets à votre lecture dans le message qui suit.

PS : Je ne suis pas arrivé à maîtriser le mode
[TEX].

[GWCL]

S et S' sont deux systèmes galiléens aux
repères d'origines respectives O et O'.
S' est en translation rectiligne uniforme
de vitesse v par rapport à S. Le mouvement
est sur l'axe des x que les deux systèmes
ont en commun.
On est dans le vide, et sur S, un signal
lumineux est émis à partir de O quand O'
est en O au temps t=0, dans le sens de v,
sur l'axe des x, sens positif.
Sur S, ce signal arrive à l'instant t en M*,
point fixe de coordonnée sur S,
x* = ct, y=0, z=0, t
Il arrive sur S' en M' d' abscisse sur S' :
x' = ct, y=0, z=0, t
En effet, les deux systèmes étant galiléens,
le même écart de temps local a défini les
mêmes distances locales, selon l'invariance
de c, sur chacun des deux systèmes.
Le point M', de coordonnées x' sur S', est
maintenant à l'instant t sur S, d'abscisse x
telle que, comme : OM'=OO'+O'M',
x = vt + x*
Et comme x* = x' = ct,
x = x' + vt
x = x' + vx'/c
x = x' (1+ v/c)

il en résulte, pour les différences en x entre
deux points M1(x1) et M2(x2) fixes de S :
∆x1 = ∆x'1 (1+v/c) = x2 - x1 pour M1M2

On reproduit le même dispositif, mais
cette fois avec un mouvement de S' par
rapport à S, de vitesse -v, et t=0 quand O
est en O'.
S' se déplace donc dans le sens des x
négatifs par rapport à S, et l'on envoie le
signal dans le sens des x positifs sur M*...
On a alors pour les deux mêmes points
de S :
∆x2 = ∆x'2 (1-v/c) = x2 - x1 pour M1M2

Le principe d'isotropie spatiale oblige à
considérer que les altérations des longueurs
ou segments ne peuvent dépendre du sens
de v sur l'axe des x.
De plus, les transformations concernant
les distances dans S par rapport à S', et
S' par rapport à S devront être réversibles,
donc ne pas dépendre du signe de v.
Ce qui fait poser l'égalité des distances :
|∆x2| = |∆x1| = L, et |∆x'2| = |∆x'1| = L'

Et par produit des deux égalités précédentes,
en prenant L pour simplifier :
Lcarré =  L' carré (1- v2/c2)
Soit, si 1-v2/c2 positif , une solution
dans R :
L' = L /√ (1- v2/c2)
Si l'on pose pour simplifier,
b = 1/ √ (1- v2/c2), on a :
L' = bL

Maintenant, si l'on considère un segment
M1 M2 de l'axe des x dont M1 serait en O'
à l'instant t si t=0 quand O était en O', on
a pour son autre extrémité M2(x), pour tout
instant t de S :
O'M2 = ∆x' = b(O'O + OM2) d'où
x' = b(-vt + x)
x' = b(x-vt)
Ce qui donne, pour le temps sur S', en
divisant par c, come x/c = t :
t' = b(t-vt/c)
t' = b(t-vx/c2)

REMARQUE :
Pour résoudre le problème, on a dû supposer
1-v2/c2 non nul.
Si 1-v2/c2 est nul, soit v=c, la résolution
est impossible.
Mathématiquement, sur R, il faut aussi que
1-v2/c2 soit positif pour en extraire la
racine. Ceci a donné la solution précédente.

Cependant sur C, l'ensemble des imaginaires,
il existerait encore des solutions si 1-v2/c2
était négatif, soit, si v, la vitesse de S' par
rapport à S, était supérieure à c.
Bien sûr, dans ce cas, on voit mal comment
S' pourrait recevoir le signal de O venant du
systeme S. Mais, soyons fou, à priori, pourquoi
éliminer cette solution introduisant un autre
espace temps ?
Formellement, s'il n' y a pas eu artefact de
calcul, on aurait alors deux autres solutions
pour 1-v2/c2 négatif, dans un espace
"imaginaire", en :
i √(v2/c2-1) et -i √(v2/c2-1) ou bien :
i √I1-v2/c2I et -i√|1-v2/c2I

Donc pour la réception du signal sur S2 :
x2 = x1/ i √(v2/c2 -1) , et
x2 = x1/-i √(v2/c2 -1)

