Démonstration et remarques à propos des transformations de Lorentz.

[ThM55]

C'est toujours une bonne idée de retrouver les démonstrations soi-même. En se contentant de lire une démo, on ne fait pas réellement le travail et on n'assimile pas vraiment la matière.

Concernant ces 5 dimensions, avec une qui serait imaginaire, je dois dire que je ne comprends pas. Comment cela pourrait donner une vitesse > c?

Comme tu le fais remarquer, les particules ne peuvent pas passer la barrière de vitesse c. Cependant, la relativité restreinte n'exclut pas a priori l'existence de particules qui auraient toujours eu une vitesse v > c. Dans leur cas, il est impossible de les faire franchir la barrière pour redescendre sous la vitesse c. C'est ce qu'on appelle des tachyons (attention! rien à voir avec les c****ries des gourous guérisseurs charlatans qui ont adopté ce vocabulaire, à fuir si vous tombez dessus sur le web ou les réseaux sociaux!). On peut considérer les tachyons comme des particules ordinaires qui auraient une masse au repos purement imaginaire (), ce qui reste cohérent puisqu'elles ne sont jamais au repos. Il n'y a aucune preuve expérimentale de leur existence. Voici un article qui résume la question expérimentale et donne des références: https://arxiv.org/pdf/2204.12017 . Il existe un fameux paradoxe avec les tachyons: si on peut les émettre et les détecter à volonté et en faire des véhicules d'information, on pourrait les utiliser pour violer la causalité, en envoyant de l'information dans le passé, donc recevoir de l'information du futur. Si quelque chose, par exemple une indétermination, empêche de les utiliser pour transmettre de l'information, alors leur existence ne remet pas forcément en cause la causalité. En théorie quantique, leur existence cause d'autres soucis, une instabilité des états quantiques. C'est pourquoi peu de physiciens croient leur existence plausible, sur base de ce que l'on connait actuellement. Mais la physique est une science expérimentale, c'est pourquoi les expériences pour les détecter gardent leur intérêt, en gardant à l'esprit, comme disait Carl Sagan, que toute affirmation extraordinaire nécessite des preuves extraordinaires.
-----

[GWCL]

Bonsoir.
Effectivement, à la réception des différentes réponses, je comprends pourquoi mon texte a été trouvé illisible. J'avais pensé d'abord qu'il était jugé incompréhensible.
Or nombre de lignes de texte sont littéralement illisibles.
J'essaie ci-joint de vous en transmettre un aperçu.
Cordialement.

[GWCL]

Et une autre saisie d'écran.

[GWCL]

Merci à ThM55 pour cette réponse concernant les tachyons. Je vais consulter le lien en question.

[mach3]

Il semblerait que le forum est affiché en mode sombre sur ces dernières captures, ce qui explique que le latex ne soit pas lisible : ce sont images générées par un serveur externe à partir du code, avec des caractères noirs sur fond transparent.
En mode clair ça sera lisible.

m@ch3

[GWCL]

Pour la réponse de Daube.
Mon essai de démonstration part de l'image d'un train.
Imaginons un instant qu'un observateur en mesure la longueur quand celui-ci est immobile par rapport au sol. Il le ferait par exemple, en mesurant le temps mis par un rayon lumineux pour parcourir d'un bout à l'autre ce train. Il obtiendrait l'écart de temps t1. Ceci donnerait valeur ct1 pour la longueur du train au repos par rapport au sol, dans le système S.
Puis, ce train évoluerait à la vitesse v par rapport au sol. Sa longueur dans ce mouvement relatif, mesurée dans ce système S' par l' observateur dans le train, aurait aussi la valeur ct1. La mesure de la longueur du train constitue le même événement physique, il me semble.La longueur du train mesurée au repos par rapport à son système est la même. Quant à c, c'est une constante pour la relativité.
L'artifice de la présente démonstration consiste justement à dire cette égalité de la longueur du train d'un système à l'autre. Dire OM1= O'M'1 pose cette égalité Ici. Puis la démonstration est comme si on écrivait la position de la tête du train par rapport au dernier wagon au repos, puis par rapport au sol quand il avance.
Ensuite dans les calculs, je ne vois pas d'erreur formelle à remplacer une valeur par une autre égale, même si elles émanent de deux systèmes différents. Remplacer en général par exemple Xs de S par X's' de S' ne me pose aucun problème si XS = X's'.
Dans le choix des indices, les ' se référent aux valeurs dans S' et les indices s ou s' , comme X1s, par rapport à X'1s' montrent aussi ces références. Ainsi, X1 est pour M1 dans S et X'1s' est pour la valeur de O'M'1 dans S'.
Cordialement.

