Equations de Newton et système solaire

[obladi]

Bonjour !

Je me demandais qu'est ce qu'on pouvait obtenir comme résultats en faisant un modèle du système solaire au moyen des équations de Newton tout en ajoutant des délais de propagation "vitesse c" des forces. Je pense à ça car il y a des méthodes de calcul en électricité nommées, sauf erreurs, "potentiels retardés" et qui modélisent des configurations semblables mais avec des charges. Est-ce que ça n'a aucun sens (pourquoi?) ou est-ce que cela donne des résultats qui se rapprochent un peu de ceux obtenus par la relativité générale. A part Mercure et les déviations des rayons lumineux en provenance des étoiles est-ce qu'il y a d'autres résultats spectaculaires que la relativité apporte au sein du système solaire.

merci

Obladi
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[mach3]

A ma connaissance si on fait ça un peu brutalement (en remplaçant directement le vecteur actuel par le vecteur retardé dans l’expression de la gravitation, ce qui change donc direction et intensité de la force), ça ne marche pas du tout et les astres spiralent les uns vers les autres très rapidement.

Il est possible en revanche que cela fonctionne dans le cadre relativiste car en champ faible on peut se ramener à un champ gravito-electrique et un champ gravito-magnetique, appelés ainsi parce que les équations ressemblent très fortement à celle de l’électromagnétisme (équations de maxwell et force de Lorentz avec des signes et constantes différentes et on retrouve Newton, analogue de Coulomb, en situation statique). J’imagine que dans ce cadre on peut écrire des solutions aux équations avec des choses retardés comme cela se fait en électromagnétisme, mais n’étant pas spécialiste je ne me mouillerai pas.
Néanmoins cette approche en champ faible de la RG permet de prédire un certain nombre d’effets liés aux rotation des masses, comme l’effet Lense-Thirring ou l’effet geodetique, effet qui ont été observés par la suite.

m@ch3

[ThM55]

En mécanique céleste newtonienne, pour le système solaire, on procède par une méthode d'approximation. En effet, le problème à N corps n'est pas intégrable analytiquement (en le ramenant à des calculs d'intégrales) dès que N est supérieur à 2. Si on considère deux planètes en orbite autour du soleil, on résout séparément l'orbite de chacune, et on a dans ce cas des éléments orbitaux qui sont constants. Ensuite on calcule l'effet d'une planète sur l'autre et on fait une moyenne temporelle de la perturbation qui permet de trouver comment les éléments orbitaux varient dans le temps. Les périodes considérées sont beaucoup plus grandes (s'évaluent en années) que les effets dûs au potentiel retardé (des minutes ou des heures). Il est donc inutile de considérer les potentiels retardés pour le système solaire, ça ne changerait que des décimales sans signification.

Ce ne sera plus vrai pour des systèmes plus exotique, par exemple des paires d'étoiles à neutrons. Mais alors il faut de toute façon passer à la relativité générale qui, elle, tient compte du retard. Mais même en relativité générale, dans l'approximation dite "post-newtonienne", pour des mouvements "lents" (<< c) on évite de traiter les potentiels retardés. Je peux citer ce que Eric Poisson et Clifford Will écrivent dans leur monumental traité "Gravity" (Cambridge University Press, chapitre 7, box 7.6) consacré aux approximation post-newtoniennes, un passage au sujet des potentiels retardés (traduction de l'anglais par chatGPT):

De tels potentiels conduisent à des complications insurmontables (...) Des exemples de cette complexité sont connus dans la théorie de Maxwell, où l'évaluation du potentiel retardé est difficile, même dans le cas simple d'une charge ponctuelle unique. Les potentiels non linéaires sont encore plus complexes, car ils impliquent des conditions retardées imbriquées ; de tels potentiels n'apparaissent pas en électromagnétisme en raison de la linéarité des équations de Maxwell.

Quand on n'est plus en "mouvements lents", il faut passer aux méthodes numériques, un sujet de recherche actuel en relativité générale.

[obladi]

Bonjour,

Premièrement merci pour votre réponse.

Ensuite, désolé, c'est parce que je me suis posé une question complémentaire concernant la trajectoire de la lune et que je m'étais laissé dire qu'il y avait des milliers de paramètres de correction... et j'ai pensé que ce serait plus logique de la mettre dans l'autre rubrique, je serai plus vigilant !