Plus généralement, on aurait pour les
transformations, si v supérieur à c :
x' = (x- vt)/ i √(v2/c2 -1) , et
x' = (x- vt)/-i √(v2/c2 -1)

En effet, la vitesse de la lumière est
considérée comme inaccessible à cause
du diviseur 1-v2/c2 nul, et des notions de
masse tendant vers l'infini. Pourquoi ne pas
considérer pour autant, l'existence possible
de systèmes pouvant se déplacer dans un
espace à cinq dimensions à des vitesses
supra-luminiques par rapport à S ?
La matière dans cet autre espace, n'aurait
alors pas forcément eu besoin de dépasser
la vitesse de la lumière pour y exister.
Ces systèmes seraient hôtes d'espaces à
cinq dimensions x,y,z,i,t à coordonnées
imaginaires comme le proposent ces calculs.
Bien sûr, la dimension cachée i de l'espace
temps, resterait à découvrir.
Ces autres solutions au problème ont
certainement été entrevues ou évoquées
par le grand Albert Einstein et d'autres.
Pourquoi en tout cas, ces solutions aux
transformations, ont-elles été délaissées ?

Merci de me donner votre avis sur ce texte,
Il représente mon effort personnel de
compréhension et reconstruction, à ma
manière et mon niveau, des formules de la
théorie de la relativité.

[GWCL]

Pour la réponse de stefjm, je l'en remercie aussi, et vais regarder. Je crains quelque peu de ne plus avoir le niveau. Mes études en maths sont très loin. ��

[Daube]

Bonjour GWCL.

Désolé mais je ne comprends pas l'énoncé.
Je ne suis pas un spécialiste de la physique donc il faut prendre ce que je dis avec un regard critique
(mais comme tout ce qui est dit sur les forums )

Prenons le début:
"S et S' sont deux systèmes galiléens aux
repères d'origines respectives O et O'."
Je dirais plutôt: Soit S et S' deux référentiels galiléens munis respectivement des repères orthonormés (O,ux,uy,uz) et (O',ux',uy',uz') et des variable temporelle t et t'.

"S' est en translation rectiligne uniforme
de vitesse v par rapport à S. Le mouvement
est sur l'axe des x que les deux systèmes
ont en commun.
On est dans le vide, et sur S, un signal
lumineux est émis à partir de O quand O'
est en O au temps t=0, dans le sens de v,
sur l'axe des x, sens positif."
ok.

"Sur S, ce signal arrive à l'instant t en M*"
Là ça se corse. t est une variable. Si tu veux nommer un instant précis dans S (je pense qu'on dit plutôt dans S que sur S), il faut le nommer, par exemple t1 -> arrive à l'instant t=t1 en M*
A ce stade, étant donné que tu n'as pas introduit M* avant, on en conclu que le rayon se déplace vers les x positifs et qu'à l'instant t=t1 on note x1 la position sur (O,x) du rayon et on note M* l'évènement de coordonnée (x1,0,0,t1) dans S.

"point fixe de coordonnée sur S,
x* = ct, y=0, z=0, t"
Il faut déjà remplacer t par t1. Le rayon allant à la vitesse c dans S, on a donc x1=ct1 (j'ai pris des 1 plutôt que des *) ou encore M*=(ct,0,0,t1) dans S.

"Il arrive sur S' en M' d' abscisse sur S' :
x' = ct, y=0, z=0, t"
Pareil, on ne sait pas d'où sort le point M'. On suppose que c'est la position du rayon dans S' à l'instant ???? à quoi est égal t ici? t1'? Il y a t'il un rapport avec M*? Il y a t'il un rapport entre t1 et t1'?

Je m'arrête là plutôt que de faire des suppositions. Je pense qu'il faut être beaucoup plus clair. Je ne sais pas où tu souhaites en venir mais je suppose qu'on peut définir les points M* et M' avant même de parler du signal?

[GWCL]

Bonsoir stefjm.
J'ai regardé et trouvé ces textes à propos de quaternions. Si j'ai bien compris, la coordonnée en i de cet outil mathématique dit comme bien adapté aux transformations de Lorentz est une dimension sans rapport avec le nombre imaginaire.
J'ai cherché par ailleurs, concernant cette solution dans C aux transformations de Lorentz, et n'ai trouvé pour l'instant qu'une référence. C'est sur Wikipédia où il est écrit que seules les solutions dans R, qui présentent des solutions quantifiables, sont retenues. Ceci, sans même que soient citées ou écrites les solutions dans C.
Par ailleurs, j'espère avoir fait assez simple et correct dans mon nouvel essai de démonstration.
Cordialement.