[GWCL]

Essai en mode clair :

S et S' sont deux référenciels galiléens
aux repères d'origines respectives O et O'.
S' est en translation rectiligne uniforme
de vitesse v par rapport à S. Le mouvement
est sur l'axe des x que les deux systèmes
ont en commun.
On est dans le vide, et sur S, un signal
lumineux est émis à partir de O quand O'
est en O au temps t=0, dans le sens de v,
sur l'axe des x, dans le sens positif.
Sur S, ce signal arrive à l'instant t1 en M1,
point fixe de S, de coordonnées sur S,
M1 (X1s,0,0,t1). On a donc dans S :
OM1 = X1s = ct1, y=0, z=0, t1

Ce signal arrive sur S' en M'1 d' abscisse
X'1s', à l'instant t1 de S', donc :
O'M'1 = X'1s' = ct1 = X1s et y=0, z=0, t1
En effet, les deux référenciels étant galiléens,
le même écart de temps propre dans chaque
système a défini les mêmes distances
propres. Ceci selon l'invariance de c, sur
chacun des deux systèmes.
Le point M'1, est à l'instant t1 sur S, d'abscisse
X'1s, telle que, si O's est a l'instant t1 la
position de O' dans S :
OM'1=OO'+O'M'1
Or dans cet intervalle de temps t1, O' s'est
déplacé de vt1 sur l'axe des x, d'où dans S :
X'1s = vt1 + O'M'1
Si v non nul, on a la relation dans S :
t1= 1/v(X'1s-O'M'1)
Par définition de t1,
O'M'1 = X'1s' = ct1 = X1s
On peut donc écrire, suivant cette valeur
de O'M'1 :
t1 = 1/v(X'1s - X'1s')

Dans S' le point M'1 est à l'instant t1 en :
X'1s' = ct1
X'1s' = c/v(X'1s-X'1s')
X'1s'(1+c/v) = c/v(X'1s)
(v/c)X'1s'(1+c/v) = X'1s
Soit :
X'1s' (1+v/c) = X'1s

Soit, pour simplifier les notations, pour
un point M fixe de S, x et x' étant ses
coordonnées en x, respectivement sur
S et S', la relation pour le signal reçu, quand
S' se déplace sur l'axe des x à la vitesse v
par rapport à S est :
x' (1+v/c) = x, y'=y=0, z'=z=0

Il en résulte, pour les différences en x
entre de tels points M1(x1) et M2(x2)
fixes de S, la relation entre S et S' :
∆x = (1+v/c) ∆x' = x2 - x1 pour M1M2
|x| représente le temps mis par la lumière
Pour parcourir ce segment. C'est donc la
mesure de la longueur de ce segment
sur ce système.

On reproduit le même dispositif, mais
cette fois avec un mouvement sur l'axe
des x de S' par rapport à S, de vitesse -v,
et t=0 quand O est en O'.
S' se déplace donc dans le sens des x
négatifs par rapport à S, et l'on envoie le
signal dans le sens des x positifs sur M1...
On a alors pour les deux mêmes points
de S :
∆x_= (1-v/c) ∆x'_ = x2 - x1 pour M1M2

Le principe d'isotropie spatiale oblige à
considérer que les altérations des longueurs
ou segments ne peuvent dépendre du sens
de v sur l'axe des x.
De plus, les transformations concernant
les distances dans S par rapport à S', et
S' par rapport à S devront être réversibles,
donc ne pas dépendre du signe de v.
Ce qui fait poser l'égalité des distances :
|x| = |x_ | = L , et |x'| = |x'_| = L'

Et par produit des deux égalités précédentes,
en prenant L pour simplifier :
Lcarré = L' carré (1- v2/c2)
Soit, si 1-v2/c2 positif , une solution
dans R :
L' = L / √(1- v2/c2)
Si l'on pose pour simplifier,
b = 1/ √(1- v2/c2), on a :
L' = bL

Maintenant, si l'on considère un segment
M1 M2 de l'axe des x dont M1 serait en O'
à l'instant t si t=0 quand O était en O', on
a pour son autre extrémité M2(x), pour tout
instant t de S :
O'M2 = x' = b(O'O + OM2) d'où
x' = b(-vt + x)
x' = b(x-vt)
Ce qui donne, pour le temps sur S', en
divisant par c, comme x/c = t :
t' = b(t-vt/c)
t' = b(t-vx/c2)

REMARQUE :
Pour résoudre le problème, on a dû supposer
1-v2/c2 non nul.
Si 1-v2/c2 est nul, soit v=c, la résolution
est impossible.
Mathématiquement, sur R, il faut aussi que
1-v2/c2 soit positif pour en extraire la
racine. Ceci a donné la solution précédente.