A part ça je suis déjà content des réponses et comme vous dites Coulomb doit être utilisé avec prudence, parce que, sauf erreur, il y a des situations absurdes où un corps peut se mettre à poursuivre un autre corps (bon, il faudrait des masses de signes opposées , mais j'avais vu une série de paradoxes du genre. Néanmoins Newton n'était pas satisfait de sa formule, non ? (aspect non-local et action à distance etc.) et je me suis toujours demandé ce qu'il y a eu comme courants de pensées parmi tous ces scientifiques, déjà au niveau de l'histoire des sciences. En électromagnétisme on nous montre que le champ magnétique est un effet relativiste du champ électrique, est-ce qu'il y a une théorie qui prédit des similitudes au niveau le champ gravito-magnétique ?

Encore merci !

Obladi

[A voir en vidéo sur Futura]

[obladi]

@ThM55 :

En effet, le problème à N corps n'est pas intégrable analytiquement (en le ramenant à des calculs d'intégrales) dès que N est supérieur à 2 ... ça ne changerait que des décimales sans signification.

Merci pour toutes ces informations, en fait oui, je parlais des méthodes numériques.

En maths j'ai une assez bonne compréhension qualitative des équations de Maxwell et je suis capable d'analyser de façon quantitatives les problèmes les plus simples avec des symétries particulièrement avantageuses, et la plupart du temps dans le vide. Donc ce genre de système d'équations aux dérivées partielles et un peu de relativité restreinte c'est un peu ma limite. Je suis un simple technicien en électrotechnique mais je trouve ces théories extraordinaires et passionnantes.

Je suis pas sûr d'avoir bien compris, vous vouliez dire qu'aujourd'hui on construit des modèles composés de plusieurs solutions analytiques, une par couple planète-soleil, et qu'on ajoute des corrections supplémentaires, le tout étant calculé numériquement ? Je pensais qu'on posais directement 6N équations différentielles non-linéaires que l'on résolvait numériquement (J'écris 6N parce que je vois x,y,z variables d'états positions et vx, vy, vz variable d'état vitesse) ? Ou est-ce qu'on travaille dans le plan pour essayer de simplifier ?

[obladi]

m@ch3

Ah oui, j'ai relu la charte et je suis pas sûr que je tag correctement les réponses... Sinon j'ai aussi vu que vous avez parlé des équations de Maxwell tout récemment, le 17.01 !
Bon dimanche
Obladi

[ThM55]

@ThM55 :

Merci pour toutes ces informations, en fait oui, je parlais des méthodes numériques.

En maths j'ai une assez bonne compréhension qualitative des équations de Maxwell et je suis capable d'analyser de façon quantitatives les problèmes les plus simples avec des symétries particulièrement avantageuses, et la plupart du temps dans le vide. Donc ce genre de système d'équations aux dérivées partielles et un peu de relativité restreinte c'est un peu ma limite. Je suis un simple technicien en électrotechnique mais je trouve ces théories extraordinaires et passionnantes.

Je suis pas sûr d'avoir bien compris, vous vouliez dire qu'aujourd'hui on construit des modèles composés de plusieurs solutions analytiques, une par couple planète-soleil, et qu'on ajoute des corrections supplémentaires, le tout étant calculé numériquement ? Je pensais qu'on posais directement 6N équations différentielles non-linéaires que l'on résolvait numériquement (J'écris 6N parce que je vois x,y,z variables d'états positions et vx, vy, vz variable d'état vitesse) ? Ou est-ce qu'on travaille dans le plan pour essayer de simplifier ?

Je voudrais tout de même faire une remarque: je ne suis pas un expert en mécanique céleste, je n'ai que des souvenirs d'un cours que j'ai suivi pendant mes études, dans les années 1980 et quelques lectures par la suite. Alors il est vrai qu'on pourrait simplement poser les équations (6N degrés de liberté si on prend l'approximation de masses ponctuelles, mais bien davantage si on prend en compte leur taille et leur forme comme le bourrelet équatorial, leur moment angulaire propre etc) et les soumettre à une moulinette numérique. Mais faire cela serait une très mauvaise idée en ce qui concerne la mécanique céleste du système solaire! C'est une illusion à cause des instabilités déjà mentionnées plus haut et surtout l'opacité du processus qui ne donne que des résultats difficiles à interpréter. De plus, ce serait jeter à la poubelle deux siècles d'inventions mathématiques très ingénieuses qui resteront invisibles dans les solutions numériques.