[GWCL]

Je pense pourtant avoir défini et expliqué les points. M* est en x=ct sur son système et M' en
ct sur S'. Puis t a la même valeur sur S et S' bien sûr sinon j'aurais choisi des indices différents. Je dis que M* et M' sont fixes sur leurs systèmes. Ce qui donne les mêmes longueurs locales sur S et S' aux segments OM* et OM'. J'aurais pu prendret1 etc, mais j'ai trouvé plus simple de garder t pour les notations.
Après peu importe, puisque ¥t, le raisonnement
s'applique.
Merci pour votre effort de lecture et de compréhension. Cordialement.

[Daube]

Etant donné qu'on a des points fixes, mieux vaut noter les temps t1 et t1'. On note donc les points M* dans S de coordonnées (ct1,0,0) et M' dans S' de coordonnées (ct1',0,0) avec t1=t1'.
Notons que M* n'est pas fixe dans S' et que M' n'est pas fixe dans S.

"En effet, les deux systèmes étant galiléens,
le même écart de temps local a défini les
mêmes distances locales, selon l'invariance
de c, sur chacun des deux systèmes." Pourquoi "en effet"? Je ne vois pas ce qu'on a à expliquer dans ce qui précède? Pour ce qui est du terme "local", je suppose qu'on veut dire: "dans un référentiel"?

"Le point M', de coordonnées x' sur S', est
maintenant à l'instant t sur S, d'abscisse x
telle que, comme : OM'=OO'+O'M',"
Je pense qu'on peut enlever "maintenant". Ca devient complexe. On a le point M' fixe dans S' de coordonnée x1' et on veut connaître sa coordonnée à l'instant t1 dans S (je suppose que c'est bien t1 dans S? pas t1' dans S'?). Notons x1's sa coordonnées dans S à l'instant t1 dans S.
Ayant OM'= OO' + O'M' on a alors:

"x = vt + x*"
Pour donner les valeurs des longueurs de OM', OO' et O'M', il faut préciser dans quel référentiel on se place.
Je prends le cas où on se place dans S:
OM'=x1's
OO'=vt1
O'M'=? on peut donner la valeur grâce à la transformée de Lorentz mais ce n'est pas ce qu'on veut démontrer? Je vois x*1 qui apparait? que vient il faire? on ne parle pas de M*?

[GWCL]

Bonjour Daube.

Votre œil critique a décelé la faille. J'ai confondu
Les valeurs de S avec celles de S'. En aucun cas, on ne peut écrire pour S que O'M'=ct.
Du coup, j'ai encore tout faux, et n'ai plus qu'à revoir ma copie. Je dois rester vigilant sur les énoncés et mes notations.
Je vais tenter de revoir ma copie et vous tiens informé pour cet exercice que j'aimerais bien résoudre le plus simplement possible... Mais avec le bon raisonnement.
En voyage, c'est le chemin qui compte. Moins la destination.

Bonne journée à vous.

[ThM55]

La démonstration des transformations de Lorentz doit exister dans les bibliothèques et sur le Web à au moins un million d'exemplaires.

Il existe aussi une représentation matricielle à 5 dimensions du groupe de Poincaré. Elle est similaire à la représentation à 4 dimensions du groupe euclidien dans l'espace euclidien de dimension 3.

[Daube]

Bonjour, mais que cherchez vous GWCL exactement ?
Depuis plus d'un siècle que ces transformées existent, on trouve aujourd'hui plusieurs démonstrations de ces équations et elles ont été en un sens optimisées avec le temps. Elles sont simples et rigoureuses.
Voulez vous inventer votre propre expérience ? Ou en comprendre une et être capable de la refaire ?

[GWCL]

Bonjour Daube.
Bonne question. Je cherche à démontrer par moi-même et avec mes moyens, comme par exercice, ces bases de la théorie.
Je sais qu'il en existe ailleurs des démonstrations, que je ne comprends pas toujours bien, car, depuis une cinquantaine d'années, je n'ai plus fait de maths. J'essaie de trouver la méthode qui me permettra de bien comprendre, à moi, mais aussi à d'autres comme moi, ces équations.
Votre écoute, et ce forum m'aident dans ce sens. J'espère ne pas vous importuner.
Si vous le permettez, je pense avoir trouvé ma démonstration, et la soumettre à votre lecture.
Cordialement.