Cependant sur C, l'ensemble des imaginaires,
il existerait encore des solutions si 1-v2/c2
était négatif, soit, si v, la vitesse de S' par
rapport à S, était supérieure à c.
Bien sûr, dans ce cas, on voit mal comment
S' pourrait recevoir le signal de O venant du
systeme S. Mais, soyons fou, à priori, pourquoi
éliminer cette solution introduisant un autre
espace temps ?
Formellement, s'il n' y a pas eu artefact de
calcul, on aurait alors deux autres solutions
pour 1-v2/c2 négatif, dans un espace
"imaginaire", en :
i √(v2/c2-1) et -i √(v2/c2-1) ou bien :
i √I1-v2/c2I et -i √|1-v2/c2I

Donc pour la réception du signal sur S2 :
x2 = x1/ i √(v2/c2 -1) , et
x2 = x1/-i √(v2/c2 -1)

Plus généralement, on aurait pour les
transformations, si v supérieur à c :
x' = (x- vt)/ i √(v2/c2 -1) , et
x' = (x- vt)/-i √(v2/c2 -1)

En effet, la vitesse de la lumière est
considérée comme inaccessible à cause
du diviseur 1-v2/c2 nul, et des notions de
masse tendant vers l'infini. Pourquoi ne pas
considérer pour autant, l'existence possible
de systèmes pouvant se déplacer dans un
espace à cinq dimensions à des vitesses
supra-luminiques par rapport à S ?
La matière dans cet autre espace, n'aurait
alors pas forcément eu besoin de dépasser
la vitesse de la lumière pour y exister.
Ces systèmes seraient hôtes d'espaces à
cinq dimensions x,y,z,i,t à coordonnées
imaginaires comme le proposent ces calculs.
Bien sûr, la dimension cachée i de l'espace
temps, resterait à découvrir.
Ces autres solutions au problème ont
certainement été entrevues ou évoquées
par le grand Albert Einstein et d'autres.
Pourquoi en tout cas, ces solutions aux
transformations, ont-elles été délaissées ?

Merci de me donner votre avis sur ce texte,
Il représente mon effort personnel de
compréhension et reconstruction, à ma
manière et mon niveau, des formules de la
théorie de la relativité.

[GWCL]

Bien sûr, l'image précédente, en #36, du train, serait, un peu bizarrement, à placer dans le vide, considérant la vitesse de la lumière.
Imaginer une locomotive spatiale avec sa suite de wagons, n'est pas pour me déplaire...

[Daube]

Bonjour,
La mesure de la longueur d'un corps dans un référentiel galiléen dépend de la vitesse de ce corps dans ce référentiel. Quand ce corps est au repos on trouvera toujours la même longueur, de même que si il va à une vitesse v1, on trouvera toujours la même longueur.

Si un wagon à une longueur propre l0 vous toujours dire que l0=l0.
Dans l'exemple du wagon et du quai l'un et l'autre sont en mouvement l'un par rapport à l'autre. Si on a sur le quai un point O et un point M distant de l0 dans le référentiel du quai. Et un wagon allant à la vitesse v1 avec O' à l'arrière du wagon et M2 à l'avant.
Que ce soit dans le référentiel du quai ou du wagon, vous n'aurez jamais OM1 = O'M2.

[GWCL]

Bonjour Daube.
Cette fois-ci, permettez moi d'insister, mais selon mes indexations, justement, quand je pose l'égalité de ces longueurs, chacune est mesurée au repos dans son système.
Ainsi, OM1 mesuré sur S a la même valeur que O'M'1 mesuré sur S'. C'est ce que j'écris en posant ces valeurs : X1s = X'1s'. Je ne dis rien d'autre.
À la limite, on pourrait dire que l'on rapporte simplement sur S', la longueur du train mesurée sur S.
Cordialement.

[GWCL]

Puis la suite serait comme si l'on regardait sur le quai où arrive la tête du train a l'instant t1 de S, on est toujours sur S.
Puis on compare avec les marques prises sur le quai de la longueur du train quand il était à l'arrêt. On est sur S...
Cordialement.

[GWCL]

J'ai repris le texte, avec cette fois, l'indexation de Daube quant au point M'1.
Je le note donc ici M2.