Donc, effectivement, on part de solutions analytiques exactes et on considère l'effet entre planètes comme des perturbations. En fait on a de la chance: notre système solaire n'a qu'un soleil et il est assez "dilué", à part Jupiter et Saturne, qui sont assez loin, on n'a pas beaucoup de panètes très perturbantes. J'imagine que des extraterrestres qui vivraient en orbite autour d'un système stellaire double avec plusieurs planètes géantes rapprochées seraient bien moins favorisés que nous et mettraient sans doute plus de temps à comprendre comment ça marche. Classiquement, les héros du passé comme Gauss, Laplace, Lagrange, Le Verrier etc ne disposaient pas d'ordinateurs et ce qu'ils faisaient en gros c'est développer les perturbations en séries analytiques et classifier les termes. Cela fait apparaître des phénomènes comme la résonance, qui sont observés dans les orbites de satellites naturels et celles des astéroïdes. Et aussi comme dans le cas de Le Verrier, de déduire la présence d'une planète (Neptune) et deviner où pointer le télescope pour la voir. Evidemment, ces séries développées pour certaines jusqu'au huitième ordre, sont horriblement compliquées. Elles contiennent d'ailleurs des erreurs qui ont été découvertes en utilisant des logiciels de calcul symbolique plus d'un siècle après. A l'heure actuelle, on préfère en effet résoudre les perturbations de façon numérique, c'est ce qu'on fait quand on lance des satellites ou des sondes. Mais si on ignorait complètement les approches analytiques de base, on perdrait pas mal de notions. Ce sont des "lunettes" qui permettent de mieux comprendre la structure des solutions. On ne travaille plus comme à l'époque de Le Verrier, mais les notions théoriques révélées par ces méthodes restent essentielles.

Ce serait plus intéressant d'avoir l'avis d'un expert ou d'une experte en mécanique céleste, mais je serais qu'il ou elle me contredise sur l'essentiel.

[ThM55]

Bonjour,

Premièrement merci pour votre réponse.

Ensuite, désolé, c'est parce que je me suis posé une question complémentaire concernant la trajectoire de la lune et que je m'étais laissé dire qu'il y avait des milliers de paramètres de correction... et j'ai pensé que ce serait plus logique de la mettre dans l'autre rubrique, je serai plus vigilant !

A part ça je suis déjà content des réponses et comme vous dites Coulomb doit être utilisé avec prudence, parce que, sauf erreur, il y a des situations absurdes où un corps peut se mettre à poursuivre un autre corps (bon, il faudrait des masses de signes opposées , mais j'avais vu une série de paradoxes du genre. Néanmoins Newton n'était pas satisfait de sa formule, non ? (aspect non-local et action à distance etc.) et je me suis toujours demandé ce qu'il y a eu comme courants de pensées parmi tous ces scientifiques, déjà au niveau de l'histoire des sciences. En électromagnétisme on nous montre que le champ magnétique est un effet relativiste du champ électrique, est-ce qu'il y a une théorie qui prédit des similitudes au niveau le champ gravito-magnétique ?

Encore merci !

Obladi

En ce qui concerne Newton, il était conscient du problème de l'interaction instantanée mais il n'en était pas mécontent. Cela l'opposait en effet à Descartes, qui imaginait la gravité comme une force agissant de proche en proche dans un fluide (un éther si on veut) animé de tourbillons. Newton pensait avoir complètement réfuté cette vision et n'en n'était pas trop mécontent car il n'aimait pas beaucoup les idées de Descartes. Un article à ce sujet: https://shs-cairn-info.acces.bibl.ul...texte-integral . Un philosophe qui a écrit à ce sujet est Alexandre Koyré: https://www.gallimard.fr/catalogue/e.../9782070271429 .

[ThM55]

mais je serais qu'il ou elle me contredise sur l'essentiel.

je serais étonné s'il ou elle me contredisait sur l'essentiel.

[coussin]

D'un point de vue purement numérique, j'avais entendu dire que prendre en compte le temps de propagation ne marche pas du tout. Je rejoins donc ce que dit mach3 dans le message #2.
Je ne saurais dire pourquoi par contre... Prendre en compte le temps de propagation rend l'équation du mouvement une équation différentielle à retard. Et d'un point de vue purement mathématiques, on sait beaucoup moins de choses concernant ces équations...

[Nekama]

A ma connaissance si on fait ça un peu brutalement (en remplaçant directement le vecteur actuel par le vecteur retardé dans l’expression de la gravitation, ce qui change donc direction et intensité de la force), ça ne marche pas du tout et les astres spiralent les uns vers les autres très rapidement.

Si la force de gravitation n'est plus instantanée, la 3e Loi de Newton n'est plus respectée. C'est peut-être lié à cela ?