[Daube]

Bonjour,

Je pense que c'est très ambitieux. Pour moi il est plus facile ou moins difficile de comprendre une démonstration déjà existante, bien réfléchie et claire plutôt que d'en inventer une. Et si on souhaite en inventer une je pense que la première étape serait quand même d'en comprendre une qui existe déjà
Les démonstrations sont toujours un peu longue mais c'est inévitable. Il y a par exemple cette ci (la partie démonstration géométrique) https://www.techno-science.net/gloss...tz-page-2.html qui me semble être plutôt simple et bien expliquée. Elle part du postulat que la vitesse de la lumière est constante dans tous les référentiels galiléens.

[GWCL]

Merci beaucoup Daube.
Je vais regarder celà.
Voici, dans la suite, mon nouvel essai personnel de démonstration. Je pense cette fois-ci, tenir le bon bout. J'ai essayé de tenir compte de vos conseils.
Cordialement.

[GWCL]

S et S' sont deux référenciels galiléens
aux repères d'origines respectives O et O'.
S' est en translation rectiligne uniforme
de vitesse v par rapport à S. Le mouvement
est sur l'axe des x que les deux systèmes
ont en commun.
On est dans le vide, et sur S, un signal
lumineux est émis à partir de O quand O'
est en O au temps t=0, dans le sens de v,
sur l'axe des x, dans le sens positif.
Sur S, ce signal arrive à l'instant t1 en M1,
point fixe de S, de coordonnées sur S,
M1 (X1s,0,0,t1). On a donc dans S :
OM1 = X1s = ct1, y=0, z=0, t1

Ce signal arrive sur S' en M'1 d' abscisse
X'1s', à l'instant t1 de S', donc :
O'M'1 = X'1s' = ct1 = X1s et y=0, z=0, t1
En effet, les deux référenciels étant galiléens,
le même écart de temps propre dans chaque
système a défini les mêmes distances
propres. Ceci selon l'invariance de c, sur
chacun des deux systèmes.
Le point M'1, est à l'instant t1 sur S, d'abscisse
X'1s, telle que, si O's est a l'instant t1 la
position de O' dans S :
OM'1=OO'+O'M'1
Or dans cet intervalle de temps t1, O' s'est
déplacé de vt1 sur l'axe des x, d'où dans S :
X'1s = vt1 + O'M'1
Si v non nul, on a la relation dans S :
t1= 1/v(X'1s-O'M'1)
Par définition de t1,
O'M'1 = X'1s' = ct1 = X1s
On peut donc écrire, suivant cette valeur
de O'M'1 :
t1 = 1/v(X'1s - X'1s')

Dans S' le point M'1 est à l'instant t1 en :
X'1s' = ct1
X'1s' = c/v(X'1s-X'1s')
X'1s'(1+c/v) = c/v(X'1s)
(v/c)X'1s'(1+c/v) = X'1s
Soit :
X'1s' (1+v/c) = X'1s

Soit, pour simplifier les notations, pour
un point M fixe de S, x et x' étant ses
coordonnées en x, respectivement sur
S et S', la relation pour le signal reçu, quand
S' se déplace sur l'axe des x à la vitesse v
par rapport à S est :
x' (1+v/c) = x, y'=y=0, z'=z=0

Il en résulte, pour les différences en x
entre de tels points M1(x1) et M2(x2)
fixes de S, la relation entre S et S' :
∆x = (1+v/c) ∆x' = x2 - x1 pour M1M2
|x| représente le temps mis par la lumière
Pour parcourir ce segment. C'est donc la
mesure de la longueur de ce segment
sur ce système.