[GWCL]

S et S' sont deux référentiels galiléens
aux repères d'origines respectives O et O'.
S' est en translation rectiligne uniforme
de vitesse v par rapport à S. Le mouvement
est sur l'axe des x que les deux systèmes
ont en commun.
On est dans le vide, et sur S, un signal
lumineux est émis à partir de O quand O'
est en O au temps t=0, dans le sens de v,
sur l'axe des x, dans le sens positif.
Sur S, ce signal arrive à l'instant t1 en M1,
point fixe de S, de coordonnées sur S,
M1 (X1s,0,0,t1). On a donc dans S :
OM1 = X1s = ct1, y=0, z=0, t1

Ce signal arrive sur S' en M2 d' abscisse
X2s', à l'instant t1 de S', donc sur S' :
O'M2 = X2s' = ct1 = X1s et y=0, z=0, t1
En effet, les deux référentiels étant galiléens,
le même écart de temps propre dans chaque
système a défini les mêmes distances
propres. Ceci selon l'invariance de c, sur
chacun des deux systèmes.

Sur S, le point M2, est à l'instant t1 sur S,
d'abscisse X2s, telle que, si O' est a l'instant
t1 la position de O :
OM2=OO'+O'M2
Or dans cet intervalle de temps t1, O' s'est
déplacé de vt1 sur l'axe des x, d'où dans S :
X2s = vt1 + O'M2
Si v non nul, on a la relation dans S :
t1= 1/v(X2s-O'M2)
Par définition de t1,
O'M2 = X2s' = ct1 = X1s
On peut donc écrire, suivant cette valeur
de O'M'1 :
t1 = 1/v(X2s - X2s')

Dans S' le point M2 est à l'instant t1 en :
X2s' = ct1
X2s' = c/v(X2s-X2s')
X2s'(1+c/v) = c/v(X2s)
(v/c)X2s'(1+c/v) = X2s
Soit :
X2s' (1+v/c) = X2s

Soit, pour simplifier les notations, pour
un point M fixe de S, x et x' étant ses
coordonnées en x, respectivement sur
S et S', la relation pour le signal reçu, quand
S' se déplace sur l'axe des x à la vitesse v
par rapport à S est :
x' (1+v/c) = x, y'=y=0, z'=z=0

Il en résulte, pour les différences en x
entre de tels points M1(x1) et M2(x2)
fixes de S, la relation entre S et S' :
x = (1+v/c) x' = x2 - x1 pour M1M2
|x| représente le temps mis par la lumière
Pour parcourir ce segment. C'est donc la
mesure de la longueur de ce segment
sur ce système.

On reproduit le même dispositif, mais
cette fois avec un mouvement sur l'axe
des x de S' par rapport à S, de vitesse -v,
et t=0 quand O est en O'.
S' se déplace donc dans le sens des x
négatifs par rapport à S, et l'on envoie le
signal dans le sens des x positifs sur M1...
On a alors pour les deux mêmes points
de S :
x_= (1-v/c) x'_ = x2 - x1 pour M1M2

Le principe d'isotropie spatiale oblige à
considérer que les altérations des longueurs
ou segments ne peuvent dépendre du sens
de v sur l'axe des x.
De plus, les transformations concernant
les distances dans S par rapport à S', et
S' par rapport à S devront être réversibles,
donc ne pas dépendre du signe de v.
Ce qui fait poser l'égalité des distances :
|x| = |x_ | = L , et |x'| = |x'_| = L'

Et par produit des deux égalités précédentes,
en prenant L pour simplifier :
Lcarré =  L' carré (1- v2/c2)
Soit, si 1-v2/c2 positif , une solution
dans R :
L' = L / √(1- v2/c2)
Si l'on pose pour simplifier,
b = 1/ √(1- v2/c2), on a :
L' = b.L

Maintenant, si l'on considère un segment
M1 M2 de l'axe des x dont M1 serait en O'
à l'instant t si t=0 quand O était en O', on
a pour son autre extrémité M2(x), pour tout
instant t de S :
O'M2 = x' = b(O'O + OM2) d'où
x' = b(-vt + x)
x' = b(x-vt)
Ce qui donne, pour le temps sur S', en
divisant par c, comme x/c = t :
t' = b(t-vt/c)
t' = b(t-vx/c2)

REMARQUE :
Pour résoudre le problème, on a dû supposer
1-v2/c2 non nul.
Si 1-v2/c2 est nul, soit v=c, la résolution
est impossible.
Mathématiquement, sur R, il faut aussi que
1-v2/c2 soit positif pour en extraire la
racine. Ceci a donné la solution précédente.