[grosboul]

Bonjour,

Si la force de gravitation n'est plus instantanée, la 3e Loi de Newton n'est plus respectée.

Pouvez-vous développer, ne serait-ce qu'un peu ? Merci.

[Nekama]

A ma connaissance si on fait ça un peu brutalement (en remplaçant directement le vecteur actuel par le vecteur retardé dans l’expression de la gravitation, ce qui change donc direction et intensité de la force), ça ne marche pas du tout et les astres spiralent les uns vers les autres très rapidement.

Sur un dessin on voit que le "retard" dans la propagation de la gravitation décale la direction de la force et qu'une accélération tangentielle est fournie au système (astre + planète ou planète + satellite ).

On n'a plus que les 2 forces sont égales et opposées...

Et comme cela va fournir une accélération tangentielle on n'a plus conservation du moment cinétique et comme c'est éternel, on n'a pas non plus conservation de l'énergie.

Mais ils s'éloignent plutôt que se rapprochent.

On dirait que le modèle retardé n'est pas compatible avec Newton...

Ou alors il faudrait qu'il y ait émission d'ondes gravitationnelles qui compensent le mécanisme (mais ce n'est pas ainsi qu'on explique leur existence ou qu'on calcule leur intensité.)
(bien que, même ainsi on n'a plus conservation de l'énergie)

?

[Nicophil]

Bonjour,

A la fin de son Dynamique de l'électron (envoyé de Paris en juillet 1905), H.Poincaré ouvrait la réflexion sur ces questions :

§ 9. — Hypothèses sur la Gravitation.

Lorentz a donc été obligé de compléter son hypothèse en supposant que les forces de toute origine, et en particulier la gravitation, sont affectées par une translation (ou, si l’on aime mieux, par la transformation de Lorentz) de la même manière que les forces électromagnétiques.

Il convient maintenant d’entrer dans les détails et d’examiner de plus près cette hypothèse. Si nous voulons que la force newtonienne soit affectée de cette façon par la transformation de Lorentz, nous ne pouvons plus admettre que cette force dépend uniquement de la position relative du corps attirant et du corps attiré à l’instant considéré. Elle devra dépendre en outre des vitesses des deux corps.
Et ce n’est pas tout : il sera naturel de supposer que la force qui agit à l’instant t sur le corps attiré, dépend de la position et de la vitesse de ce corps à ce même instant t ; mais elle dépendra, en outre, de la position et de la vitesse du corps attirant, non pas à l’instant t, mais à un instant antérieur, comme si la gravitation avait mis un certain temps à se propager.

Cela veut dire que la vitesse de propagation est égale à celle de la lumière. Il semble d’abord que cette hypothèse doive être rejetée sans examen. Laplace a montré en effet que cette propagation est, ou bien instantanée, ou beaucoup plus rapide que celle de la lumière. Mais Laplace avait examiné l’hypothèse de la vitesse finie de propagation, ceteris non mutatis; ici, au contraire, cette hypothèse est compliquée de beaucoup d’autres, et il peut se faire qu’il y ait entre elles une compensation plus ou moins parfaite, comme celles dont les applications de la transformation de Lorentz nous ont déjà donné tant d’exemples.

[ThM55]

Newton avait lui aussi considéré la vitesse finie de l'interaction, même s'il ne l'a pas incluse dans ses Principia, ni dans son système du monde, dans lesquels il précisait qu'il ne faisait pas d'hypothèses. En effet, il a accueilli favorablement les idées de Nicolas Fatio de Duillier, un géomètre et astronome genevois qui les a présentées à la Royal Society. Fatio de Duillier est d'ailleurs devenu un des rares vrais amis de Newton, qui n'était pas très sociable (il est vrai qu'il a vigoureusement défendu Newton face à la concurrence de Leibnitz). Fatio de Duillier essayait de justifier l'attraction selon Newton par un bombardement constant et isotrope par des particules très petites. Le fait que des planètes s'attirent serait dû à une sorte d'effet d'ombre projetée. La vitesse de ces particules devait nécessairement entraîner un retard dans l'effet du mouvement sur l'attraction. Newton jugea l'idée intéressante et elle a été reprise bien plus tard par un autre Genevois, George-Louis Le Sage, qui l'a considérablement développée. Bien entendu, cette théorie est réfutée depuis longtemps, elle prédit des effets qui ne sont pas observés. Je vais réunir quelques références sur ce sujet et les donner sous la rubrique histoire des sciences.