On reproduit le même dispositif, mais
cette fois avec un mouvement sur l'axe
des x de S' par rapport à S, de vitesse -v,
et t=0 quand O est en O'.
S' se déplace donc dans le sens des x
négatifs par rapport à S, et l'on envoie le
signal dans le sens des x positifs sur M1...
On a alors pour les deux mêmes points
de S :
∆x_= (1-v/c) ∆x'_ = x2 - x1 pour M1M2

Le principe d'isotropie spatiale oblige à
considérer que les altérations des longueurs
ou segments ne peuvent dépendre du sens
de v sur l'axe des x.
De plus, les transformations concernant
les distances dans S par rapport à S', et
S' par rapport à S devront être réversibles,
donc ne pas dépendre du signe de v.
Ce qui fait poser l'égalité des distances :
|x| = |x_ | = L , et |x'| = |x'_| = L'

Et par produit des deux égalités précédentes,
en prenant L pour simplifier :
Lcarré =  L' carré (1- v2/c2)
Soit, si 1-v2/c2 positif , une solution
dans R :
L' = L / √(1- v2/c2)
Si l'on pose pour simplifier,
b = 1/ √(1- v2/c2), on a :
L' = bL

Maintenant, si l'on considère un segment
M1 M2 de l'axe des x dont M1 serait en O'
à l'instant t si t=0 quand O était en O', on
a pour son autre extrémité M2(x), pour tout
instant t de S :
O'M2 = x' = b(O'O + OM2) d'où
x' = b(-vt + x)
x' = b(x-vt)
Ce qui donne, pour le temps sur S', en
divisant par c, comme x/c = t :
t' = b(t-vt/c)
t' = b(t-vx/c2)

REMARQUE :
Pour résoudre le problème, on a dû supposer
1-v2/c2 non nul.
Si 1-v2/c2 est nul, soit v=c, la résolution
est impossible.
Mathématiquement, sur R, il faut aussi que
1-v2/c2 soit positif pour en extraire la
racine. Ceci a donné la solution précédente.

Cependant sur C, l'ensemble des imaginaires,
il existerait encore des solutions si 1-v2/c2
était négatif, soit, si v, la vitesse de S' par
rapport à S, était supérieure à c.
Bien sûr, dans ce cas, on voit mal comment
S' pourrait recevoir le signal de O venant du
systeme S. Mais, soyons fou, à priori, pourquoi
éliminer cette solution introduisant un autre
espace temps ?
Formellement, s'il n' y a pas eu artefact de
calcul, on aurait alors deux autres solutions
pour 1-v2/c2 négatif, dans un espace
"imaginaire", en :
i √(v2/c2-1) et -i √(v2/c2-1) ou bien :
i √I1-v2/c2I et -i √|1-v2/c2I

Donc pour la réception du signal sur S2 :
x2 = x1/ i √(v2/c2 -1) , et
x2 = x1/-i √(v2/c2 -1)

Plus généralement, on aurait pour les
transformations, si v supérieur à c :
x' = (x- vt)/ i √(v2/c2 -1) , et
x' = (x- vt)/-i √(v2/c2 -1)

En effet, la vitesse de la lumière est
considérée comme inaccessible à cause
du diviseur 1-v2/c2 nul, et des notions de
masse tendant vers l'infini. Pourquoi ne pas
considérer pour autant, l'existence possible
de systèmes pouvant se déplacer dans un
espace à cinq dimensions à des vitesses
supra-luminiques par rapport à S ?
La matière dans cet autre espace, n'aurait
alors pas forcément eu besoin de dépasser
la vitesse de la lumière pour y exister.
Ces systèmes seraient hôtes d'espaces à
cinq dimensions x,y,z,i,t à coordonnées
imaginaires comme le proposent ces calculs.
Bien sûr, la dimension cachée i de l'espace
temps, resterait à découvrir.
Ces autres solutions au problème ont
certainement été entrevues ou évoquées
par le grand Albert Einstein et d'autres.
Pourquoi en tout cas, ces solutions aux
transformations, ont-elles été délaissées ?

Merci de me donner votre avis sur ce texte,
Il représente mon effort personnel de
compréhension et reconstruction, à ma
manière et mon niveau, des formules de la
théorie de la relativité.

[gts2]

Juste une remarque de forme : c'est illisible : utilisez déjà les indices et exposants (bouton x₂ et x²) et pour les "trucs" compliqués Latex (bouton blanc pas très loin de x²), cela permettra d'éviter les .

[GWCL]

Desolé gts2.
Il faut certainement être sur PC pour y voir clair.
Sur mon téléphone Android, je ne trouve rien de ces boutons etfonctionnalités. Comment faites-vous ? Le texte est-il si illisible en l'état ?
Cordialement.