Cependant sur C, l'ensemble des imaginaires,
il existerait encore des solutions si 1-v2/c2
était négatif, soit, si v, la vitesse de S' par
rapport à S, était supérieure à c.
Bien sûr, dans ce cas, on voit mal comment
S' pourrait recevoir le signal de O venant du
systeme S. Mais, soyons fou, à priori, pourquoi
éliminer cette solution introduisant un autre
espace temps ?
Formellement, s'il n' y a pas eu artefact de
calcul, on aurait alors deux autres solutions
pour 1-v2/c2 négatif, dans un espace
"imaginaire", en :
i √(v2/c2-1) et -i √(v2/c2-1) ou bien :
i √I1-v2/c2I et -i √|1-v2/c2I

Donc pour la réception du signal sur S2 :
x2 = x1/ i √(v2/c2 -1) , et
x2 = x1/-i √(v2/c2 -1)

Plus généralement, on aurait pour les
transformations, si v supérieur à c :
x' = (x- vt)/ i √(v2/c2 -1) , et
x' = (x- vt)/-i √(v2/c2 -1)

En effet, la vitesse de la lumière est
considérée comme inaccessible à cause
du diviseur 1-v2/c2 nul, et des notions de
masse tendant vers l'infini. Pourquoi ne pas
considérer pour autant, l'existence possible
de systèmes pouvant se déplacer dans un
espace à cinq dimensions à des vitesses
supra-luminiques par rapport à S ?
La matière dans cet autre espace, n'aurait
alors pas forcément eu besoin de dépasser
la vitesse de la lumière pour y exister.
Ces systèmes seraient hôtes d'espaces à
cinq dimensions x,y,z,i,t à coordonnées
imaginaires comme le proposent ces calculs.
Bien sûr, la dimension cachée i de l'espace
temps, resterait à découvrir.
Ces autres solutions au problème ont
certainement été entrevues ou évoquées
par le grand Albert Einstein et d'autres.
Pourquoi en tout cas, ces solutions aux
transformations, ont-elles été délaissées ?

Merci de me donner votre avis sur ce texte,
Il représente mon effort personnel de
compréhension et reconstruction, à ma
manière et mon niveau, des formules de la
théorie de la relativité.

[Daube]

"Si v non nul, on a la relation dans S :
[...]
O'M2 = X2s'"

Dans S, on n'a pas O'M'2 = X2s'
Ou en tout cas, c'est ce que j'affirme, donc l'un de nous deux a tort.

Dans le cas où j'aurais raison, je vous conseille fortement de lire ou relire des cours de relativité restreinte. Il y en a des illisibles, des longs, des compliqués. Un peu de tout. Le mieux pour moi étant les longs bien expliqués et passant par les méthodes les plus accessibles. En tout cas il ne faut pas espérer quand on découvre la relativité la comprendre en 30 min avec un cours sur une page. Etienne Parisot a un cours en vidéo sur le net que je trouve personnellement très bien mais il doit faire 13 vidéos de 2h. Il faut savoir ce qu'on recherche.

Si j'ai tort, oubliez mon dernier message.

[GWCL]

Bonjour Daube,
Sur ce point, vous avez raison. On ne peut pas attribuer les données de cette longueur de S' a S.
Mon calcul est de nouveau tout faux. Je me suis encore laissé berner par le résultat final qui est juste. Pourtant, j'ai relu et vérifié ce dernier texte maintes fois.
Je vais essayer de corriger le problème, et cette fois, sans erreur.
Merci pour les suggestions de lectures.
Cordialement.

[GWCL]

Bonjour Daube.
J'ai étudié la théorie de la relativité il y a cinquante ans. Mais à l'époque, même en maths spé sciences physiques, seuls les principes étaient abordés. Ceci à partir de l'expérience de l'interferometre de Michelson et Morley. Les calculs n'étaient pas au programme apparemment.
Depuis, je n'ai plus fait de maths après les concours. Je serais content maintenant d'arriver par moi-même à faire ce calcul. Ce serait peut-être plus simple en partant de l'expérience de l'interféromètre.
Cordialement.

[jlthirot]

Si jamais voici un exemple de démonstration pour la composition des vitesses. On devrait retrouver des concepts similaires.

L'addition des vitesses en relativité restreinte

La loi d'addition des vitesses relativiste, malgré sa forme peu intuitive, est en fait la seule qui puisse exister ! Et on peut le montrer sans même faire appel à l'idée de vitesse de la lumière...
https://scienceetonnante.substack.co...-en-relativite

[GWCL]

Merci jlthirot.
Je regarderai. Pour l'instant, je vais essayer de chercher la solution par moi-même.
Cordialement.

[GWCL]

Bonjour sur le forum.

INTRODUCTION :

Me voici de retour suite à un temps de réflexion... et de relatif découragement.
Découragement de ne pas trouver d'issue à mon obstination : celle d' inventer ma propre méthode pour comprendre et résoudre les transformations de Lorentz.

Merci de votre patience, merci surtout à Daube pour sa lecture critique. J'espère cette fois m'être un peu rapproché de mon but.

