PFD forces et moments

[Apprentii]

Bonsoir,

J'ai une question qui n'est pas forcément très claire dans ma tête, mais j'espère que vous pourrez m'éclaircir un peu.

Si j'étudie un corps, mettons une sphère, dans un repère cylindrique et que l'équation de son mouvement est donnée par l'équation m.R.θ" = F + C.θ' (où F et C sont des constantes, R est le rayon de rotation par rapport à l'axe Z, θ" est l'accélération angulaire et θ' la vitesse angulaire), comment obtenir l'équivalent de cette relation en couples/moments ?

Je ne sais pas si c'est très clair, mais si R est le rayon de rotation par rapport à l'axe Z j'aurais "bêtement" multiplié l'égalité par R pour obtenir m.R².θ" = F.R + C.R.θ'. Sur le papier c'est homogène, mais je ne retrouve nul part une trace de la matrice d'inertie de la sphère.

Sauriez-vous me dire où est mon erreur de raisonnement ?

Merci d'avance.
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[gts2]

Bonjour,

Il faudrait préciser un peu le problème : la trajectoire est un cercle, il y a donc des liaisons qui imposent cette trajectoire.

Supposons une sphère suspendue par une tige, dans ce cas il y a une force dans la liaison qui intervient dans F=ma mais pas M=J θ"

Pour une suspension par un fil, c'est à voir.

[Apprentii]

Bonjour,

Merci pour la réponse. J'avoue que je n'avais pas spécialement pensé à ça, et je pense avoir compris mon erreur de raisonnement !

Corrigez moi si je me trompe. Si la sphère est liée à une tige alors l'étude de la sphère seule n'a plus de sens, et le PFD à appliquer devra être utilisé sous sa forme couples/moments (M=J θ") ; alors que si cette sphère est liée à un fil le raisonnement dans mon premier message est correct (le terme mR² correspond au moment d'inertie d'une masse ponctuelle, si je ne me trompe pas).

Question subsidiaire (j'en profite) : est-ce que la liaison entre la sphère et la tige a une quelconque importance ?

Encore merci pour l'aide apportée, cette zone d'ombre de compréhension commence enfin à s'éclaircir !

[gts2]

Si la sphère est liée à une tige alors l'étude de la sphère seule n'a plus de sens, et le PFD à appliquer devra être utilisé sous sa forme couples/moments (M=J θ") ;

Cela a toujours un sens, mais c'est plus compliqué que (M=J θ").

alors que si cette sphère est liée à un fil le raisonnement dans mon premier message est correct (le terme mR² correspond au moment d'inertie d'une masse ponctuelle, si je ne me trompe pas).

Le raisonnement est correct si la sphère est une petite sphère, pour une grosse, si j'avais mis précédemment "à voir", c'est que cela n'est pa si simple.

Question subsidiaire (j'en profite) : est-ce que la liaison entre la sphère et la tige a une quelconque importance ?

Le raisonnement précédent suppose une liaison rigide type encastrement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Apprentii]

Est-ce que je peux me permettre de vous demander des explications / démonstrations ?

Cela a toujours un sens, mais c'est plus compliqué que (M=J θ").

Je ne suis pas certain de comprendre, en quoi est-ce plus compliqué ?

pour une grosse, si j'avais mis précédemment "à voir", c'est que cela n'est pa si simple.

Dans le cas d’une boule de taille non négligeable, qu’est ce que cela changerait dans les équations ?

Le raisonnement précédent suppose une liaison rigide type encastrement.

J’avoue qu’ici, je ne comprends pas. En quoi une liaison, sphérique par exemple, changerait quelque chose ?


Merci beaucoup pour les éclaircissements, et votre temps.

[gts2]

Est-ce que je peux me permettre de vous demander des explications / démonstrations ?

Je vais essayer de mettre au propre, mais cela risque de prendre un peu de temps.

Je ne suis pas certain de comprendre, en quoi est-ce plus compliqué ?

Par exemple pour un pendule, dans M=Jθ'', on a juste besoin du moment du poids -mgR sin θ ; pour F=ma il faut aussi connaitre la force exercée par la liaison.

Dans le cas d’une boule de taille non négligeable, qu’est ce que cela changerait dans les équations ?

Il faudrait raisonner avec deux variables : l'angle du fil, et l'angle de rotation de la boule.

J’avoue qu’ici, je ne comprends pas. En quoi une liaison, sphérique par exemple, changerait quelque chose ?

Comme précédemment, on se trouverait avec deux variables à gérer, l'angle entre la tige et la verticale d'une part et l'angle de rotation de la liaison pivot.

[gts2]

Est-ce que je peux me permettre de vous demander des explications / démonstrations ?

Un début de réponse dans le cas du pendule : pendule-forum.pdf

[Apprentii]

Un début de réponse dans le cas du pendule : pendule-forum.pdf

Je ne m'attendais pas à une réponse aussi rapide, merci beaucoup !

J'ai parfaitement compris la première partie, là-dessus aucun problème.
La deuxième partie me fait remonter quelques souvenirs de composition des vitesses/accélérations du côté cinématique, mais pas trop de problème. Concernant la section dynamique je ne suis pas sûr de moi, mais si j'ai bien compris deux équations sont nécessaires pour obtenir la description complète du mouvement : une équation utilisant le PFD sous forme M=Jθ'' qui permet de déterminer l'oscillation de la sphère par rapport pivot en B (mais dans ce cas, pourquoi utiliser M(T'/Gz) et non pas M(P/Gz) ?) ; et une deuxième équation utilisant le PFD sous forme F = ma pour déterminer le mouvement autour du pivot en A. Est-ce correct ?

[gts2]

M=Jθ'' qui permet de déterminer l'oscillation de la sphère par rapport pivot en B (mais dans ce cas, pourquoi utiliser M(T'/Gz) et non pas M(P/Gz) ?)

C'est bien compris.
Pour ce qui est de M(P/Gz), vous avez raison : Jθ''=M(T'/Gz)+M(P/Gz), mais comme ce deuxième terme est nul (moment d'une force passant par l'axe), je ne l'ai pas indiqué.

[Apprentii]

Pour ce qui est de M(P/Gz), vous avez raison : Jθ''=M(T'/Gz)+M(P/Gz), mais comme ce deuxième terme est nul (moment d'une force passant par l'axe), je ne l'ai pas indiqué.

Cela veut dire que le PFD M=Jθ'' a été appliqué au centre de la sphère, et non pas au point B ? J’aurais eu tendance (sans trop savoir pourquoi) à déterminer les moments des forces par rapport au pivot. Je suppose que les deux méthodes sont équivalentes à la matrice d’inertie prêt, qui doit être bien moins agréable déplacée en B !

Un très grand merci pour votre temps et vos explications, je pense que c’est maintenant clair !