[Daube]

Bonjour,
J'avais ajouté des s ou s' afin de garder vos notations et de bien savoir à chaque fois dans quel référentiel on se place.
Mais dans votre cas je pense qu'il faudrait nommer les points et utiliser les primes pour les coordonnées dans S' (et sans prime dans S)

Mais gardons vos notations pour cette fois-ci avec M et M'.
Quand vous parlez de je suppose que vous parlez d'une longueur. Il est alors important de préciser dans quel référentiel on se place. Pour rappel, les longueurs dépendent du référentiel dans lequel on les mesure.
Dans votre cas, vous vous placez dans S'.
. Comme on a choisit , on a alors
Je ne comprends pas la phrase d'après mais il n'y a rien à justifier. C'est comme si on disait x=y donc x=y. Il n'y a rien à expliquer.

Pour les lignes qui suivent, vous vous placez dans S puis vous remplacez la longueur par sa longueur dans S' ce qui donne donc une erreur.

PS: pour utiliser les tex il faut par exemple écrire [tex]X_1[ /tex] pour (sans l'espace avant /tex) Et si l'indice est plus long il faut utiliser des {} par exemple [tex]X_{1s}[ /tex] pour

J'ai du mal à penser que cette disposition des points puissent aboutir à des formules.

[GWCL]

Bonsoir Daube.
Les notations en signes sont totalement brouillées et illisibles pour moi dans votre texte. C'est peut-être ce qui est arrivé a gts2 pour mon texte.
Je n'arrive pas à voir de quoi vous parlez. Cependant quand je remplace une valeur de S par une valeur dans S', c'est que ces valeurs sont égales. Dans ce cas, je ne vois pas d'erreur. Si a de S égale a' de S', où est l'erreur si l'on remplace a par a' dans un calcul ?
J' aimerais bien savoir de quelle partie de mon texte vous parlez, cependant, pour chaque ensemble de calcul, il me semble que je précise à chaque fois le système de référence.
Cordialement.

[GWCL]

S'il s'agit de la valeur t1, on a t1 dans S égale t1 mesuré dans S'. C'est comme si sur chaque système chaque observateur avait mesure ce temps sur sa montre. Par contre, bien sûr, on ne pourrait pas écrire que t1 de S a la même valeur vue de S'.
On peut donc se servir de cette valeur de S pour la remplacer dans une formule concernant S'. Ceci de même pour X1s de S qui est égale à X'1s' de S', cette valeur est la même sur S que sur S'.
Cordialement.

[gts2]

Désolé gts2.

Je suis surtout désolé pour vous, on va avoir du mal à commenter.

Sur mon téléphone Android, je ne trouve rien de ces boutons etfonctionnalités. Comment faites-vous ?

Je clique sur "répondre" ou "réponse rapide" puis "aller en mode avancé"
Sinon cela peut se faire à la main : balise [SUB] [SUP] [TEX]

Le texte est-il si illisible en l'état ?

Exemple :

En oubliant les carrés est plus lisible.

[Daube]

Bonjour,

Je vais recopier mon texte sans utiliser les balises tex.
Par contre contrairement à mon message d'origine je vais utiliser des primes pour les coordonnées dans S' et sans prime dans S.
M et M' deviennent donc M1 et M2 ainsi que leur coordonnées (x1,y1,z1,t1) pour M1 dans S et (x2',y2',z2',t2') pour M2 dans S'. Et O et O' deviennent O1 et O2.

Quand vous parlez de O2M2 je suppose que vous parlez d'une longueur. Il est alors important de préciser dans quel référentiel on se place. Pour rappel, les longueurs dépendent du référentiel dans lequel on les mesure.
Dans votre cas, vous vous placez dans S'.
O2M2=x2'=c.t2'. Comme on a choisit t2'=t1, on a alors c.t2'=c.t1=x1.
Je ne comprends pas la phrase d'après mais il n'y a rien à justifier. C'est comme si on disait x=y donc x=y. Il n'y a rien à expliquer.

Pour les lignes qui suivent, vous vous placez dans S puis vous remplacez la longueur O2M2 par sa longueur dans S' ce qui donne donc une erreur.

[mach3]

Exemple : Pièce jointe 504007

En oubliant les carrés est plus lisible.

Je ne vois pas ces carrés en ce qui me concerne... je ne sais pas trop d'où cela vient. Je ne comprenais pas pourquoi il était dit que c'était illisible (et je trouvais ça un peu sévère), mais forcément si le texte est vu bourré de carrés...

Est-il possible pour GWCL de mettre une capture de ce qu'il voit du message #25 de Daube ?

m@ch3