Merci si vous voulez donner votre avis sur ce texte. Il représente mon effort personnel de compréhension et reconstruction, à ma manière et mon niveau, des formules de la théorie de la relativité.

ESSAI DE DÉMONSTRATION :

S et S' sont deux référenciels galiléens aux repères d'origines respectives O et O'.
S' est en translation rectiligne uniforme de vitesse v positive par rapport à S. Le mouvement est sur l'axe des x que les deux systèmes ont en commun.

On est dans le vide. M est un point fixe de S sur l'axe des x. Un signal lumineux est émis de M vers O et O' au temps to=t'o=0. Par commodité, nous dirons que O' coïncide avec O au moment to de l'émission du signal partant de M.
M représente un objet physique. C'est donc son rayonnement lumineux, signal perçu par l'observateur situé en O, ou en O', suivant le référenciel et son observateur, qui définira ses coordonnées.

Ce rayonnement arrive à l'instant t à l'observateur placé en O sur S. Il arrive à l'instant t' à l'observateur placé en O' sur S'.

Note générale sur les indexations :

Pour rendre les différentes valeurs compréhensives dans chacun des systèmes :
Mts représente le point M à l'instant t considérant le système S.
De même, Mt's' représente le point M à l'instant t' sur le système S'.
OMts = xts est la coordonnée du segment OM sur l'axe des x à l'instant t de S.
O'Mt's' = x't's' est la coordonnée du segment O'M sur l'axe des x à l'instant t' en référence à* S'. C'est aussi l' abcisse du point M sur S'.
M1M2s est la coordonnée du segment M1M2 sur l'axe des x, en référence à S, etc.

Démonstration :

Notons qu'à l'instant t de S, O' se trouve en O'ts qui est le même point qu' O't's'.

O't's'Mt's'=ct', de même OtsMts=ct
et par définition Mts=Mt's'

Aussi, Mtos'=Mtos. Et l'on a pour le point O, Ots=Otos=O'tos'

Pour trouver les coordonnées du point M sur S' par rapport à S aux instants respectifs t' et t, je cherche à définir O't's'Mt's' par rapport à OtsMts, soit :

O't's'Mt's'=O't's'Ots+OtsMt's'
O't's'Mt's'=O't's'Ots+OtsMts
O't's'Mt's'=O't's'Otos+OtsMts
O't's'Mt's'=O't's'O'tos'+OtsMt s
O't's'Mt's'=-vt'+OtsMts
O't's'Mt's'=-v/c(O't's'Mt's')+OtsMts

OtsMts=(1+v/c)O't's'Mt's'
O't's'Mt's'= OtsMts/(1+v/c)
xt's' =xts/(1+v/c) Si v/c ≠ -1

Que l'on peut exprimer, considérant les écarts entre deux points M et P par :

Mt's'Pt1's' = MtsPt1s/(1+v/c)

Soit encore :

∆xs'=∆xs/(1+v/c)

Pour être correcte, la formulation recherchée se doit de respecter la règle d'isotropie de l'espace. Elle doit pouvoir s'appliquer lors de l' inversion du sens de déplacement de S' par rapport à S.
Donc le même écart doit exister pour les mêmes points des deux systèmes si l'on inverse v en -v , c'est à dire si maintenant O' s'éloigne de M. On aurait alors l'expression de ce même écart en écrivant :

∆xs'=∆xs/(1-v/c) si v/c ≠ 1

En multipliant ces deux formulations du même écart, on trouve l'équation générale :
(∆xs')²=(∆xs)²/(1-v²/c²)

D'où, si |v/c| ≠ 1 et 1-v²/c² positif la solution sur R,
∆xs' = ∆xs/√(1-v²/c²) , Classiquement, si l'on applique la notation xt's'=x' et xts=x, on obtient l'expression :

∆x' = ∆x /√(1-v²/c²)

Il y a aussi une autre solution sur R :
∆xs'=-∆xs/√(1-v²/c²) solution impossible.
Elle proposerait une inversion impossible des points M et P sur S'.

Ensuite pour O'M, en posant
b=1/√(1-v²/c²) :

O't's'Mt's'= bO'tsMts
O't's'Mt's'=b(O'tsOts+OtsMts)
O't's'Mt's'=b(-vt+OtsMts)
xt's'=b(xts-vt)

xt's'=(xts-vt)/√(1-v²/c²)

x'=(x-vt)/√(1-v²/c²)

Puis en divisant par c cette expression :
t'=b(x/c-vt/c)
t'=b(t-vx/c²)

t'=(t-vx/c²)/√(1-v²/c²)

Ce qui donne pour un point M, la transformation de l'intervalle temps :

∆t'=∆t /√(1-v²/c²)

REMARQUE :

Pour résoudre le problème, on a dû supposer 1-v²/c² non nul.
Si 1-v²/c² est nul, soit v=c, la résolution est impossible.
Mathématiquement, sur R, il faut aussi que 1-v²/c² soit positif pour en extraire la racine. Ceci a donné la solution précédente.

Cependant sur C, l'ensemble des imaginaires, il existe encore des solutions si 1-v²/c² est négatif, soit, si v, la vitesse de S' par rapport à*S, est supérieure à c.
Bien sûr, dans ce cas, on voit mal comment S' pourrait recevoir le signal de M venant du système S. Mais, soyons fou,*à priori, pourquoi éliminer cette solution introduisant un autre espace temps ?
Formellement, s'il n' y a pas eu artefact de calcul, on aurait alors deux autres solutions pour 1-v²/c² négatif, dans un espace imaginaire", en :
i √(v²/c²-1) et -i √(v²/c²-1) ou bien :
i √I1-v²/c²I et -i √|1-v²/c²I

Plus généralement, on aurait pour les transformations, si v supérieur à c :
x' = (x- vt)/ i  √(v²/c² -1) , et
x' = (x- vt)/-i √(v²/c² -1)

Puis comme 1/i=-i :

x' = -i (x- vt)/ √(v²/c² -1)
x' = i (x- vt)/ √(v²/c² -1)

En effet, la vitesse de la lumière est considérée comme inaccessible à* cause du diviseur 1-v²/c² qui serait nul, et des notions de masse tendant vers l'infini. Pourquoi ne pas considérer pour autant, l'existence possible de systèmes pouvant se déplacer dans un espace à cinq dimensions à des vitesses supra-luminiques par rapport à*S ?
La matière dans cet autre espace, n'aurait alors pas forcément eu besoin de dépasser la vitesse de la lumière pour y exister.
Ces systèmes seraient hôtes d'espaces*à cinq dimensions x,y,z,i,t à coordonnées imaginaires comme le proposent ces calculs.
Bien sûr, la dimension cachée i de l'espace temps, resterait à* découvrir.
Ces autres solutions au problème ont certainement été entrevues ou évoquées par le grand Albert Einstein et d'autres.
Pourquoi en tout cas, ces solutions aux transformations, ont-elles été délaissées ? Je fais appel à qui pourrait m'indiquer une piste. Merci.

[jlthirot]

Bonjour

Vous pouvez utiliser un outil de rédaction en ligne comme gdrive pour rédiger du texte et le partager.
Exemple https://www.youtube.com/watch?v=XhPjHd1pRa8

Si O est le point O' sont au même point de l'espace temps par choix de départ, comment Mts (temps de M dans S) peut être égale à Mt's' (temps de M dans S') ?
"et par définition Mts=Mt's'"

[GWCL]

Bonsoir jlthirot. Content de vous retrouver.

C'est que à l'instant to, O est en O'.
Mts est le point M à l'instant t dans S. C'est le même point M à l'instant t' dans S'.

Le signal qui arrive en O et O' aux temps respectifs t et t', est le même signal qui avait été remis au même instant to depuis M. On a donc forcément pour ce point M : Mts=Mt's'. C'est la position de M quand ce signal arrive en O à l'instant t sur S et en O' à l'instant t' sur S'.

Il me semble que c'est comme si l'on disait que la lumière issue d'une étoile à un instant to arrivait sur terre a l'instant t et à l'instant t' sur un mobile galiléen genre fusée, qui aurait démarré de terre à l'instant to.
t et t' mesurent alors le temps de parcours de la lumière issue de l'étoile, dans chaque référenciel..
Cordialement.

[gts2]

Bonjour,

Quelques remarques en vrac :
- vos notations sont inutilement compliquées, il y a un seul point O (disons que vous mettez une borne), un seul point M (vous dites que c'est un objet physique). Vous prenez t0=t'0=0, dites le une fois, cela suffit.
- O't's'Mt's'=ct', de même OtsMts=ct : OM=ct OK, pas O'M=ct', une fois que le signal a quitté l'émetteur, celui-ci peut s'arrêter, repartir dans l'autre sens, cela ne changera rien à l'instant d'arrivée, ct'=O'M(t=0), avec la position de M à l'instant d'émission.
- ∆xs'=∆xs/(1+v/c) ... ∆xs'=∆xs/(1-v/c) ... (∆xs')²=(∆xs)²/(1-v²/c²) !?!

[GWCL]

Bonjour gts2.

D'accord pour la notation qui peut être redondante et un peu lourde.
Elle me permet pourtant de ne pas trop m'embrouiller en précisant bien le système de référence et le temps.
En ce qui concerne les coordonnées de M dans S', il me semble qu'elles sont forcément définies par le moment de l'arrivée du signal en l'origine O'.
Or après l'émission du signal lumineux, O s'est déplacé dans S' a la vitesse -v de O'tos' en O't's' pendant l'intervalle t'.
Ceci se traduit il me semble par O't's'Mt's'=ct'
Puis pour le déplacement relatif dans S' de O par rapport à O', par O't's'O'tos'=-vt'

Cordialement.

[GWCL]

Il me semble sauf erreur, mais c'est effectivement un point intéressant, que ce qui définit la coordonnée d'un objet dans un système consiste en la distance parcourue par la lumière au moment de la réception de celle-ci par l'origine du système.
Cordialement.

[gts2]

Ceci se traduit il me semble par O't's'Mt's'=ct'.

ct' est le trajet effectué par la lumière entre l'instant d'émission en M(t=0) et la réception en O', on a donc bien, en effet O'M(t=0)=ct', mais dans S' M(t=0) est différent de M(t')

[jlthirot]

Je vais reformuler le début de la question.
Si j'ai bien compris le phénomène observé est le suivant. On suppose que l'on est en RR, les mouvements sont rectilignes MRU et l'on cherche à simplifier au maximum.
On utilise le terme point pour désigner un événement (p,x,t). Notation non standard mais facile à écrire.

Une fusée F est en mouvement par rapport à la terre T (elle ne tourne pas autour du soleil), ils s'éloignent à la vitesse v. La fusée envoie un rayon lumineux. C'est l'événement "GO", la lumière arrive sur la terre c'est l'événement "OK". L'origine de la Terre et de la Fusée sont à l'événement GO.

Le dessin
Si on se place dans le référentiel Terre v=0 pour le dessin
AVANT
(Terre v=0) (>> Fusée v=v >>) la Terre et la Fusée s'éloignent
GO
(Terre v=0) <<<<<<<<<< photon emis v=c < (>> Fusée v=v >> ) En ce point, événement GO les origines sont T(go,0,0) et F(go,0,0)
TRAJET
En ces points événements T(p,x,t) et F(p,x,t) (Terre v=0) <<<<<<<<<<<<<< photon voyage v=c <<<<<<<<<<<<<<<<<< (>> Fusée v=v >> )
OK
En ce point, événement OK : T(ok,x,t) et F(ok,x,t) (Terre v=0) < photon arrive v=c <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< <<< (>> Fusée v=v >>)

Est-ce juste, O=Terre et M=Fusée dans votre exemple ?

Dans ce cas
On sait déjà que les mesures des distances seront différentes en OK T(ok,x=cst,t) F(ok,x,t).
On sait déjà que les mesures des durées seront différentes en OK T(ok,x=cst,t) F(ok,x,t).

[MissJenny]

Les transformations de Lorentz sont des transformations de coordonnées x,y,z,t vers x’,y’,z’,t’ telles que cela laisse invariante l’expression de la metrique de Minkowski : x²+y²+z²-t²=x’²+y’²+z’²-t’²

Comme cette expression ressemble légèrement à une métrique d’Euclide à un signe près, cela a donné lieu dans certains articles ou ouvrages à l’utilisation de coordonnées de la forme x,y,z,it (usage plutôt désuet de nos jours), la transformation de Lorentz est alors vue comme une simple rotation (les rotations sont changements de coordonnées qui laissent invariante l’expression de la metrique d’euclide), mais d’un angle imaginaire.

une permutation de x et y (par exemple) laisse la forme quadratique invariante et n'est pas une rotation.

[GWCL]

Merci, jlthirot, gts2 et missjenny, pour votre patience et vos retours.
Je dois encore faire amende honorable et vous prier de m'excuser pour cette publication. Avec le recul, je suis même étonné par ma faculté pour faire des erreurs de logique. On ne doit jamais se laisser abuser par les sirènes pour un résultat qui paraît à priori correct.
Bien sûr, je me rends compte que je ne devais pas confondre la position d'un objet dans deux systèmes différents avec ses coordonnées. Quand j'écrivais Mts=Mt's', ça n'aurait pas dû se traduire par MtsMt's'=0, bien sûr dirais-je maintenant.
Donc aucune raison de substituer Mts par Mt's' dans les segments.
Pour la fusée, c'est comme si je disais que le point d'envoi de son photon, bien sûr le même dans les deux systèmes, rendait compte d'une égale distance parcourue. Je vais me remettre au travail là dessus, je ne suis décidément, pas sorti des ronces.
Cordialement.